6.2排列与组合 课件(共47张PPT) 人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.2排列与组合 课件(共47张PPT) 人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 29.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-22 20:14:48 | ||
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文档简介
(共47张PPT)
排列与组合
学习目标
理解排列、排列数的概念
学习 目标 三
能正确写出一些简单问题的所有排列(列 举、树状图、表格)能够求出排列数
应用排列与排列数的知识解决简单的实际 问题
回顾
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
(arrangement).
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断的关 键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是 有序，无变化就是无序.
新课导入
问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加 上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法
根据分步乘法计数原理，不同选法的种数为N=3×2=6.
问题2 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共 可 得到多少个不同的三位数
根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为N=4×3×2=24
引入：通过上节课中的问题1和问题2,我们学习了排列的定义，并利用 分步乘法计数原理或列举法计算排列的个数，但是如果元素增多，这样的 表达和计算方法会显得繁琐冗长.简化一直是数学的追求，能进一步实现 对排列问题的简化运算吗
解：有18种不同的坐法.画出树状图如下.
B—D
B-
A—D
C-B< D-
—B
探索点三有限制的排列问题
【例3】A,B,C,D 四人坐成一排，要求自左向右，A 不坐在 排头，有多少种不同的坐法 写出所有的坐法.
由树状图可知，所有不同的坐法为 BACD,BADC,BCAD,
BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,
CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
C—D
D- -C A—D
D—A C
D-B< C-
C—B
-B
(1)有限制条件的排列问题一般表现为：某些元素不能在某 个(或某些)位置、某个(或某些)位置只能放某些元素等.
(2)解有限制条件的排列问题时，要优先处理特殊元素或处 理特殊位置，做到“想透、排够、不重不漏”.
方法规律
有限制的排列问题的求解策略
【跟踪训练】
3.变式练若将例3条件改为“A 不坐排头，B 不坐第二，C 不 坐第三，D 不坐第四”,结果如何
解 ：有9种不同的坐法.符合要求的坐法可分为三类，即第一 个可坐 B,C,D 中的一个，树状图如下：
所有不同的坐法为 BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDBA,
CDAB,DABC,DCAB,DCBA .
解 ：共能组成12个符合条件的四位数.要求首位数字是1,且
恰 有三个相同的数字，画出树状图如下：
4.同类练 由1,2,3,4四个数字共能组成多少个首位数字是1, 且恰有三个相同数字的四位数 并写出满足条件的所有四位数.
符合条件的四位数为1222,1333,1444,121 1,1311,1411,1121, 1131,1141,1112.1113,1114.
2-2-2
1-3-3-3
4-4-4
2-1
1-1-3-1
4-1
2-1-1
1-3-1-1
4-1-1
2
1-1-1÷3
5.拔高练在1,2,3,4的排列a a a a4 中，满足a >a ,a >a ,a >a
的排列个数是5 .
解析：先注意a 位置的数比a 位置的数大，可以借助树状图 进行筛选，满足a >a 的树状图如下：
再根据a >a ,a >a 进行筛选.从而得出满足题意的排列为 2143,3142,3241,4132,4231,共5个.
3-4
4-3
2-3
3-2
1-3
3-1
-1-2
2-1
2-4
4-2
-1-4
4-1
1<
3<
2<
2-1
新知探究
问 题 1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加
上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法
有什么要求 1名参上午的活动， 另1名参加下午的 活动
怎么完成这件事
确定参加上午
第1步： 活动的同学 3
第2步：确定参加下午
根据分步乘法计数原理，不同选法的种数为
N=3×2=6.
6种不同的选法法如左图
思考 完成一件什么事
选出2名同
学参加活动
上午 下午相应的选法
乙 丙 甲丙 甲 乙
甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙
活动的同学 2
甲 乙
丙
新知探究
问 题 1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加 上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法
追 问 1 问题1中，你能找到哪些关键词 这些关键词体现了什么意思
参加上午的活动在前，参加下午的活动在后.
