数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1函数的概念 课件（共44张ppt）

(共44张PPT)
3.1.1　函数的概念
课标定位
素养阐释
1.会用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.了解构成函数的要素.
3.能求简单函数的定义域.
4.体会数学抽象的过程,提升数学抽象和数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
一、函数的概念
1.阅读以下例子:
①集合A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},x∈A,y∈B,y=2x+1;
②集合A={x|-3≤x≤0},B={y|0≤y≤10},x∈A,y∈B,y=x2;
③集合A={4 019,4 020,4 021},B={0.07,0.08,0.06},x与y的对应关系如下表:
x 4 019 4 020 4 021
y 0.07 0.08 0.06
(1)以上3个例子中,集合A,B中的元素有什么特点
(2)按照给出的x与y的对应关系,对于集合A中的任意一个实数,在集合B中是否都有与之对应的实数 与之对应的实数是否唯一
(3)集合B中的每一个实数都有集合A中的某一实数与之对应吗
提示:(1)都是实数,即A,B均为非空的实数集.
(2)都有,唯一.
(3)不一定.
2.一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
3.
二、区间与无穷大
1.集合的表示方法有哪几种
提示:列举法、描述法、Venn图法.
2.设a,b是两个实数,而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b];
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作正无穷大.
3.将下列集合用恰当的区间表示:
(1){x|-1(3){x|x<-5}; (4){x|2≤x<6}.
解:(1)(-1,4);(2)[3,+∞);(3)(-∞,-5);(4)[2,6).
三、函数的三要素
1.以下各对函数的定义域、对应关系、值域是否相同
提示:(1)对应关系相同,定义域、值域不同;
(2)定义域相同,对应关系、值域不同;
(3)定义域、对应关系、值域都相同.
2.(1)由函数的定义可知,一个函数的构成要素为定义域、
对应关系和值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)区间是数集的另外一种表示形式,任何数集都可用区间表示.( × )
(2)集合{x|x≥4}可用区间表示为[4,+∞].( × )
(3)函数的定义域和值域不一定是无限集合.( √ )
(4)若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则该函数的值域就是B.( × )
(5)函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.( × )
合作探究·释疑解惑
探究一 函数关系的判断
【例1】 给出下列对应关系,其中是从A到B的函数的有　　　　　.(填序号)
解析:①A中的元素0在B中没有元素与之对应,故该对应关系不是从A到B的函数;
②对于A中的任意一个元素x(x是整数),在B中都有唯一确定的整数y=x2-1与之对应,故这一对应关系是从A到B的函数;
③A中的元素x是负实数时,在B中没有元素与之对应,故该对应关系不是从A到B的函数;
④对于A中的任意一个元素x,在B中都有唯一确定的数1与之对应,故这一对应关系是从A到B的函数;
⑤A中的元素-2在B中没有元素与之对应,故该对应关系不是从A到B的函数.
答案:②④
反思感悟
判断一个对应关系是不是函数关系的方法:
(1)分析定义域和对应关系是否已经给出;
(2)分析自变量的取值范围中是否每一个值都有与之对应的元素;
(3)分析与自变量的每一个取值对应的元素是否唯一.
【变式训练1】 下列对应或关系式中是A到B的函数的是
(　　)
答案:B
探究二 函数定义域的求解
(4)矩形的周长为60,其中一边的长为x,另一边的长y是关于x的函数y=f(x).
(4)依题意,x>0,且2x+2y=60,于是y=f(x)=30-x.
又y>0,所以30-x>0,解得x<30,故自变量x的取值范围是0反思感悟
1.求函数定义域的常用依据:
(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;
(3)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个式子定义域的交集;
(4)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.
2.求函数定义域的一般步骤:
(1)根据解析式有意义的条件,列出关于自变量的不等式(组);
(2)求得所列不等式的解集或所列不等式组中每个不等式的解集的交集;
(3)把不等式(组)的解集用集合或区间表示,即得函数的定义域.
探究三 区间及其应用
【例3】 将下列区间与集合分别用集合、区间表示:
(1)(-3,7),(-∞,-4],(0,3)∪(3,8);
(2){x|1≤x<6},{x|x≠-2,x∈R},{x|x2≥9,x∈R}.
解:(1)区间(-3,7)可表示为{x|-3(2)集合{x|1≤x<6}可表示为[1,6),集合{x|x≠-2,x∈R}可表示为(-∞,-2)∪(-2,+∞),集合{x|x2≥9,x∈R}={x|x≥3,或x≤-3}可表示为(-∞,-3]∪[3,+∞).
反思感悟
运用区间表示集合时应注意以下几点
(1)区间内的两个数用“,”隔开;
(2)区间中左边的数一定比右边的数小;
(3)无穷大“∞”是一个符号,不是一个数,以“+∞”或“-∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号;
(4)两部分区间表示一个集合时,应用“∪”连接;
(5)只有由实数组成的集合才能用区间来表示.
【变式训练2】 若[m2,2m+3]是一个确定的区间,则实数m的取值范围是　　　　　.
解析:依题意有m2<2m+3,即m2-2m-3<0,解得-1答案:(-1,3)
易 错 辨 析
忽视同一个函数的条件致错
【典例】 下列各对函数中是同一个函数的有　　　　　. (填序号)
错解:①②③
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解原因一方面是忽视了对两个函数定义域的分析比较,另一方面是对函数自变量的符号表示规则不清.
③由于函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},g(x)的定义域为R,因此两个函数的定义域不同,两个函数不是同一个函数;
④因为两个函数的定义域和对应关系都相同,只是表示自变量的字母不同,所以两个函数是同一个函数.
答案:②④
防范措施
判断两个函数是不是同一个函数的步骤:
(1)求定义域;
(2)判断两个函数的定义域是否相同,若定义域不同,则两个函数不是同一个函数;若两个函数的定义域相同,则再进行下一步;
(3)化简两个函数的解析式,若解析式相同,即对应关系相同,则两个函数是同一个函数;否则两个函数不是同一个函数.
【变式训练】 (多选题)下列各组函数是同一个函数的是
(　　)
答案:BC
随 堂 练 习
答案:BCD
A.[-1,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞)
D.[0,+∞)
解析:要使函数有意义,应满足x+1>0,即x>-1,故函数的定义域为(-1,+∞).
答案:B
解析:只有C选项中的函数与y=1具有相同的定义域和对应关系,是同一个函数.
答案:C
4.若集合A=(-2,8],B=(-1,10],则 R(A∩B)=　　　　　.
解析:由已知得A∩B=(-1,8],即 R(A∩B)=(-∞,-1]∪(8,+∞).
答案:(-∞,-1]∪(8,+∞)