苏科版八年级数学上册试题 第2章《轴对称图形》章节测试卷（含答案详解）

第2章《轴对称图形》章节测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1.室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（ ）
A．3：20 B．3：40 C．4：40 D．8：20
2.下列说法中：①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合；②线段是轴对称图形；③有一条公共边的两个全等三角形一定关于公共边所在直线对称；④关于某条直线对称的两个图形一定分别位于该直线的两侧．正确有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，∠DCF＝70°，AF＝a（a为常数，且a＞0），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将△CPF沿PF翻折得到△EPF，连接AE，则AE最大时，∠DPE的度数为（ ）
A．30° B．55° C．70° D．90°
4.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠DEA＝β，∠CEA'＝γ，∠BDA'＝θ，那么下列式子中不一定成立的是（ ）
A．θ＝2α＋γ B．θ＋α＋γ＝180° C．90＋＝β D．a＋β＝90°＋
5.如图，AB∥CD，AD∥BC，AD⊥CD，点E为线段BC上一点，将线段AB沿AE折叠，点B的对应点F落在四边形ABCD外侧，连接EF，若AF∥BD，∠ADB＝α，则∠DAE为（ ）
A．α B．90° 2α C．45°＋ D．45°
6.如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
7.如图，在△ABC中．AB＝AC．BC＝4，△ABC的面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，连接CM，DM，则CM＋DM的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．13
8.如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1.5
9.在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　）
A．不变 B．变小 C．先变大 D．先变大后变小
10.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
11.墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是_____．
12.如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点C1，使得MC1＝MB，得到第一个三角形ABC1；在射线MC1上取一点C2，使得C1C2＝BC1；得到第二个三角形△ABC2；在射线MC1上取一点C3，使得C2C3＝BC2，得到第三个三角形△ABC3…依次这样作下去，则第2022个三角形△ABC2022中∠AC2022B的度数为_____．
13.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为_____．
14.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD于E，AB＝6，AC＝14，∠ABC＝3∠C．则BE＝_____．
15.如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FA CD＝3，则BC＋DE＝_____．
16.如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则的值为_____．
17.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有_____．（注：把你认为正确的答案序号都写上）
18.如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点
O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为_____．（填序号）
三、解答题（本题共8小题，共66分。）
19.如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．
20.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE．
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
22.如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
23.已知OB，OC分别是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的角平分线．
（1）在图1中，已知∠O＝25°，求∠BAC的度数．
（2）连接OA，如图2，证明OA是外角∠CAD的角平分线．
（3）在图2中，已知S△BOC＝16，BC＝4，AC＝5，AB＝6，直接写出△ABC的面积．
24.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F．
（1）如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；
（2）如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；
（3）如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系并说明理由．
25.已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．
（1）如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数．
（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
26.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．
答案
一、选择题
1.B
【解析】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40呈轴对称，所以此时的实际时间为3：40；
故本题选B。
2.B
【解析】①关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确；
②线段是轴对称图形，正确；
③有一条公共边的两个全等三角形不一定关于公共边所在的直线对称，错误；
④关于某条直线对称的两个图形不一定分别位于该直线的两侧，错误；
所以正确的个数是2个；
故本题选B。
3.C
【解析】∵CD∥AB，∠DCF＝70°，∴∠DCF＝∠CFA＝70°，
由折叠性质知，EF＝CF，
∵CF的长度为定值，∴当点E在AB上时，点E到点A的距离最大，如图，
由折叠知，∠PEF＝∠DCF＝70°，