有先后顺序的安排
追问2如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还 可怎样叙述问题1
如果把上面问题中被取的对象叫做元 素 .那么问题可叙述为：
从3个不同元素a,b,c 中任取2个，然后按一定顺序排成一列，
共有多少种不同的排列方法
所有不同排列是 ab,ac,ba,bc,ca,cb.
不同的排列方法种数为 3×2=6.
新知探究
向题2从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可 得到多少个不同的三位数
分 析：显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位”“十位”“个位”的
顺序排成一列，就得到一个三位数。
因此，有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.
可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取
1个，有4种方法；
第 2 步 ，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3 个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下 的2个数字中去取，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字排成三 位数，不同的排法种数为4×3×2=24
新知探究
追问还有什么方式适合分析该问题
树状图如下图所示：
百位：
十 位 ： 2 3 . 4
个 位 ： 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 241412
由此可写出所有的三位数： 123124132134142143
213214231234241243
312314321324341342
412413421423431432
所以共可得到24个不同的三位数
新知探究
追 问2如果将问题2的背景去掉，把被选出的数字叫做元素，那么还 可怎样叙述问题2
从4个不同的元素中任取3个，按照一定的顺序排成 一列，求一共有多少种不同的排法.
●所有不同的排列是 a bc,abd,acb,acd,ad b,adc;
bac,b ad,bca,bcd,b d a,bdc; ca b,c ad,cb a, cbd,cd a,c d b; d a b,d a c,d ba,d b c,d ca,d cb.
不排列方法种数 4×3×2=24
新知探究
思 考上述问题1,问题2的共同特点是什么 你能将它们推广到一般情形吗
问 题 1 :从甲、乙、丙3名同 学中选出2名参加一项活动， 其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动， 有多少种不同的选法
问题2:从1,2,3,4这4 个数字中，每次取出3个排 成一个三位数，共可得到多 少个不同的三位数
实质是：从4个不同的元素中， 任取3个，按 照一定的顺序排 成一列，写出所有不同的排法
实质是：从3个不同的元素中， 任取2个，按一定的顺序排成 一列，有哪些不同的排法。
追 问：如何将问题1的一种选法和问题2的一种排法归结为同一种叙述
概念生成
排列的定义：
一般地，从n 个不同元素中取 出m(m≤n) 个元素，并按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列(arrangement).
定义中包含两个基本内容： n 个不同的元素
取出元素
按照一定的顺序排列
概念辨析
1 .判断下列问题是排列问题吗 (从中归纳这几类问题的区别)
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种 不是排列
(2)从1,2,3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种 是排列
(3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的 是排列 点的坐标
(4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线 是排列 可确定多少条直线 不 是 排 列
(5)10个学生排队照相，则不同的站法有多少种 是 排 列
(6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组. 不是排列
(7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目· 是排列
归纳
排列问题的判断方法：
(1)首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m(m≤n) 个不 同的元素，否则不是排列问题。
(2)要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列， 无序则不是排列.
而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化， 有变化是有序，无变化就是无序.
追问：如何判断两个排列是否相同
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：
两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
123和321是不同的；123与124也是不同的
(分步计数原理)
解 ：可以先从这6支队中选1支为主队，
然后从剩下的5支队中选1支为客队按分步乘法计数原理，
每组进行的比赛场数为6×5=30 .
典例解析
例 1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各 队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛
分 析 ：每组任意2支队之间进行的1场比 赛，可以看作是从该组6支队中选取2支 ,按“主队、客队”的顺序排成的一个排 列.
(1)要完成的“一件事情”是什么 (2)完成的“一件事情”是否与
“顺序”有关 (3)如何利用计数 原理求出比赛的场数
典例解析
例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1 盘菜，共有多少种不同的取法
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 共有多少种不同的选法
思 考 ：这两个问题的区别在哪里
分 析 ：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任 取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列；
而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看 成一个排列.
典例解析
例 2 ( 1 )一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1 盘菜，共有多少种不同的取法
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 共有多少种不同的选法
解 ：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘 给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙。
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×4×3=60.
(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜
中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1 种，同 样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为
5×5×5=125.
