2023~2024学年福建厦门思明区厦门市第一中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年福建厦门思明区厦门市第一中学高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C. 或
D.
2、函数 的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知函数 ，则 的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知 ，则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5、与 表示同一个函数的是
A.
B.
C.
D.
6、若函数 在区间 内存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知函数 和 分别由下表给出，则满足 的x的取值范围是（ ）
1 2 3
1 3 2
1 2 3
2 1 3
A.
B.
C.
D.
8、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 ，用 表示不超
过x的最大整数，则 标为高斯函数.例如： ﹣ ，已知函数 ，则下列选项
中，正确的是（ ）
A. ﹣
B. 的最大值为1
C. 的最小值为0
D. 在 上的值域为
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知函数 关于函数 的结论正确的是（ ）
A. 的定义域为R
B. 的值域为
C.若 ，则x的值是
D. 的解集为
11、已知 ，且 ，则（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最大值为
12、定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，则下列说法正确的是
（ ）
A.
B. 为奇函数
C. 在区间 上有最大值
D. 的解集为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若 ， ，则 的取值范围是 ．
14、命题“ ， ”的否定是 .
15、设函数 ，不等式 的解集为 ，若存在 ，
成立，则实数 的取值范围为 ．
16、定义在 上的函数 满足 ，且 ， ，则不等式
的解集为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知非空集合 ， ，全集 ．
(1) 当 时，求 ；
(2)若 是 成立的充分不必要 条件，求实数a的取值范围．
18、（本小题12分）
已知定义在 上的奇函数 ，当 时， ．
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数 的图 象；
(3)若函数 在区间 上是单调 函数，求实数 的取值范围．
19、（本小题12分）
已知幂函数 在 上单调递增.
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
20、（本小题12分）
己知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
(1)求a，b的值，并用定义证明：函数 在区间 上的单调性；
(2)若 ，求实数a的取值范围；
(3)写出函数 的值域（不必写出解答过程）
21、（本小题12分）
今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划采用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手
机全年需投入固定成本 万元，每生产 （千部）手机，需另投入成本 万元，且
通过市场调研得知，每部手机售价 万元，且全年生产的手机当年能
全部销售完．
(1)求出今年的 利润 （万元）关于年产量 （千部）的函数关系式（利润=销售额 成本）；
(2)今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是多少？
22、（本小题12分）
定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（ ） ，则称函数f（x）
是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并 说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实 数a的范围．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
.
故选：B
2、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意，得 ，解得 且 ，
即函数 的定义域为 ．
故选：C．
3、
<答 案>:
B
<解析>:
依题意，函数 ，
所以 的解析式是 .
故选：B
4、
<答 案>:
A
<解析>:
解：当 时，有 ；当 时，有 成立，综上所述“ ”是“
”的充分不必要条件，因此正确答案为：A．
5、
<答 案>:
A;C
<解析>:
定义域为R，且 对于A： ，定义域也为R，A正确；对于B： 的定义域
为 ，定义域不一样，B错误；对于C： 的定义域为 ，定义域不一样，
C错误；对于D： 的定义域为 ，定义域不一样，D错误；故选：A.
6、
<答 案>:
B
<解析>:
根据函数 在区间 内存在最小值，则函数的对称轴满足 求解.
函数 的对称轴为： ，
因为函数 在区间 内存在最小值，
所以 ，
解得 .
故选：B
7、
<答 案>:
C
<解析>:
当 时， ，故 成立；
当 时， ，故 不成立 ；
当 时， ，故 成立.
故 取1，3成立.
故选：C
8、
<答 案>:
C
<解析>:
对于A， ， ，所以 ﹣ ，A错；
由高斯函数的定义可得：
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以当 时， ，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为1；
当 时， ，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为1；
绘制函数图象如下图所示，
对于B，由图象可以知，当 ， 没有最大值，B错；
对于C，由图象可以知，当 ， 的最小值为0，C对；
对于D，由图象可以知， 在 上的值域为 ，D错.
