28.3 课时1 圆心角的概念及性质 课件 (共23张PPT) 2024-2025学年冀教版数学九年级上册

(共23张PPT)
28.3 圆心角和圆周角
课时1 圆心角的概念及性质
1.复习并巩固圆中的基本概念.
2.理解并掌握圆心角的定义，能够运用其进行计算. （重点）
3.理解并掌握圆心角、弧、弦之间的关系.（难点）
学习目标
问题1
圆的对称性有哪几方面？
O
轴对称性
新课导入
·
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
问题2 将圆绕圆心任意旋转，你发现了什么？
O
α
圆具有旋转不变性
·
O
B
A
观察：在⊙O 中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
A
B
O
定义：顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .
一、圆心角的定义
探究新知
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
任意一个圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
O
A
B
圆心角∠AOB 所对的弦为 AB.
圆心角∠AOB 所对的弧为 .
归纳总结
问题1 在⊙O中，如果∠AOB = ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？
在同圆中探究
C
·
O
A
B
D
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能与自身重合，
所以可将 ⊙O 绕圆心旋转，使点 A 与点 C 重合.
由于∠AOB =∠COD，
因此，点 B 与点 D 重合. 从而 ，AB = CD.
二、圆心角、弧、弦之间的关系
探究新知
问题2 如图，在等圆中，如果∠AOB ＝ ∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
在等圆中探究
O ′
·
O
A
B
·
C
D
归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么， ，弦 AB = 弦 CD.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB = ∠COD
③ AB = CD
弧、弦与圆心角的关系定理
A
B
O
D
C
②
归纳总结
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
类比探究可得
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
关系结构图
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
在同圆或等圆中:
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
探究新知
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
判断正误：
练一练
三、圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用
·
A
O
B
C
D
E
例1 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
解：
∵
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
典型例题
∴ AB = AC .∴△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形 .∴AB = BC = CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
例3 如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦， .
求证：AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
证明：
变式1 如图，在⊙O中，AD = BC．求证：DC = AB．
∴ DC = AB．
证明：∵AD=BC，
变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC.
证明：∵DC = AB，
∴ AD = BC.
练一练
1.如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．
（1）如果 AB = CD，那么_________，__________ __；
（2）如果 ，那么_________， ；
（3）如果∠AOB =∠COD，
那么______ ___，________；
·
C
A
B
D
E
F
O
AB = CD
AB = CD
AB = CD
(
(
∠AOB =∠COD
∠AOB =∠COD
AB = CD
(
(
AB = CD
(
(
当堂检测
·
C
A
B
D
E
F
O
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF.
理由如下：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∵AB = CD，
∴AE = CF.
∵OA = OC，∠AEO =∠CFO = 90°，
∴Rt△AOE ≌ Rt△COF.
∴OE = OF.
∴
2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，且 BD∥OC．求证： ．
证明：∵ OB = OD，
∴∠D =∠B.
∵ BD∥OC，
∴∠D =∠COD，∠AOC =∠B.
∴∠AOC =∠COD.
2.圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
1.圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
课堂总结