新 知探究 排列数计算公式
探究 研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷的求出排列个数
从n个不同元素中取出m个元素的排列数An(m≤n)是多少
我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排 列数A 是多少 A 又是多少 进而归纳A"(m≤n)是多少
A"=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).(m,n∈N*且m≤n)
那么排列数A”就可以按依次填m 个空位得到：
同理，排列数A 可以按依次填3个空位得到：
排列数A 可以按依次填2个空位得到：
n n-1 n-2 …. n-tm +11)
n n-1
n-2
n
n-1
(1)观察公式的右边，有什么特点 共有几个因数
公式中是m 个连续正整数的连乘积，从n开始每项逐次减1
(2)比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点
m≤n, 最小因数是(n—m+1) 而不是(n—m)。
(3)若m=n 时，的表达式有什么特点
A”=n(n-1)(n-2)…×2×1
例 如 ：A = 3×2=6 .A = 5×4×3=60 .
概念生成
排列数公式：
A"=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).(m,n∈N*且m≤n)
问题2观察排列数公式的结构，回答下列问题：
排列数公式 的连乘形式
概念生成
全排列数：
1 .全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的 一个全排列.
全排列数为：A"=n(n-1)(n-2)…×2×1=n!
2.阶乘：正整数1到n的连乘积1×2×…×n称为n的阶乘，用 n! 表示，即
A"=n! 规定：0!=1.
典 例解 析
例3计算：
(1)A ;(2)A ; ③ ; 解：根据排列数公式，可得：
(1)A =7创65=210
(2)A =7 创65②4840 创 6 5 = 2 1 0
(4)A ②A 6 创 5 4 创 3 2 2 1 6 ! = 7 2 0
追问 观察例3的运算结果，你有什么发现 能推广到一般情况吗
(4)A ′A2.
概念提升
追问你能否对它进行证明呢 证明：A”=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
因此，排列数公式还可以写成：
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
排列数公式 的阶乘形式
巩固练习
1.计算：(1)A ;(2)A;(3)A -15A4; (4)
解 ：(1) A =12×11×10×9=11880;
(2)A =8×7×6×5×4×3×2×1=40320;
(3)A -15A 4=15×14×13×12×11-15×14×13×12×11=0;
课本P20
·
(2)A -8A7+7A6=8!-8×7!+7×6!=8!-8!+7!=A7.
3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不 同的火车，共有多少种不同的停放方法
解：不同的停放方法有
A =8×7×6×5=1680(种).
巩 固 练 习 课本P20
2.求证：(1) ; (2)A8-8A7+7A6=A7.
典 例 解 析
例 4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
分 析 ：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上， 因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。
解法1:由于三位数的百位上的数字不能是0,所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9
个数字中取出1个，有A,种取法； 百位 十 位 个 位
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从
剩下的9个数字中取出2个，有A 种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为：
A, A,9 创98=648
典例解析
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 解法2:符合条件的三位数可以分成三类：
第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有A 种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十
位，有A 种取法；
第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个
A
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
A +A +A =9创87+928928648
位，有A 种取法.
百位 十位 个位
0
0
百位 十位 个位
百位 十位 个位
典例解析
例4用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
解法3:从 o~9这10个数字中选取3个的排列数为A 0
其中0在百位上的排列数为A
百 位 十 位 个 位 百位十位个位
它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数
即所求三位数的个数为
A 。-A =10创98-928648
方法归纳
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，
再从中减去全部不符合条件的排列数，从 而得出符合条件的排列数
位置分析法
直接法
元素分析法
以位置为主，优先 考虑特殊位置
以元素为主，优 先考虑特殊元素
分步
先分类 后分步
间接法
且是奇数
解 ：(1)0在十位的有A A 个
(2)没有0的有AsA 个 .
∴共有AsAg+AsA =320 (个).
变式练习
变 式 1/用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
且是偶数
解 ：(1)0在个位的有A}个；
(2)0在十位的有A Ag 个；
(3)没有0的有A A 个 .
∴共有A3+A Ag+A4A =328 (个).