因此正确答案为：C
二、多选题
9、
<答 案>:
A;C;D
<解析>:
，因此 ，A正确；B错误； ， ，CD均正确．
故选：ACD．
10、
<答案 >:
B;C
<解析>:
函数 的定义域是 ，故A有误；
当 时， ，值域为 ，当 时， ，值域为 ，故 的值域为
，故B无误；
当 时，令 ，无解，当 时，令 ，得到 ，故C无误；
当 时，令 ，解得 ，当 时，令 ，解得
，故 的解集为 ，故D有误．
因此正确答案为：BC．
11、
<答案 >:
B;C
<解析>:
， ，当 时，即 时，可取等号，A错；
，当 时，即 时，可
取等号，B对；
，当 时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
对于A选项，在 中，令 ，可得 ，解得 ，A无误；
对于B选项，由于函数 的定义域为R，在 中，令 ，可得
，所以 ，则函数 为奇函数，B无误；
对于C选项，任取 ， ，且 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，则函数 在R上为减函
数，所以 在区间 上有最小值 ，C有误；
D 对于 选项，由 可得 ，又函数 在R上为减函
数，则 ，整理得 ，解得 ，D无误.
因此正确答案为：ABD．
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
由 ，可得 ，则 ，
因为 ，根据不等式的基本性质，可得 ，
即不等式 的取值范围是 .
故答案为： .
14、
<答案 >:
，
<解析>:
根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“ ， ”的否定为 ， .
故答案为： ， .
15、
<答案 >:
或
<解析>:
依题意，不等式 的解集为 ，
则 是方程 的二根，且 ，于是 ，且 ，解得 ，
，而 ，则当 时， ，
由存在 ， 成立，得 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
故答案为： 或
16、
<答案 >:
<解析>:
，不妨设 ，
故 ，即 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递减，
，不等式两边同除以 得： ，
因为 ，所以 ，即 ，
根据 在 上单调递减，故 ，综上： ，则解集为 .
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1) 或
(2)
<解析>:
（1）方法一：当 时， ，
所以 或 ．
因为 ，
所以 或 ，
所以 或 ．
方法二：当 时， ，
故 ，
所以 或 ．
（2）因为 是 成立的充分不必要条件，
所以 是 的真子集，
当 时， ，得到 ，
当 时， 或
解得 或 ，
综上，实数a的取值范围是 ．
18、
<答案 >:
(1) ，
(2)根据函数的解析式，作出函数的图象
(3) 或 或
<解析>:
（1）当 时， ，
因为函数是奇函数，所以 ，
且 ，
所以函数 在 上的解析式为 ;
（2）根据函数的解析式，作出函数的图象，
（3）函数 在区间 上是单调函数，根据图象可知，
，或 ，或 ，
解得： 或 或 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）因为 是幂函数，所以 ，即
解得 或2，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ；
（2）由（1）知 即 ，要 使此不等式在 上恒成立，
只需使函数 在 上的最小值大于0即可，
因为 在 上单调递减，
所以 ，
由 ，解得 ，所 以实数 的取值范围是 .
20、
<答案 >:
(1) ， ，证明见解析；
(2) ；
(3) ．
<解析>:
（1）由题意 ， ， ， ，
所以 ，
设任意的 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是增函数；
（2） ， 是奇函数，则 ，
又 是 上是增函数，所以 ，解得 ，
即不等式的解集为 ；
（3） 时， ， 时， ， 是 上的增函数，
所以值域为 ．
21、
<答案 >:
(1)
(2)当产量为 千部时，企业所获利润最大，最大利润为 万元
<解析>:
（1）解：由已知 ，
又 ，
，
， .
（2）解：当 时， ，
当 时， 有最大值，最大值 （万元 ）．
当 时， ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 有最大值，最大值 （万元），
综上所述，当产量为 千部时，企业所获利润最大，最大利润为 万元．
22、
<答案 >:
（1） ， ；（2）凹函数；见解析（3）[﹣2，0]．
<解析>:
（1）当a＝1时， ， ， ，
由二次函数的图象及性质可知， ，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域为 ， ；
（2）当a＝1时，函数f（x）是凹函数，此时f（x）＝x2+x，
， ，
作差得到：
，
即有f（ ） ，故函数f（x）＝x2+x是凹函数；
（3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，则有 ，即 ，
（i）当x＝0时，则a∈R恒成立；
（ii）当x∈（0，1]时，有 ，即 ，
又x∈（0，1]，则 ，
∴当 时， ， ，
∴实数a的取值范围为[﹣2，0]．