2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：相似三角形二
位似图形的应用：
例6.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) www.21-cn-jy.com
变式训练1.△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A．3 B．6 C．9 D．12
变式训练2.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( )
A.(1,2) B.(1,1) C.() D.(2,1)
变式训练3.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为
A.（2，5） B.（2.5，5） C. （3，5） D.（3，6） 【来源：21·世纪·教育·网】
相似的提升应用：
例7.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
变式训练.如图，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正确结论为( )
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
例8.在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．21世纪教育网版权所有
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．21·cn·jy·com
变式训练：如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． 21cnjy.com
求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
例9.如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．
变式训练：如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 21教育网
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：相似三角形二答案
位似图形的应用：
例6.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 21世纪教育网版权所有
解析:∵线段CD和线段AB关于原点位似，
∴△ODC∽△OBA，∴，即，
∴CD=1，OD=2，∴C（2,1）.
变式训练1.△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）21cnjy.com
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．
变式训练2.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( )
A.(1,2) B.(1,1) C.() D.(2,1)
变式训练3.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A. （2，5） B.（2.5，5） C. （3，5） D.（3，6）
解析：据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，
所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B
相似的提升应用：
例7.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
解析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，
于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对
①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质
可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定
方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于
不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．21·cn·jy·com
解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，
而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，
∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，
而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故选D．
变式训练.如图，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；
④MG?MH=，其中正确结论为( )
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
解析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=，故①正确
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°, ∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE．
∵∠5=45°， ∴∠BDE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°， ∴△ACE∽△BFC， ∴
∴AF?BF=AC?BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG， MG∥BC，MH∥AC，
∴， 即，
∴MG=；MH=，
∴MG?MH=
故④正确． 故选：C．
例8.在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．21教育网
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．www.21-cn-jy.com
解析：（1）利用“两角法”可以证得△PBQ与△ABC相似；
（2）设BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出S与x的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值；
（3）利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2=AB2﹣AC2，易求得：BC=AC，则λ=
解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B ∴△PBQ∽△ABC；
（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5
∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴，即
∴
S△APQ=
∴当时，△APQ的面积最大，最大值是；
（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP ， ∴AQ=AC
又Rt△AQP≌Rt△BQP， ∴AQ=QB， ∴AQ=QB=AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2=AB2﹣AC2
∴BC=AC
∴λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．
变式训练：如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． 2·1·c·n·j·y
求证：△ABM∽△EFA；
若AB=12，BM=5，求DE的长．
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM=，AD=12，
∵F是AM的中点，∴AF=AM=，
∵△ABM∽△EFA，∴
即， ∴AE=16.9，
∴DE=AE﹣AD=4.9．
例9.如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．
解析：(1)、有三对相似三角形，
即△AMP∽△BPQ∽△CQD
、设AP=x，有折叠关系可得:
BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1
由△AMP∽△BPQ得： 即
由△AMP∽△CQD得： 即CQ=2
AD=BC=BQ+CQ=+2 MD=AD－AM=+2－1=+1 【来源：21·世纪·教育·网】
又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF= DF=DC=2x ∴ 解得：x=3或x=(不合题意，舍去) ∴AB=2x=6. 21·世纪*教育网
变式训练：如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
，即，
解得：OP=x，PN=，
∴点N的坐标是（x，）；
（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，
，
∴S与x之间的函数表达式为，
配方得：，
∵，∴S有最大值，
当x=2时，S有最大值，最大值是；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：
则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，
，即，解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，
此时OM=4﹣x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：相似三角形二作业
如图所示，已知△ABC∽△ADE，，，
. 求：;（2）的长.
2.如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG=OG；（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．
如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB．
当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问的值是否发生变化？如果变化，求其取值范围；如果不变，请说明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围． 21·cn·jy·com
如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．△ADP沿点A旋转至△ABP’，连结PP’，并延长AP与BC相交于点Q．
求证：△APP’是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ的大小； （3）求CQ的长． www.21-cn-jy.com
如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为，四边形EFQP的面积为，四边形PQCB的面积为 (1) 求证：EF＋PQ＝BC (2) 若，求的值
(3) 若，直接写出的值
如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
7.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
求证：PA是⊙O的切线；
（2）若，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
8.如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．21世纪教育网版权所有
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
9.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．21教育网
10.△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；21cnjy.com
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．
2015学年浙教版九上数学期末总复习学案：相似三角形二作业答案
如图所示，已知△ABC∽△ADE，，，
. 求：;（2）的长
解:(1）因为△∽△，
所以由相似三角形的对应角相等得.
在△中，，
即，所以.