变式2用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
0
0
0
新知探究
问题 2 :从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种 不同的选法
追问2如果将该问题的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还 可怎样概括
从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少 个不同的组
这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为
组合问题.
新知探究
组合定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫 做 从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元 素 ，按照一定的顺序排
成 一 列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 思考：比较排列的概念与组合的概念，它们区别与联系是什么
共同点：都要“从n个不同元素中任取m 个元素”
不同点：对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”, 而组合“与顺序无关 ”.
例如：ab 与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合.
新知探究
例如，在上述探究问题中，“甲 乙”与“乙 甲”的元素完全相同， 但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列.
由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之 间的对应关系，如图所示.
排列与顺序 组合与顺序
有关 无关
组 合 甲 乙 甲丙 乙丙
排列 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙
概念辨析
1.判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个 组 合
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票 排 列
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价 组 合
(4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法 组 合
(5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次 组合
(6)从4个风景点中选出2个游览，有多少种不同的方法 组合
(7)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少 排 列 种不同的方法
组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.
典例解析
例1平 面内有A、B、C、D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条
解：(1)—条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个点中的两 个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列 数，共有A =4×3 =12条.
这12条有向线段分别为
AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC.
(2)将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段，就是以 平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB,AC,AD,BC,BD,CD.
典例解析
例1平面内有A、B、C、D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条
追 问 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能 建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗 进一步地，能否 从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数
排列：AB,BA AC,CA AD,DA BC,CB BD,DB CD,DC
组 合 ： AB AC AD BC BD CD
结 论 ：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半
[典例精析]
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假
货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种 [解] (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C34=561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有C34种或者C35—C34=C34=5984(种)取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有C2 C =2100 (种)取法. 所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2种假货有C C 种，选取3种假货有C 种， 共有选取方式C2 C +Ci =2100+455=2555 (种) . 所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
[解题技法]
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”,则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不 含”,则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取，
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这 类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含
义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用 直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
巩固练习 课本P16
1 . 写出：
(1)用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
(2)从a,b,c,d 中取出2个字母的所有排列.
解 ：(1)10121314202123243031323440414 243共16个.
(2)ab ac ad babcbd ca cbcd dadb dc共12个.
2.一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序
解 ：4×3×2×1=24(种).
3.学校乒乓团体比赛采用5场3胜制(5场单打),每支球队派3名运动员参 赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2 场比赛中还将各出场1次。
(1)从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况
(2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况.
解：(1)5×4×3=60(种).
(2)可分为三类：
① 打3场比赛：甲乙丙甲丙乙乙甲丙乙丙甲丙甲乙丙乙甲；
② 打4场比赛：甲乙丙甲甲乙丙乙甲丙乙 甲 甲丙乙丙 乙甲丙乙乙甲丙甲乙丙甲乙 乙 丙甲丙 丙甲乙丙丙甲乙甲丙乙甲丙丙乙甲乙；
巩固练习
课本P17
3 .学校乒乓团体比赛采用5场3胜制(5场单打),每支球队派3名运动员参
赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2 场比赛中还将各出场1次。
(1)从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况
(2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况.
解 ：③打5场比赛：甲乙丙甲乙甲乙丙乙甲甲丙乙甲丙甲丙乙丙甲 乙甲丙乙甲乙甲丙甲乙乙丙甲乙丙乙丙甲丙乙 丙甲乙丙甲丙甲乙甲丙丙乙甲丙乙丙乙甲乙丙.
巩固练习
课本P17
巩固练习
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定 的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排 列(arrangement).
2.排列的简单计算：
树状图分析、列举、分步乘法计数原理.
3 .排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.
3.阶乘：正整数1到n的连乘积1×2×…×n称为n的阶乘，用n!表示，即
规定：0!=1 .
排列数公式的阶乘形式：
课堂小结
1.排列数公式： .(m,n∈N*且m≤n)
排列与组合
学习目标
理解排列、排列数的概念
学习 目标 三
能正确写出一些简单问题的所有排列(列 举、树状图、表格)能够求出排列数
应用排列与排列数的知识解决简单的实际 问题
回顾
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
(arrangement).
