2025届四川省成都市石室中学高三零诊模拟数学（含答案）

成都石室中学2023～2024学年度下期高2025届零诊模拟考试
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知函数的导函数的图象如下，则函数有
A．个极大值点，个极小值点
B．个极大值点，个极小值点
C．个极大值点，个极小值点
D．个极大值点，个极小值点
2．已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为
A． B． C． D．
3．掷一个骰子的试验，事件表示“小于的偶数点出现”，事件表示“小于的点数出现”，为的对立事件，则事件发生的概率为
A． B． C． D．
4．若在上是减函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．某次文艺汇演，要将、、、、、这六个不同节目编排成节目单．如果、两个节目要相邻，且都不排在第个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有
A．种 B．种 C．种 D．种
6．若随机变量的可能取值为，且（），则
A． B． C． D．
7．、两位同学各有张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时赢得一张卡片，否则赢得一张卡片．如果某人已赢得所有卡片，该游戏终止．那么恰好掷完次硬币时游戏终止的概率是
A． B． C． D．
8．在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于
A． B． C． D．
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则
A．有两个极值点 B．有一个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
10．已知，都是服从正态分布的随机变量，且，，其中，，则下列命题正确的有
A．
B．
C．若，，则
D．若，，，则
11．斐波那契数列满足，（）．下列命题正确的有
A．
B．存在实数，使得成等比数列
C．若满足，（），则
D．
第II卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．函数（）的最大值为 ．
13．甲乙二人同时向某个目标射击一次．甲命中的概率为，乙命中的概率为，且两人是否命中目标互不影响．若目标恰被击中一次，则甲命中目标的概率为 ．
14．数列满足，（），则的整数部分是 ．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）已知是等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的公差；
（2）求数列的前项和．
16．（本小题15分）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面．
（1）证明：点在平面上的射影为的中点；
（2）求二面角的正切值．
17．（本小题15分）已知函数（为常数，为自然对数的底）在时取得极小值．
（1）试确定的取值范围；
（2）当变化时，设由的极大值构成的函数为，试判断曲线只可能与直线、（，为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．
18．（本小题17分）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求的取值范围．
19．（本小题17分）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数．已知，设第二次捞出的条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量．
（1）若已知，．
①求的均值；
②是否有的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于）？
（2）若，其中身上有标记的鱼有条，估计池塘中鱼的总数（将使最大的作为估计值）．
参考数据：，，，．
成都石室中学2023～2024学年度下期高2025届零诊模拟考试
数学参考答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A．2．C．3．C．4．C．5．B．6．A．7．D．8．B．
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．BC．10．ACD．11．BC．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．．13．．14．．
四、解答题：共73分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．解：（1）设的公差为，则由题意，，（3分）
解得或．（6分）
（2）由（1）因此数列的通项公式为或．（8分）
由于或，（10分）
由等比数列前项和公式得或．（13分）
注：漏掉的扣5分．
16．证明：（1）过作于，（2分）
由平面平面得平面，因此，（5分）
从而为等边三角形，为中点．（7分）
（2）由于是等边三角形，所以，而平面平面，所以平面．（10分）
过作于，连接，则是二面角的平面角．（13分）
由于，，所以．因此二面角的正切值为．（15分）
17． 解：（1）．（2分）
当时，无极值；当时，是的极小值点；当时，是的极大值点．因此．（7分）
（2）是的极大值点．因此（）．于是．（10分）
令，则，故在上单调递增，，即恒成立．（13分）
所以曲线的切线的斜率可能为，不可能为，即只可能与相切．（15分）
18．解：（1）设椭圆的方程为（），，则．（2分）
由题意，， （5分）
解得，，因此椭圆的方程为．（8分）
（2）由题意可知．（10分）
显然直线斜率存在且不为，设其方程为．联立方程消去，得，．设，，则，．（12分）
由于，即．因此，从而，，所以，整理得，（15分）
，解得或．经检验，此时．因此的取值范围是．（17分）
19．解：（1）①由题意可知服从超几何分布，则．（3分）
（2）②由于，而，（5分）
从而，（7分）
因此，，所以没有的把握认为能捞出身上有标记的鱼．（8分）
（2）由题意，且．（9分）
只需求使得最大的．由于，，（11分）
从而
（14分）
因此，当时，，当时，．所以，当时，最大．综上所述，的估计值为．（17分）
注：第（2）问用来计算的，结果是的得2分，结果是的不得分．