（2）因为△∽△，所以由相似三角形的对应边成比例得
，即，所以.
如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG=OG；（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值． 21cnjy.com
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC，AD=BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，∴．
∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG，GB=3EG，
∴EG：BG=1：3；
（2）∵GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO=AC=2AG，
∴GO=AO﹣AG=AG；
（3）∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．
∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，
∴，
∴，即．
∵AC=4AG，∴a=AG=AC，
b=AH﹣AG=AC﹣AC=AC，
c=AO﹣AH=AC﹣AC=AC，
∴a：b：c=．
如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB．
当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问的值是否发生变化？如果变化，求其取值范围；如果不变，请说明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
解：（1）过P作PE⊥OA于E，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形OMPQ为平行四边形，
∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，
∴PE=PM?sin60°=，
∴CE=OC﹣OM﹣ME=，∴tan∠PCE，∴∠PCE=30°，∴∠CPM=90°，
又∵PM∥OB，∴∠CNO=∠CPM=90°，则CN⊥OB；
(2）①的值不发生变化，理由如下：
设OM=x，ON=y，
∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，
∵PQ∥OA，∴∠NQP=∠O，
又∵∠QNP=∠ONC，∴△NQP∽△NOC，
∴
∴6y﹣6x=xy．两边都除以6xy，得．
②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，
∵PM∥OB，∴∠MCP=∠O，又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△CNO，
∵0＜x＜6，则根据二次函数的图象可知，
如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．△ADP沿点A旋转至△ABP’，连结PP’，并延长AP与BC相交于点Q．
求证：△APP’是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ的大小； （3）求CQ的长． 21教育网
证明(1)：由旋转可得：AP=AP′ ∠BAP′=∠DAP
∴∠PAP′=∠PAB+∠BAP′=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90°
∴△APP′是等腰直角三角形
.过点B作BM⊥AQ于M ∵∠BPQ=45° ∴△PMB为等腰直角三角形
由已知，BP=2 ∴BM=PM=2 ∴AM=AP+PM=3 在Rt△ABM中，
AB=∵△ABM∽△AQB ∴
在Rt△ABO中，BQ= ∴QC=BC－BQ=
如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为，四边形EFQP的面积为，四边形PQCB的面积为 (1) 求证：EF＋PQ＝BC (2) 若，求的值
(3) 若，直接写出的值
证明：（1）作QN∥AB，交BC于N，
则∠NQP=∠A，∠QNC=∠B.
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∴∠AEF=∠QNC.
∵PQ∥BC， ∴四边形PQNB是平行四边形，∴BN=PQ，QN=PB=AE，
∴△AEF≌△QNC， ∴EE=NC， ∴BC=BN+NC=EF＋PQ；
∵EF∥PQ∥BC， ∴△AEF∽△APQ∽△ABC
整理得①；
同理=，
∵S1＋S3＝S2， ∴， 整理得S2=②
①=②即= 整理得PE2=4AE2， PE=2AE, ∴=2
∵△AEF∽△ABC，∴=，
∵， ∴，
整理得=， ∴－S1=
整理得， ∴PE=AE， =.
如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
（1）证明：如图，连接OD．
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA， ∴
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，∴
∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
7.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
求证：PA是⊙O的切线；
（2）若，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
（1）证明：连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO=
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC?PC，
解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP= ∴PB=PA=3，
∵AC=BC，OA=OE， ∴OC=BE，OC∥BE，
∴BE=2OC=8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴
解得：BD=，
在Rt△OBD中， tanD=
8.如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．21世纪教育网版权所有
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
（1）证明：连结OD，如图，
∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，
∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，
而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，
∵∠1=∠2，∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD2+DE2=OE2，
∴32+t2=（t+1）2，解得t=4，∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴, ∴AG=6．
9.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．21·cn·jy·com
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，
在△ABM和△BCP中，
∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴，
∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴,
∴
10.△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；www.21-cn-jy.com
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．
解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°=cos60°=
∵BF=m，∴DF=m，BD=．
∵AB=4， ∴AD=4﹣．
∴S△ADF=AD?DF=×（4﹣）=
同理：S△AEF=AE?EF=
∴S=S△ADF+S△AEF=
∵，
∴当m=2时，S取最大值，最大值为
∴S与m之间的函数关系为：
S═（其中0＜m＜4）．
当m=2时，S取到最大值，最大值为．
（3）如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF=， ∴tan∠EAF=．∴
∵∠C=60°，∴
设EC=x，则EF=x，EA=2x．
∵AC=a，∴2x+x=AC．∴x=．
∵∠AEF=90°，∴AF=