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断的关 键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是 有序，无变化就是无序.
新课导入
问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加 上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法
根据分步乘法计数原理，不同选法的种数为N=3×2=6.
问题2 从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共 可 得到多少个不同的三位数
根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为N=4×3×2=24
引入：通过上节课中的问题1和问题2,我们学习了排列的定义，并利用 分步乘法计数原理或列举法计算排列的个数，但是如果元素增多，这样的 表达和计算方法会显得繁琐冗长.简化一直是数学的追求，能进一步实现 对排列问题的简化运算吗
解：有18种不同的坐法.画出树状图如下.
B—D
B-
A—D
C-B< D-
—B
探索点三有限制的排列问题
【例3】A,B,C,D 四人坐成一排，要求自左向右，A 不坐在 排头，有多少种不同的坐法 写出所有的坐法.
由树状图可知，所有不同的坐法为 BACD,BADC,BCAD,
BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,
CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
C—D
D- -C A—D
D—A C
D-B< C-
C—B
-B
(1)有限制条件的排列问题一般表现为：某些元素不能在某 个(或某些)位置、某个(或某些)位置只能放某些元素等.
(2)解有限制条件的排列问题时，要优先处理特殊元素或处 理特殊位置，做到“想透、排够、不重不漏”.
方法规律
有限制的排列问题的求解策略
【跟踪训练】
3.变式练若将例3条件改为“A 不坐排头，B 不坐第二，C 不 坐第三，D 不坐第四”,结果如何
解 ：有9种不同的坐法.符合要求的坐法可分为三类，即第一 个可坐 B,C,D 中的一个，树状图如下：
所有不同的坐法为 BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDBA,
CDAB,DABC,DCAB,DCBA .
解 ：共能组成12个符合条件的四位数.要求首位数字是1,且
恰 有三个相同的数字，画出树状图如下：
4.同类练 由1,2,3,4四个数字共能组成多少个首位数字是1, 且恰有三个相同数字的四位数 并写出满足条件的所有四位数.
符合条件的四位数为1222,1333,1444,121 1,1311,1411,1121, 1131,1141,1112.1113,1114.
2-2-2
1-3-3-3
4-4-4
2-1
1-1-3-1
4-1
2-1-1
1-3-1-1
4-1-1
2
1-1-1÷3
5.拔高练在1,2,3,4的排列a a a a4 中，满足a >a ,a >a ,a >a
的排列个数是5 .
解析：先注意a 位置的数比a 位置的数大，可以借助树状图 进行筛选，满足a >a 的树状图如下：
再根据a >a ,a >a 进行筛选.从而得出满足题意的排列为 2143,3142,3241,4132,4231,共5个.
3-4
4-3
2-3
3-2
1-3
3-1
-1-2
2-1
2-4
4-2
-1-4
4-1
1<
3<
2<
2-1
新知探究
问 题 1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加
上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法
有什么要求 1名参上午的活动， 另1名参加下午的 活动
怎么完成这件事
确定参加上午
第1步： 活动的同学 3
第2步：确定参加下午
根据分步乘法计数原理，不同选法的种数为
N=3×2=6.
6种不同的选法法如左图
思考 完成一件什么事
选出2名同
学参加活动
上午 下午相应的选法
乙 丙 甲丙 甲 乙
甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙
活动的同学 2
甲 乙
丙
新知探究
问 题 1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加 上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法
追 问 1 问题1中，你能找到哪些关键词 这些关键词体现了什么意思
参加上午的活动在前，参加下午的活动在后.
有先后顺序的安排
追问2如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还 可怎样叙述问题1
如果把上面问题中被取的对象叫做元 素 .那么问题可叙述为：
从3个不同元素a,b,c 中任取2个，然后按一定顺序排成一列，
共有多少种不同的排列方法
所有不同排列是 ab,ac,ba,bc,ca,cb.
不同的排列方法种数为 3×2=6.
新知探究
向题2从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可 得到多少个不同的三位数
分 析：显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位”“十位”“个位”的
顺序排成一列，就得到一个三位数。
因此，有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.