∵CD∥AB，∴∠DPB＝∠PEF＝70°;
故本题选C。
4.B
【解析】如图，
∵∠A＝∠A'＝α，∴θ＝∠A＋∠DFA＝∠A＋∠A′＋γ＝2α＋γ，
故A选项成立，不符合题意；
∵∠DEA＝∠DEA′＝β，∴∠DEA＋∠DEA′ ∠FEA′＝180°，
即2β γ＝180°，∴90°＋＝β，
故C选项成立，不符合题意；
∵∠FDE＝∠ADE，θ＋∠FDE＋∠ADE＝180°，∴∠FDE＝，
∵α＋β＝θ＋∠FDE，∴α＋β＝θ＋，即α＋β＝90°＋，
故D选项成立，不符合题意；
故本题选B。
5.D
【解析】设∠DAE＝x，
∵AB∥CD，AD⊥CD，∴AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠BAD ∠DAE＝90° x，
由折叠的性质得：∠FAE＝∠BAE＝90° x，
∴∠FAD＝∠FAE ∠DAE＝90° 2x，
∵AF∥BD，∴∠FAD＝∠ADB＝α，∴90° 2x＝α，
解得：x＝45° ，即∠DAE＝45° ；
故本题选D。
6.B
【解析】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则S△BDM＋S△BDN＝S△ADM＋S△ADC＋S△DCN，
∵S△BDM＝BM DE，S△ADM＝AM DE，S△ADC＝AC DF，S△DCN＝NC DG，S△BDN＝BN DG，
∴BM DE＋BN DG＝AM DE＋AC DF＋NC DG，
∴BM＋BN＝AM＋AC＋NC，
∴BM＋BN＋MN＝AM＋AC＋NC＋MN，
即这条直线分成的两个图形的周长比是1：1；
故本题选B。
7.C
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点．
∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则CM＋DM＝AM＋DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，CM＋DM的值最小，
∴AD的长为CM＋MD的最小值；
故本题选C。
8.A
【解析】分别作点P关于OB和OA的对称点P'和P''，连接OP'、OP''、P'P''，则P'P''与OB的交点为点N'，P'P''与OA的交点为点M'，
连接PN'、PM'，则此时P'P''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥P'P''于点C，如图所示：
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，
∵∠AOB＝60°，∴∠P'OP''＝2×60°＝120°，
∴∠OP'P''＝∠OP''P'＝30°，
∵OP＝2，OC⊥P'P''，∴OC＝OP'＝1；
故本题选A。
9.A
【解析】在AC上截取CN＝AE，连接FN，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，
∵BD＝2AE，∴AD＝NE，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°，
∵∠ADE＝180° ∠A ∠AED＝180° 60° ∠AED＝120° ∠AED，
∠NEF＝180° ∠DEF ∠AED＝180° 60° ∠AED＝120° ∠AED，
∴∠ADE＝∠NEF，
在△ADE和△NEF中，
∴△ADE≌△NEF（SAS），∴AE＝FN，∠FNE＝∠A＝60°，
∴FN＝CN，∴∠NCF＝∠NFC，
∵∠FNE＝∠NCF＋∠NFC＝60°，∴∠NCF＝30°，即∠ECF＝30°；
故本题选A。
10.C
【解析】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180° ∠OBA ∠OAB＝180° ∠CBA ∠CAB
＝180° （180° ∠C）＝90°＋∠C，故①正确；
∵∠C＝60°，由①知：∠AOB＝90°＋∠C，∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180° 60° 60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，
∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠HAO＝∠FAO，
在△HAO和△FAO中，
∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC） a＝ab，
故③正确；
故本题选C。
二、填空题
11.12：51
【解析】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51；
故本题答案为：12：51。
12.
【解析】由于直线L为线段AB的垂直平分线，
∴C1A＝C1B，C2A＝C2B，C3A＝C3B，…
∵C1C2＝BC1，∴C1C2＝BC1＝AC1，
∴∠C1C2A＝∠C1AC2＝∠AC1M，∠C1C2B＝∠C1BC2＝∠BC1M，
∴∠AC2B＝∠AC1B，
同理，∴∠AC3B＝∠AC2B＝×∠AC1B，
∴∠AC4B＝∠AC3B＝××∠AC1B，
∴∠AC5B＝∠AC4B＝×××∠AC1B，
…
∴∠AC2022B＝（）2021∠AC1B＝；
故本题答案为：。
13.12
【解析】∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，
∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠CMN＝∠ACM＝∠BCM，∴MN＝CN，
∵∠A＝90°，∴∠AMN＝∠CMN＝∠ACM＝∠BCM＝30°，
∵AN＝2，∴MN＝CN＝4，∴AC＝6，
∵MN∥BC，∴∠B＝∠AMN＝30°，∴BC＝2AC＝12；
故本题答案为：12。
14.4
【解析】延长BE交AC于G，
∵AD平分∠BAC，∴∠GAE＝∠BAE，
∵BE⊥AD于E，∴∠AEG＝∠AEB＝90°，
∴∠AGB＝∠ABG，∴AG＝AB＝6，GE＝BE，
∵AC＝14，∴CG＝8，
∵∠AGB＝∠C＋∠CBG，
∴∠ABC＝∠ABG＋∠CBG＝∠AGB＋∠CBG＝∠C＋2∠CBG，
∵∠ABC＝3∠C，∴3∠C＝∠C＋2∠CBG，
∴∠C＝∠CBG，∴BG＝CG＝8，∴BE＝BG＝4；
故本题答案为：4。
15.14
【解析】把AB、CD、EF分别向两方延长，交于点G、H、P，如图所示：
∵∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA，
∠BAF＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA＝（6 2）×180°＝720°，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠PAF＝∠GBC＝∠GCB＝∠HDE＝∠DEH＝∠PFA＝60°，
∴△APF、△BCG、△DEH是等边三角形，
∴∠P＝∠G＝∠H＝60°，AF＝PA，BC＝BG＝CG，DE＝DH，
∴△PGH是等边三角形，∴PG＝GH，即PA＋AB＋BG＝CG＋CD＋DH，
∴AF＋AB＋BC＝BC＋CD＋DE，
∵AB＋BC＝11，AF CD＝3，，∴BC＋DE＝AB＋BC+（AF CD）＝3＋11＝14；
故本题答案为：14。
16.
