11.3.2多边形的内角和 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
人教版 八年级数学上
11.3.2 多边形的内角和
学习目标
1.掌握多边形的内角和与外角和公式.（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决有关问题.（难点）
温故知新
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
1.说一说什么是多边形？
3.从n边形的一个顶点出发，可以引出_______条对角线，将多边形
分割成了________个三角形.
2.说一说什么是多边形的对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
n－3
n－2
合作探究---多边形内角和
思考1：我们知道，三角形的内角和等于180°，长方形、正方形的内角和都等于______.
那么任意四边形的内角和是否也等于360°呢？你能用三角形内角和证明四边形的内角和等于360 ？
360°
合作探究---多边形内角和
方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
想一想，还有别的做法吗？
合作探究---多边形内角和
A
B
C
D
E
方法2：
如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3-180°=360°.
合作探究---多边形内角和
方法3：
如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,
△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
合作探究---多边形内角和
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°×3－ 180°= 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论： 四边形的内角和为360°.
合作探究---多边形内角和
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
思考2：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗
内角和为180°×3 = 540°.
内角和为180°×4 = 720°.
合作探究---多边形内角和
2
3
180°×3
=540°
3
4
180°×4
=720°
n－3
n－2
180°×(n － 2)
由特殊到一般：n 边形的内角和等于（n －2）×180°
小试牛刀
1.六边形的内角和等于( )
A.360° B.720°
C.1080° D.1260°
B
2.内角和是540°的多边形是（ ）
D
A
B
C
D
典例精析
例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
因为
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
变式训练
如图，在四边形ABCD中， ∠A与∠C互补， BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
合作探究---多边形外角和
思考3：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出六边形的外角和吗？
解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角
都等于180 °，
∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.
∴六边形外角和=总和－内角和
=6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°
合作探究---多边形外角和
由特殊到一般：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考4：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
思考5：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
即时小练：
(1)若一个正多边形的内角是150°,那么这是正 ____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是40°,则这个多边形是 ______边形.
十二
九
合作探究---多边形外角和
实战演练
1.若正n边形每一个内角等于它相邻外角的2倍，则n的值是（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
2.已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，求这个多边形的
边数 .
C
8
3.若一个正n多边形的每个内角为144°,则这个正n多边形的所有对角线的条数是 .
35
实战演练
3.一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则（n-2） 180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
且内角和为（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
实战演练
4.已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
解：∵360°÷180°=2，
630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
故甲同学说的边数n是4；
实战演练
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有
（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
拓展创新
1.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.
8
9
拓展创新
2.某厂生产一块模板的示意图如图，已知该模板的边AB∥CF,
CD∥AE，按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模
板上不便测量，这时师傅告诉徒弟只需测量一个角，便知道AB、
CD的延长线的夹角是否符合规定，需测哪一个角？说明理由。
解：只需测∠C。理由如下：
分别延长AB、CD，两线相较于点M，
因为AB∥CF,即AM∥CF,
所以∠C+∠M=180°所以测出∠C即可。
A
D
C
F
E
B
M
课后作业
今天我们收获了哪些知识？（畅所欲言）
1.说一说多边形内角和公式？
2.在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？
3.多边形的外角和等于多少？
4.正多边形的一个外角和一个内角的公式是什么？
课后作业
教材25页习题11.3第5、6、7、8题．
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