可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取
1个，有4种方法；
第 2 步 ，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3 个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下 的2个数字中去取，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字排成三 位数，不同的排法种数为4×3×2=24
新知探究
追问还有什么方式适合分析该问题
树状图如下图所示：
百位：
十 位 ： 2 3 . 4
个 位 ： 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 241412
由此可写出所有的三位数： 123124132134142143
213214231234241243
312314321324341342
412413421423431432
所以共可得到24个不同的三位数
新知探究
追 问2如果将问题2的背景去掉，把被选出的数字叫做元素，那么还 可怎样叙述问题2
从4个不同的元素中任取3个，按照一定的顺序排成 一列，求一共有多少种不同的排法.
●所有不同的排列是 a bc,abd,acb,acd,ad b,adc;
bac,b ad,bca,bcd,b d a,bdc; ca b,c ad,cb a, cbd,cd a,c d b; d a b,d a c,d ba,d b c,d ca,d cb.
不排列方法种数 4×3×2=24
新知探究
思 考上述问题1,问题2的共同特点是什么 你能将它们推广到一般情形吗
问 题 1 :从甲、乙、丙3名同 学中选出2名参加一项活动， 其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动， 有多少种不同的选法
问题2:从1,2,3,4这4 个数字中，每次取出3个排 成一个三位数，共可得到多 少个不同的三位数
实质是：从4个不同的元素中， 任取3个，按 照一定的顺序排 成一列，写出所有不同的排法
实质是：从3个不同的元素中， 任取2个，按一定的顺序排成 一列，有哪些不同的排法。
追 问：如何将问题1的一种选法和问题2的一种排法归结为同一种叙述
概念生成
排列的定义：
一般地，从n 个不同元素中取 出m(m≤n) 个元素，并按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列(arrangement).
定义中包含两个基本内容： n 个不同的元素
取出元素
按照一定的顺序排列
概念辨析
1 .判断下列问题是排列问题吗 (从中归纳这几类问题的区别)
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种 不是排列
(2)从1,2,3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种 是排列
(3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的 是排列 点的坐标
(4)平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线 是排列 可确定多少条直线 不 是 排 列
(5)10个学生排队照相，则不同的站法有多少种 是 排 列
(6)从高二(1)班全体同学中选5人组成课外数学学习小组. 不是排列
(7)从高二(1)班全体同学中选5人分别参加校运动会的5个运动项目· 是排列
归纳
排列问题的判断方法：
(1)首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m(m≤n) 个不 同的元素，否则不是排列问题。
(2)要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列， 无序则不是排列.
而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化， 有变化是有序，无变化就是无序.
追问：如何判断两个排列是否相同
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：
两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
123和321是不同的；123与124也是不同的
(分步计数原理)
解 ：可以先从这6支队中选1支为主队，
然后从剩下的5支队中选1支为客队按分步乘法计数原理，
每组进行的比赛场数为6×5=30 .
典例解析
例 1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各 队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛
分 析 ：每组任意2支队之间进行的1场比 赛，可以看作是从该组6支队中选取2支 ,按“主队、客队”的顺序排成的一个排 列.
(1)要完成的“一件事情”是什么 (2)完成的“一件事情”是否与
“顺序”有关 (3)如何利用计数 原理求出比赛的场数
典例解析
例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1 盘菜，共有多少种不同的取法
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 共有多少种不同的选法
思 考 ：这两个问题的区别在哪里
分 析 ：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜；可看作是从这5盘菜中任 取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列；
而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看 成一个排列.
典例解析
例 2 ( 1 )一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1 盘菜，共有多少种不同的取法
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 共有多少种不同的选法
解 ：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘 给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙。
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
5×4×3=60.
(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜
中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1 种，同 样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为
5×5×5=125.
