22.2实际问题与一元二次方程（3）
双基演练
1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（ ）
A．8 B．4 C．4 D．8
2．如图所示，李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（90+x）（40+x）×54%=90×40;
B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40;
C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40;
D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40
3．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．
4．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，另一边减少5米，围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，求出在操场的长和宽．
5．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．
（1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．
（2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．
（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？
6．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱？
7．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．
8．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．
能力提升
9．谁能量出道路的宽度:
如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．
10．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：
在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；
在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S1=_________，S2=_________，S3=_________．
（3）联想与探索：
如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
11．（9分）如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的？
聚焦中考
12.（2008年遵义市）如图，矩形的周长是20cm，以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（ ）
A． B．
C． D．
13.（2008年巴中市）在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为 ．
14.（2008年南京市）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？
15.（2008.梅州）如图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
用，，表示纸片剩余部分的面积；
当=6，=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
答案:
1．D 点拨：可设该边的长为x，则高为x，
可列方程·x·x=32，解得x1=8，x2=-8，
由于线段长不能为负，故x2=-8舍去．所以该边长为8．
2．B 点拨：镶上金色纸边后，整个挂图的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
依题意，应选B．
3．解：设原铁皮的边长为xcm，依题意
列方程，得（x-2×4）2×4=400，
（x-8）2=100，x-8=±10，x=8±10．
所以x1=18，x2=-2（舍去）．
答：原铁皮的边长为18cm．
4．解：设现在的操场一边长x米，则另一边为米，
根据题意，得（x+5）·=1500，即-x++25=0．所以x2-25x-1650=0．
解得x1=-30（舍去），x2=55．由x=55，得=30．
答：现在的操场长55米，宽30米．
5．解：设平行于墙的一边长为x米，则垂直于墙的一边长为米．依题意，列方程，得x·=1080，
整理，得x2-93x+2160=0，解得x1=45，x2=48．
因为墙长为50米，所以45，48均符合题意
当x=45时，宽为=24（米）
当x=48时，宽为=22.5（米）
因此花坛的长为45米，宽为24米，或长为48米，宽为22.5米．
（1）若墙长为46米，则x=48不合题意，舍去．
此时花坛的长为45米，宽为24米；
（2）若墙长为40米，则x1=45，x2=48都不符合题意，花坛不能建成
（3）通过对上面三题的讨论，可以发现，墙长对题目的结果起到限制作用．若墙长大于或等于48米，则题目有两个解；若墙长大于或等于45米而小于48米，则只有一个解；若墙长小于45米，则题目没有解，也就是符合条件的花坛不能建成．
6．解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米．
依题意，有x（x+2）×1=15．整理，得x2+2x-15=0，
解得x1=-5（舍去），x2=3，
所以这种运动箱底部长为5米，宽为3米．
由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为
（5+2）×（3+2）=35
所以做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）
点拨：题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．
7．解：设一个正方形的边长为xcm．依题意，得
x2+（）2=160，整理，得x2-16x+48=0，
解得x1=12，x2=4，当x=12时，=4．
当x=4时，=12．
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm．
点拨：题目中的64cm也就是两个正方形的周长，设出其中的一个正方形的边长，另一个正方形的边长可用（）来表示．根据正方形的面积公式即可列方程．
8．设小路宽为x米，（32-x）（20-x）=540，x1=2，x2=50（舍去），
答：小路宽为2米．
9．设道路的宽为x，AB=a，AD=b
则（a-2x）（b-2x）=ab
解得：x= [（a+b）-]
量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD=），得L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽，即．
10．解：（1）如答图．
（2）ab-b；ab-b；ab-b
（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b．
方案：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移一个单位；（3）得到一个新矩形，如答图，理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，而水平方向的长变成了（a-1），所以草地的面积就是b（a-1）=ab-b．
11．解：设x秒后，S△MBN=S△ABC，
由题意得（8-x）×（6-x）×=××6×8，x2-14x+32=0，
x1=7+，x2=7-，
∵BC=6米，
∴0≤x≤6，
∴x1=7+不合题意，舍去，
答：当7-秒后，S△MBN=S△ABC．
12. B 13 ．（或） （或）
14．
解法一：设矩形温室的宽为，则长为．根据题意，得
．
解这个方程，得
（不合题意，舍去），．
所以，．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是．
解法二：设矩形温室的长为，则宽为．根据题意，得
．
解这个方程，得
（不合题意，舍去），．
所以，．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是．
15．解：（1） －42； 2分
（2）依题意有： －42=42， 4分
将=6，=4，代入上式，得2=3， 6分
解得． 7分
即正方形的边长为．
22.3实际问题与一元二次方程（3）
教学内容
本节课主要学习根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类几何图形问题。
教学目标
知识技能
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
数学思考
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题
通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重难点、关键
重点：列一元二次方程解有关问题的应用题
难点：发现问题中的等量关系
关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
复习引入
【问题】
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生口答，老师点评。
【设计意图】
复习一些简单几何图形的面积公式，为继续学习建立一元二次方程的数学模型并解决几何图形问题作好铺垫．
探索新知
【问题情境】
要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【分析】
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
【解答】
依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）=×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x=， x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
【活动方略】
教师提出问题
学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．
在活动中，教师应注意：
（1）学生对几何图形的分析能力；
（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；
（3）在讨论中能否互相合作；
（4）解答一元二次方程的能力；
（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．
【设计意图】
使学生通过多种方法解几何图形问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
反馈练习
1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
2．有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对所学知识的掌握情况.
应用拓展
例1：如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】
本题中有哪些数量关系？
（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？
（3）对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？
【活动方略】
学生分组讨论，画图，上台演示．
教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则．
例2：如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：）
分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．
（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．
解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．
则：（6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．
（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC==10
∴DQ=
则：（14-y）·=12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．
经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，
∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．
∴本小题只有一解y1=7．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
进一步提升学生在活动1中的学习效果，使学生充分体会图形变换的灵活性，培养学生对图形的观察、联想能力。
小结作业
1．问题：
通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？
本节课应掌握：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．作业：教材P53，习题22.3第5、8题，P58，复习题22第7、10题．
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知识。
课件20张PPT。第二十二章一元二次方程22.3实际问题与一元二次方程(3) 主 页学习方式说明
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电子教案可查看配套教案，课后练习可查看配套练习（含答案）。
目标呈现教材分析复习引入探索新知 要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.探索新知探索新知反馈练习拓展提高拓展提高拓展提高通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？小结作业教材P53，习题22.3第5、8题，P58，复习题22第7、10题小结作业双基演练 能力提升聚焦中考