【解析】∵AD＝3BD，∴设BD＝x，则AD＝3x，∴AB＝4x，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4x，∠A＝∠ABC＝60°，
∵AB∥EG，∴∠A＝∠G＝60°，∴∠ABC＝∠G＝60°，
∵∠ACE＝∠ADC，∴∠BDC＝∠GCE，
在△BCD和△GEC中，
∴△BCD≌△GEC（AAS），∴BD＝GC＝x，BC＝GE＝AB，
∴AG＝AC＋CG＝5x，
在△ABF和△GEF中，
∴△ABF≌△GEF（AAS），∴AF＝FG＝x，
∴FC＝x，∴＝；
故本题答案为：。
17.①②④⑤
【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，结论①正确；
∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180° 60° 60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝60°＝∠DCE，∴PQ∥AE，结论②正确；
∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE＋∠AEO＝∠DAE＋∠ADC＝∠DCE＝60°，∴结论⑤正确；
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
故本题答案为：①②④⑤。
18.①②③④
【解析】①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
∵∠ABC＝∠ABO＋∠DBO＝30°，
∴∠APO＋∠DCO＝30°，故①正确；
②在△OBP中，∠BOP＝180° ∠OPB ∠OBP，
在△BOC中，∠BOC＝180° ∠OBC ∠OCB，
∴∠POC＝360° ∠BOP ∠BOC
＝∠OPB＋∠OBP＋∠OBC＋∠OCB
＝（∠OPB＋∠OCB）＋（∠OBP＋∠OBC）
＝30°＋∠ABD＝30°＋30°＝60°，
∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180° ∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠EPC，
在△OPA和△CPE中，
∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝EC，
∴AC＝AE＋EC＝AP＋AO，故③正确；
④如图3，作CH⊥BP，
∵CH⊥BP，∠PHC＝90°＝∠ODC，
∵∠B＝30°，∴∠HCB＝60°＝∠PCO，
∴∠HCB ∠HCO＝∠PCO ∠HCO，即∠OCD＝∠PCH，
在△CDO和△CHP中，
∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD＝S△CHP∴CH＝CD，
∵CD＝BD，∴BD＝CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S△ABD＝S△AHC，
∵四边形OAPC面积＝S△OAC＋S△AHC＋S△CHP＝S△AOC＋S△ABD＋S△OCD＝S△ABC，
∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确；
故本题答案为：①②③④。
三、解答题
19.解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝12∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm，
∴AB＋BE＋EC＝12cm，
即2DE＋2EC＝12cm，
∴DE＋EC＝DC＝6cm。
20.证明：如图，过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD，∠F＝∠FAD＝∠ABD，
∴AD＝FD，AB＝AF，
∵AE⊥BD，∴BE＝EF＝BF，
∵AC＝AD＋CD＝FD＋BD＝BF，∴AC＝2BE。
21.（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．∴AB＝2BC＝24cm，
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB AP＝（24 2t）cm，BQ＝t cm，
即24 2t＝t，解得：t＝8，
故答案为：8；
（2）当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形，理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，∴AB＝2BC＝24cm，
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB AP＝（24 2t）cm，BQ＝t cm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，
当BP＝2BQ时，24 2t＝2t，解得t＝6；
当BQ＝2BP时，t＝2（24 2t），解得t＝；
所以，当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形。
22.（1）解：∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180° ∠A＝120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠BCF＝∠ACF＝∠ACB，
∴∠CBE＋∠BCF＝∠ABC＋∠ACB＝×120°＝60°，
