2023~2024学年福建漳州芗城区福建省漳州第一中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年福建漳州芗城区福建省漳州第一中学高一上学期期中数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3、函数 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、设 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知 表示 ， 中的最大数，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.0
D.2
7、设 ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、关于幂函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 在区间 上单调递减
D. 的图象关于点 对称
10、下列函数中，与函数 有相同奇偶性的函数有（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知关于 的不等式 的解集是 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12、南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡
献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”．已知圆周率
，定义函数
，下列有关函数 的结论中，正确的是（ ）
小数点后第 位的数字，
A.方程 的最小解为32
B. ，都有
C.当 时， 的最小值为7
D.若 ，函数 为常数函数，则 的最小值为8
个
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、若 的定义域为 ，则 的定义域为 ．
14、若 是奇函数，且当 时， ，则当 时， ．
15、设集合 ，集合 ，若 中恰有2个元素，且定义
，则 的子集个数是 ．
16、已知函数 ，若对任意满足 的正数 ， ，都存在 ，使得 成
立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知集合 ， ．
(1) 若 ，求实数 的取值范围；
(2)设 ， ，若 是 的充分不 必要条件，求实数 的取值范围．
18、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)若 是奇函数，求实数 的 值；
(2)若 ，试用函数单调性定义证明 ：函数 在 上单调递增．
19、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)若 在区间 上具有单 调性，求实数 的取值范围；
(2)求 在区间 上的最小值 ．
20、（本小题12分）
购买某种机器时可同时购买维修服务，购买 次维修服务的总费用为 元， ．购买1次维修服务的总费
用为150元，购买2次维修服务的总费用为250元，当 时， 的图象上所有点都在同一条直线上；当
时， 的图象上所有点都在函数 的图象上．
(1)求 的解析式；
(2)问：购买几次维修 服务能使平均每次的维修费用最少？
21、（本小题12分）
已知定义在 上的增函数 满足： 且对于 ， ，都有 成立．
(1)求 的值，并解方程 ；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22、（本小题12分）
已知函数 ． ：函数 在 上单调递增； ：关于 的方程 ，当
时有解； ， ．若 ， ， 中至少有一个为假命题，求实数 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
，
或 ，又 ，
.
故选：B.
2、
<答 案>:
A
<解析>:
命题“ ， ”为全称量词命题，
其否定为： ， .
故选：A
3、
<答 案>:
B
<解析>:
函数 的定义域为 且 ，
故 为偶函数，函数图象关于 轴对称，
因为 ，故排除C、D；
当 时 ，故排除A.
故选：B
4、
<答 案>:
B
<解析>:
由 可得 或 ，
所以由 推不出 ，即 充分性不成立，
由 推得出 ，即必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件 .
故选：B
5、
<答 案>:
C
<解析>:
，
故选：C.
6、
<答 案>:
C
<解析>:
令 ，由 ，解得 或 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
则 的图象如下所示：
由图可知当 时 取得最小值，即 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
7、
<答 案>:
A
<解析>:
由 ， ，要比较 大小，只需比较 大小，
故只需比较 大小，令 且 ，故 ，
所以 在 上递增，而 ，即 ，
所以 ，故 ，
又 ，则 （等号不能成立），
所以 .
故选：A
8、
<答 案>:
D
<解析>:
由题设 在 上为常数，在 上为增函数，
当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 ，则 时， 成立；
综上，解集为 .
故选：D
二、多选题
9、
<答 案>:
A;C
<解析>:
A选项， 的定义域为 ，A正确；
B选项，由于 ，故值域为 ，B错误；
C选项，由于 ，故 在区间 上单调递减，C正确；
D选项，因为 的定义域为 ，
且 ，故 为偶函数，故不关于原点对称，D错误.
故选：AC
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
由 得
即函数 是定义在 上的偶函数，
对于A： ，奇函数，
对于B： ，偶函数，
对于C： ，奇函数；
对于D： ，偶函数.
故选：BD.
11、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以 ，且 、 是关于 的方程 即 的两根，
所以 ，故A、B正确，
又 ，
所以 ，故C正确；
又 与 轴有两个交点 ， ，
而 是将函数 向上平 移一个单位得到，
所以 与 轴的交点横坐标 ， ，
所以 ，故D错误；
故选：ABC
12、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
因为 且
，
小数点后第 位的数字，
所以函数 的值域为 ，
对于A：由 ，
可知方程 的最小解为 ，故A正确；
对于B：当 时 ， ，所以 ，故B错误；
对于C：因为 ，所以 ，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 或 时 取得最小值 ，故C正确；
对于D：因为 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
要使函数 为常数函数，则 ，
个 个
对于任意的 （ ），则 ，
又 ， ， ，
， ， ，
， ，
， ，
所以 的最小值为 ，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
因为 的定义域为 ，令 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
故答案为：
14、
<答案 >:
<解析>:
当 时， ， ，
又 为奇函数， ，
当 时， .
故答案为： .
15、
<答案 >:
<解析>:
因为集合 且 中恰有2个元素，
则 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
又 ，
所以 ，
所以 的子集有 个.
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
当且仅当 时取等号，
设 的值域为A，则 ，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时，存在 ，使得 ，则 ，
又因为 ， ，所以 ，
综上所述： .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1) ；
(2) .
<解析>:
（1）由 ，又 ，即 ，
当 ，则 ，满足；
当 ，则 ，可得 ；
综上，实数 的取值范围 .
（2）由 是 的充分不必要条件， 故 ，
所以 （等号不同时成立）且 .
18、
<答案 >:
(1) ；
(2)证明见解析 .
<解析>:
（1）由题设 ，定义域为R，
所以 恒成立，
所以 .
（2）由题设 ，令 ，
所以 ，
又 ，则 ，即 .
所以函数 在 上单调递增，得证.
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）易知 开口向上，对称轴为 ，
所以若 在区间 上单调递增，则需 ，
若 在区间 上单调递减，则需 ，
综上 的取值范围为 ；
（2）当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
综上 .
20、
<答案 >:
(1)
(2) 次
<解析>:
（1）当 且 时设 ，则 ，解得 ，
所以 （ 且 ），
当 时 ，
综上可得 .
（2）设平均每次的维修费用为 ，
当 且 时 ，函数 在 上单调递减，
当 时 ；
当 时 ，
所以当 ，即 时 取得最小值，即 ，
综上可得购买 次维修服务能使平均每次的维修费用最少.
21、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）令 ，则 ，
又因为 在R上递增，
所以 ；
（2）由题意可知： ，
即 ，所以 在 恒成立，
由对勾函数的性质可知 时， 单调递增，
所以 ，
即实数 的取值范围为 .
22、
<答案 >:
<解析>:
若 为真：因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
解得 或 ；
若 为真：关于 的方程 ，当 时有解，
则 ，
解得 或 ，
若 为真：令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以 ，
解得 ，
所以当 ， ， 全部为真时， ，
所以若 ， ， 中至少有一个为假命题， 实数 的取值范围是 .