28.3 课时2 圆周角定理及其性质 课件 (共21张PPT) 2024-2025学年冀教版数学九年级上册

(共21张PPT)
28.3 圆心角和圆周角
课时2 圆周角定理及其性质
1.复习圆心角的概念.
2.理解并掌握圆周角相关概念.(重点)
3.理解并掌握圆周角定理并运用.（难点）
学习目标
3.下列命题是真命题的是( )
①在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等
②相等的圆心角所对的弧相等
③圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
1.圆心角的定义？
答：相等.
答：顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系？
B
新课导入
一、圆周角的定义及性质
圆心角顶点发生变化时，我们可以得到几种情况？
A
.
O
B
C
.
.
.
A
O
B
C
A
.
O
B
C
.
探究新知
三个图中的∠BAC 的顶点 A 各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？
思考
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗？
.
O
B
C
A
特征：
①角的顶点在圆上.
圆周角定义： 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角.
②角的两边都与圆相交.
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC 是否为圆周角，并简述理由.
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
是
是
是
测量：如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
猜测：圆周角的度数_______它所对弧的圆心角度数的一半.
等于
二、圆周角定理及其推论
探究新知
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心( O )在圆周角(∠ABC )的一边( BC )上时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 有怎样的大小关系.
解：∵∠AOC 是△ABO 的外角，
∴∠AOC = ∠B + ∠A.
∵OA = OB，
●
O
A
B
C
∴∠A = ∠B.
∴∠AOC = 2∠B.
即∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
提示：能否转化为 1 的情况？
你能写出这个命题吗？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
● O
A
B
C
D
2.当圆心( O )在圆周角(∠ABC )的内部时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样？
过点 B 作直径 BD. 由 1 可得：
∠ABD = ∠AOD，∠CBD = ∠COD，
∴ ∠ABC = ∠AOC.
如果圆心不在圆周角的一边上，结果会怎样？
提示：能否也转化为 1 的情况？
过点 B 作直径 BD. 由 1 可得：
你能写出这个命题吗？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
A
B
C
3.当圆心( O )在圆周角(∠ABC )的外部时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样？
∠ABD = ∠AOD，∠CBD = ∠COD，
∴∠ABC = ∠AOC.
●
O
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●
O
A
B
C
●
O
A
B
C
●
O
A
B
C
即∠ABC = ∠AOC.
D
D
圆心在角的边
圆心在角
圆心在角
上
内
外
归纳总结
解：∵AB 是直径，点 O 是圆心，
∴∠AOB = 180°.
∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角，
∴∠ACB = ∠AOB = 90°.
想一想
如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？
·
O
A
C
B
能不能直接运用圆周角定理解答？
探究新知
直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径.
圆周角定理的推论1
问题 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
想一想：反过来，如果∠A=∠B，那么 成立吗？
D
A
B
O
C
E
F
圆周角定理的推论2
同弧（或等弧）所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
∠AOB = 2∠BOC
A
O
B
C
∠ACB = 2∠BAC
证明：
∠ACB = ∠AOB
例 如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC.
求证：∠ACB = 2∠BAC.
∠BAC = ∠BOC
典型例题
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
当堂检测
2.指出图中的圆周角.
A
O
B
C
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
3.如图，点 B，C 在⊙O 上，且 BO = BC，则圆周角∠BAC 等于（ ）
D
A. 60°
B. 50°
C. 40°
D. 30°
B
A
C
O
4.如图，已知 BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD 于点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC 的度数为（ ）
A.30° B. 40° C. 50° D. 60°
A
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.
B
A
C
O
D
E
定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径.
课堂总结