22.2降次——解一元二次方程（2）
双基演练
1．用适当的数填空：
（1）x2-3x+________=（x-_______）2
（2）a（x2+x+_______）=a（x+_______）2
2．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．
3．如果关于x的方程x2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=________，另一根为______．
4．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
5．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
6．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
7．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
9．解下列方程：
（1）x2+8x=9 （2）6x2+7x-3=0
能力提升
10．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数
11．用配方法求解下列问题．
（1）2x2-7x+2的最小值 （2）-3x2+5x+1的最大值
12．试说明：不论x、y取何值，代数式4x2+y2-4x+6y+11的值总是正数．你能求出当x、y取何值时，这个代数式的值最小吗？
13．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，问几秒钟时△PBQ的面积等于8cm．
聚焦中考
14．（2006。聊城）用配方法解方程：
15．（2005。辽宁）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A B C D
16．（2007．台湾）将一元二次方程化成的形式，则ｂ等于（ ）
A －4 B 4 C -14 D 14
17．（2006。杭州）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的
A． B．
C． D．
18．（2006．安顺）某商场将进货价为每个30元的台灯以每个40元出售，平均每月能售出600个．经过调查表明：如果每个台灯的售价每上涨1元，那么其销售数量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，问每个台灯的售价应定为多少元？
答案:
1．（1），；（2）， 2．（x-1）2=5，1± 3．4，-3
4．2（x-）2- 5．4 6．C 7．A 8．B
9． (1) x1=，x2=- （2）x1=1，x2=-9
10．A
11．（1）∵2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-≥-，
∴最小值为，
（2）-3x2+5x+1=-3（x-）2+≤，
∴最大值为．
12．将原式配方，得（2x-1）2+（y+3）2+1，它的值总不小于1；
当x=，y=-3时，代数式的值最小，最小值是1．
13．设t秒钟后，S△PBQ=8，则×2t（6-t）=8，t2-6t+8=0，t1=2，t2=4，
故2s或4s时△PBQ的面积等于8cm2．
14．（本题满分8分）
解：两边都除以2，得．
移项，得．
配方，得，
．
或．
15．C 16。D 17。B
18．80元或50元
22.2降次——解一元二次方程（2）
教学内容
本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
教学目标
知识技能
探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．
数学思考
在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
解决问题
渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．
情感态度
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
重难点、关键
重点：用配方法解一元二次方程．
难点：正确理解把形的代数式配成完全平方式.
关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
复习引入
【问题】
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习直接开门平方法，解形如（mx+n）2=p（p≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．
探索新知
【问题情境】
要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？
【活动方略】
学生活动：
学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．
考虑设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为
x2+6x＋9=16＋9，
即（x＋3）2＝25，问题解决。
老师活动：
在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。
【设计意图】
引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．
【思考】
利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
（1）x2－8x + 1 = 0；
（2）；
（3）．
【活动方略】
学生活动：
学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析（1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x－4）2=15；
（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为；
（3）按照（2）的方式进行处理．
教师活动：
在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
【设计意图】
主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．
反馈练习
教材P39 练习第1、2题．
补充习题：
解下列方程．
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对基础知识的掌握情况.
应用拓展
例：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握配方法。
小结作业
1．问题：
本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？
如果一个一元二次方程不能直接开平方解，可把方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，再开平方降次解。这种通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法．
2．作业：课本P45 习题22．2 第3题
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。
课件16张PPT。第二十二章一元二次方程22.2降次—解一元二次方程(2) 主 页学习方式说明
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目标呈现教材分析复习引入探索新知 要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？ 通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。 探索新知探索新知反馈练习拓展提高 本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？小结作业教材P45 习题22.2 第3题小结作业双基演练 能力提升聚焦中考