新 知探究 排列数计算公式
探究 研究了排列数的符号表达，是否有排列数公式便捷的求出排列个数
从n个不同元素中取出m个元素的排列数An(m≤n)是多少
我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排 列数A 是多少 A 又是多少 进而归纳A"(m≤n)是多少
A"=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).(m,n∈N*且m≤n)
那么排列数A”就可以按依次填m 个空位得到：
同理，排列数A 可以按依次填3个空位得到：
排列数A 可以按依次填2个空位得到：
n n-1 n-2 …. n-tm +11)
n n-1
n-2
n
n-1
(1)观察公式的右边，有什么特点 共有几个因数
公式中是m 个连续正整数的连乘积，从n开始每项逐次减1
(2)比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点
m≤n, 最小因数是(n—m+1) 而不是(n—m)。
(3)若m=n 时，的表达式有什么特点
A”=n(n-1)(n-2)…×2×1
例 如 ：A = 3×2=6 .A = 5×4×3=60 .
概念生成
排列数公式：
A"=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).(m,n∈N*且m≤n)
问题2观察排列数公式的结构，回答下列问题：
排列数公式 的连乘形式
概念生成
全排列数：
1 .全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的 一个全排列.
全排列数为：A"=n(n-1)(n-2)…×2×1=n!
2.阶乘：正整数1到n的连乘积1×2×…×n称为n的阶乘，用 n! 表示，即
A"=n! 规定：0!=1.
典 例解 析
例3计算：
(1)A ;(2)A ; ③ ; 解：根据排列数公式，可得：
(1)A =7创65=210
(2)A =7 创65②4840 创 6 5 = 2 1 0
(4)A ②A 6 创 5 4 创 3 2 2 1 6 ! = 7 2 0
追问 观察例3的运算结果，你有什么发现 能推广到一般情况吗
(4)A ′A2.
概念提升
追问你能否对它进行证明呢 证明：A”=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
因此，排列数公式还可以写成：
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
排列数公式 的阶乘形式
巩固练习
1.计算：(1)A ;(2)A;(3)A -15A4; (4)
解 ：(1) A =12×11×10×9=11880;
(2)A =8×7×6×5×4×3×2×1=40320;
(3)A -15A 4=15×14×13×12×11-15×14×13×12×11=0;
课本P20
·
(2)A -8A7+7A6=8!-8×7!+7×6!=8!-8!+7!=A7.
3.一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不 同的火车，共有多少种不同的停放方法
解：不同的停放方法有
A =8×7×6×5=1680(种).
巩 固 练 习 课本P20
2.求证：(1) ; (2)A8-8A7+7A6=A7.
典 例 解 析
例 4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
分 析 ：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上， 因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。
解法1:由于三位数的百位上的数字不能是0,所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9
个数字中取出1个，有A,种取法； 百位 十 位 个 位
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从
剩下的9个数字中取出2个，有A 种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为：
A, A,9 创98=648
典例解析
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 解法2:符合条件的三位数可以分成三类：
第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有A 种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十
位，有A 种取法；
第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个
A
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
A +A +A =9创87+928928648
位，有A 种取法.
百位 十位 个位
0
0
百位 十位 个位
百位 十位 个位
典例解析
例4用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
解法3:从 o~9这10个数字中选取3个的排列数为A 0
其中0在百位上的排列数为A
百 位 十 位 个 位 百位十位个位
它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数
即所求三位数的个数为
A 。-A =10创98-928648
方法归纳
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，
再从中减去全部不符合条件的排列数，从 而得出符合条件的排列数
位置分析法
直接法
元素分析法
以位置为主，优先 考虑特殊位置
以元素为主，优 先考虑特殊元素
分步
先分类 后分步
间接法
且是奇数
解 ：(1)0在十位的有A A 个
(2)没有0的有AsA 个 .
∴共有AsAg+AsA =320 (个).
变式练习
变 式 1/用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
且是偶数
解 ：(1)0在个位的有A}个；
(2)0在十位的有A Ag 个；
(3)没有0的有A A 个 .
∴共有A3+A Ag+A4A =328 (个).
变式2用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
0
0
0
新知探究
问题 2 :从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种 不同的选法
追问2如果将该问题的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还 可怎样概括
从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少 个不同的组
这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为
组合问题.
