人教版2024-2025学年度八年级上册数学第12章全等三角形 单元检测题 （含详解）

人教版2024-2025学年度八年级数学单元检测题
第12章《全等三角形》
时间：100分钟 满分：120分
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且△ABC≌△DEF，下列判断错误的是（　　）
A．∠C＝∠F B．AE＝BE C．BC＝EF D．EF∥CB
3．下列说法：其中正确的说法为（　　）
①全等三角形的形状相同、大小相等 ②全等三角形的面积相等
③周长相等的两个三角形全等 ④全等三角形的对应边相等、对应角相等
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
5．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
6．用六个如图1的全等△ABC纸片拼接出如图2的正六边形，则图2中∠ACB的度数是（　　）
A．50° B．45° C．40° D．30°
7．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
8．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b的边长为（　　）
A．55 B．16 C．6 D．4
9．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，若DE＝3cm，则点D到BC的距离为（　　）
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　 　°．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 　 　．
13．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠ADB＝45°，则∠BAC的度数为 　 　．
14．如图，点D在BC上，∠BED＝∠CDF＝90°，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝135°，则∠EDF＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积为 　 　．
16．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DF．求证：∠B＝∠DEF．
18．（6分）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AF＝CE，∠AEB＝∠CFD，请你再添加一个条件使得△AEB≌△CFD，并说明理由．
19．（8分）如图所示，海岛上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？
20．（8分）如图，△ABC≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上．
（1）求证：BF＝EC；
（2）若AB＝3，EF＝7，求AC边的取值范围．
21．（10分）已知：如图，△ABC的外角，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
（1）求证：点F在∠DAE的平分线上．
（2）若∠A＝50°，求∠BFC的大小．
22．（10分）如图，已知：点P（2m+1，5m﹣2）在第一象限角平分线OC上，∠BPA＝90°，角两边与x轴、y轴分别交于A点、B点．
（1）求点P坐标；
（2）求OA+OB的值，并写出推理过程．
23．（12分）如图（1）．AE与BD相交于点C．AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A——B——A的路径以3cm/s的速度运动；方向以tcm/s的速度运动；点Q从点D出发，沿D——E的方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE；
（2）用含t的式子表示线段AP的长；
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时（如图2）．求t的值．
24．（12分）在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF．
【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 　 　，∠BDC的度数为 　 　．
【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：全等图形形状相同，大小相等，
A、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
B、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意；
C、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
D、两个图形大小不等，故选项不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C＝∠F，AB＝DE，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，
∴AB﹣BE＝DE﹣BE，EF∥CB，
∴AE＝DB，
故A，C，D不符合题意，B符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，正确，故①符合题意；
②全等三角形的面积相等，正确，故②符合题意；
③周长相等的两个三角形不一定全等，故③不符合题意；
④全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确，故④符合题意．
∴其中正确的说法为①②④．
故选：C．
4．【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
5．【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
6．【解答】解：如下图所示：
∵六边形BCDEFG为正六边形，
∴∠GBC＝×（6﹣2）×180°＝120°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠GBH＝GBC﹣∠ABC＝120°﹣80°＝40°，
∵图中的正六边形是有6个全等△ABC纸片拼接的，
∴∠ACB＝∠GBH＝40°，
故选：C．
7．【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF，
∴△ACD≌△BEF（SSS），
∴∠MBN＝∠PAQ，
故选：B．
8．【解答】解：∵三个正方形a，b，c在直线l的同侧，且正方形a、c的边及正方形B的顶点在直线l上，
∴∠CAB＝∠BED＝180°﹣90°＝90°，∠CBD＝90°，CB＝BD，
∴∠ACB＝∠EBD＝90°﹣∠ABC，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴AB＝ED，
∵正方形a，c的面积分别为5和11，
∴AC2＝5，AB2＝DE2＝11，
∴BC＝＝＝4，
∴正方形b的边长为4，
故选：D．
9．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝3cm，
∴DF＝DE＝3cm，
∴点D到BC的距离为3cm，
故选：C．
10．【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE＝EF，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB，
∵点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，故③错误；
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，故②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，故④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，故①正确．
因此正确的有①②④，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，
∵∠D′＝105°，
∴∠D＝105°，
∵∠B＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝105°，
∴∠A′＝105°，
故答案为：105．
12．【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
13．【解答】解：∵AE∥BD，∠ADB＝45°，
∴∠EAD＝∠ADB＝45°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠EAD＝45°，
故答案为：45°．
14．【解答】解：∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝135°，
∴∠DFC＝45°．
又∵∠BED＝∠CDF＝90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），
∴∠BDE＝∠CFD＝45°，
∴∠EDF＝90°﹣∠BDE＝45°．
故答案为：45°．
15．【解答】解：因为AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
所以DF＝DE＝2，
则△ADC的面积＝．
故答案为：4．
16．【解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H．
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAH，
∵∠C＝∠AHD，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADH（AAS），
∴AC＝AH＝6，
∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°，
∴∠EDM＝∠CAB，
∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠E，
∴DA＝DE，
∵DH⊥AE，
∴AH＝HE＝6，
∵BE＝2，
∴BH＝4，
∴AB＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝FE．
∵∠A＝∠D＝90°，
则在Rt△ABC和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
∴∠B＝∠DEF．
18．【解答】解：添加{}BE＝FD，
理由：∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
19．【解答】解：相等．
理由：
∵∠CAD＝∠CBD，∠COA＝∠DOB（对顶角），
∴由内角和定理，得∠C＝∠D，
又∵∠CAB＝∠DBA＝90°，
在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA（AAS），
∴CA＝DB，
∴海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等．
20．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，
∴BF＝EC；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，EF＝7，
∴BC＝EF＝7，
在△ABC中，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7﹣3＜AC＜7+3，
即4＜AC＜10．
21．【解答】（1）证明：作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FG⊥AC于G，
∵BF平分∠CBD，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，
同理，FG＝FN，
∴FM＝FG，
又FM⊥AB，FG⊥AC，
∴点F在∠DAE的平分线上；
（2）解：∵BF、CF为△ABC两外角∠CBD、∠BCE的平分线，∠A＝50°，
∴∠BCF＝（∠A+∠ABC），∠CBF＝（∠A+∠ACB）；
由三角形内角和定理得：
∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°﹣×50°＝90°﹣25°＝65°．
22．【解答】解：（1）∵点P（2m+1，5m﹣2）在第一象限角平分线OC上，
∴2m+1＝5m﹣2，
解得：m＝1，
则点P的坐标为（3，3）；
（2）OA+OB＝6，推理如下：
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则∠PDA＝∠PEB＝90°，
∵∠EOD＝90°，
∴∠EPD＝∠EPB+∠BPD＝90°，
∵∠BPA＝∠BPD+∠DPA＝90°，
∴∠EPB＝∠DPA，
由点P的坐标知，PE＝PD＝OD＝OE＝3，
∴△PDA≌△PEB（SAS），
∴DA＝BE，
∴OA+OB＝OD+DA+OB＝OD+BE+OB＝OD+OE＝3+3＝6，
∴OA+OB＝6．
23．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
（2）解：当0≤t≤时，AP＝3t cm；
当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm，
则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3t cm或（8﹣3t）cm；
（3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤时，3t＝4﹣t，
解得：t＝1；
当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
24．【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，
理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O，
∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACF+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°．
故答案为：BE＝CF，30°；
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，
理由如下：如图2，
∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；
（3）【拓展延伸】BF＝CF+2AM，
理由如下：如图3，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AM⊥EF，
∴AM＝EM＝FM，即EF＝2AM，
∵BF＝BE+EF，
∴BF＝CF+2AM．