∴∠BPC＝180° （∠CBE＋∠BCF）＝180° 60°＝120°；
（2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，
在△FBP和△QBP中，
∴△FBP≌△QBP（SAS），∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，
∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＋∠AEP＝360° 60° 120°＝180°，∴∠BFP＋∠CEP＝180°，
∵∠CQP＋∠BQP＝180°，∴∠CEP＝∠CQP，
在△CQP和△CEP中，
∴△CQP≌△CEP（AAS），∴QP＝EP＝FP，
∴△EFP是等腰三角形。
23.（1）解：如图1中，
∵∠ACE是△ABC的一个外角，∴∠BAC＝∠ACE ∠ABC，
∵CO是∠ACE的角平分线，∴∠OCE＝∠ACE，
∵OB是∠ABC的角平分线，∴∠OBE＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠ACE ∠ABC＝2∠OCE 2∠OBE＝2（∠OCE ∠OBE）＝2∠O＝50°；
（2）证明：如图2中，过点O作OM⊥BD于点M，ON⊥AC于点N，OT⊥BE于点T．
∵CO平分∠ACE，ON⊥AC，OT⊥CE，∴ON＝OT，
∵BO平分∠DBE，OM⊥BD，OT⊥BE，∴OM＝OT，
∴OM＝ON，∴AO平分∠CAD．
（3）解：∵S△BOC＝ BC OT＝16，BC＝4，∴OT＝8，
∴OM＝ON＝OT＝8，
∴S△ABC＝S△△BOC＋S△AOB S△AOC
＝16＋×6×8 ×5×8
＝16＋24 20
＝20。
24.（1）证明：如图1，
∵BF⊥AD，∴∠AFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF，∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（ASA），∴BE＝AD；
（2）解：如图2，分别延长BF，AC交于点E，
由（1）知：BE＝AD＝5，
∵AD平分∠BAC，AF⊥BE，
∴∠ABF＝∠E，∴AB＝AE，
∴BF＝BE＝；
（3）解：AC＋CD＝AM，理由如下：
如图3，分别延长BF，AC交于点E，
由（1）可得△ACD≌△BCE，∴CD＝CE，
∵BF⊥AD，∴∠AFE＝∠AFM＝90°，
∵AF平分∠EAM，∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠M＝∠E，∴AM＝AE＝AC＋CE，
∴AC＋CD＝AM。
25.（1）如图1，过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F，
∴∠FMC＝90°，∴∠FMA＋∠AMC＝90°，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，
∴∠AME＝90°，∴∠CME＋∠AMC＝90°，
∴∠FMA＝∠CME，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴在Rt△FMC中，∠F＝∠FCM＝45°，∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CME（SAS），∴∠MCE＝∠F＝45°；
（2）AC CE＝CM，理由如下：
如图2，过点M作BC边的垂线交CA于点F，
∴∠FMC＝90°，∴∠FME＋∠EMC＝90°，
∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，
∴∠AME＝90°，∴∠FME＋∠AMF＝90°，∴∠FMA＝∠CME，
在Rt△FMC中，∠F＝∠FCM＝45°，∴FM＝CM，
在△FMA和△CME中，
∴△FMA≌△CMA（SAS），∴AF＝CE，
在Rt△CMF中，CF＝CM，
∴AC CE＝AC AF＝CF＝CM。
26.解：（1）BM、NC、MN之间的数量关系BM＋NC＝MN，
∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∵△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN,
∴MN＝2BM＝2CN＝BM＋CN，
故答案为：BM＋NC＝MN；
（2）猜想：结论仍然成立，理由如下：
在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，
∵∠MBD＝∠NCD＝90°，∴∠MBD＝∠M1CD＝90°，
在△DBM和△DCM1中，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB＋∠CDN＝60°，
∴∠M1DC＋∠CDN＝60°，即∠M1DN＝60°＝∠MDN，
在△MDN和△M1DN中，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC；
（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1、MN，
由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB＋∠BDN＝60°，
∴∠M1DC＋∠BDN＝60°，∴∠M1DN＝60°＝∠MDN，
在△MDN和△M1DN中，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝NC CM1＝NC BM。