新知探究
组合定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫 做 从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元 素 ，按照一定的顺序排
成 一 列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 思考：比较排列的概念与组合的概念，它们区别与联系是什么
共同点：都要“从n个不同元素中任取m 个元素”
不同点：对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”, 而组合“与顺序无关 ”.
例如：ab 与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合.
新知探究
例如，在上述探究问题中，“甲 乙”与“乙 甲”的元素完全相同， 但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列.
由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之 间的对应关系，如图所示.
排列与顺序 组合与顺序
有关 无关
组 合 甲 乙 甲丙 乙丙
排列 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙
概念辨析
1.判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个 组 合
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票 排 列
(3)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上有多少种不同的火车票价 组 合
(4)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法 组 合
(5)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次 组合
(6)从4个风景点中选出2个游览，有多少种不同的方法 组合
(7)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少 排 列 种不同的方法
组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.
典例解析
例1平 面内有A、B、C、D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条
解：(1)—条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个点中的两 个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列 数，共有A =4×3 =12条.
这12条有向线段分别为
AB,BA,AC,CA,AD,DA,BC,CB,BD,DB,CD,DC.
(2)将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段，就是以 平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB,AC,AD,BC,BD,CD.
典例解析
例1平面内有A、B、C、D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条
追 问 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能 建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗 进一步地，能否 从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数
排列：AB,BA AC,CA AD,DA BC,CB BD,DB CD,DC
组 合 ： AB AC AD BC BD CD
结 论 ：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半
[典例精析]
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假
货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种 [解] (1)从余下的34种商品中，
选取2种有C34=561(种)取法，
所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)从34种可选商品中，选取3种，
有C34种或者C35—C34=C34=5984(种)取法.
所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种.
(3)从20种真货中选取1种，
从15种假货中选取2种有C2 C =2100 (种)取法. 所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.
(4)选取2种假货有C C 种，选取3种假货有C 种， 共有选取方式C2 C +Ci =2100+455=2555 (种) . 所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.
[解题技法]
组合问题的2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”,则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不 含”,则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取，
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这 类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含
义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用 直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
巩固练习 课本P16
1 . 写出：
(1)用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
(2)从a,b,c,d 中取出2个字母的所有排列.
解 ：(1)10121314202123243031323440414 243共16个.
(2)ab ac ad babcbd ca cbcd dadb dc共12个.
2.一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序
解 ：4×3×2×1=24(种).
3.学校乒乓团体比赛采用5场3胜制(5场单打),每支球队派3名运动员参 赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2 场比赛中还将各出场1次。
(1)从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况
(2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况.
解：(1)5×4×3=60(种).
(2)可分为三类：
① 打3场比赛：甲乙丙甲丙乙乙甲丙乙丙甲丙甲乙丙乙甲；
② 打4场比赛：甲乙丙甲甲乙丙乙甲丙乙 甲 甲丙乙丙 乙甲丙乙乙甲丙甲乙丙甲乙 乙 丙甲丙 丙甲乙丙丙甲乙甲丙乙甲丙丙乙甲乙；
巩固练习
课本P17
3 .学校乒乓团体比赛采用5场3胜制(5场单打),每支球队派3名运动员参
赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2 场比赛中还将各出场1次。
(1)从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况
(2)甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况.
解 ：③打5场比赛：甲乙丙甲乙甲乙丙乙甲甲丙乙甲丙甲丙乙丙甲 乙甲丙乙甲乙甲丙甲乙乙丙甲乙丙乙丙甲丙乙 丙甲乙丙甲丙甲乙甲丙丙乙甲丙乙丙乙甲乙丙.
巩固练习
课本P17
巩固练习
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定 的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排 列(arrangement).
2.排列的简单计算：
树状图分析、列举、分步乘法计数原理.
3 .排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.
3.阶乘：正整数1到n的连乘积1×2×…×n称为n的阶乘，用n!表示，即
规定：0!=1 .
排列数公式的阶乘形式：
课堂小结
1.排列数公式： .(m,n∈N*且m≤n)