2023~2024学年广东东莞市道滘镇济川中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东东莞市道滘镇济川中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知直线l的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，则直线l与平面 的位置关系
是（ ）
A.垂直
B.平行
C.相交
D.平行或直线在平面内
2、过点 且方向向量为 的直线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、若直线 经过点 ，且在 轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知直线 ： 与圆 ： 交于 ， 两点，则当弦 最短时直线 的方
程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则 等于
（ ）
A.
B.3
C.3
D.2
6、已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（ ）
A.
B.
C.1
D.
7、设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A.充分必要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
8、如图，在三棱柱 中， 与 相交于点
，则线段 的长度为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、对于直线 ，下列说法错误的是（ ）
A.直线l恒过定点
B.直线l斜率必定存在
C. 时直线l的倾斜角为
D. 时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为
10、下列说法正确的是（ ）
A.已知直线 过点 ，且在 ， 轴上截距相等，则直线 的方程为
B.直线 的倾斜角为120°
C. ， ，“直线 与直线 垂直”是“ ”的必要不充分条件
D.若直线 沿 轴向左平移3个单位长度，再沿 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线 的斜率
为
11、下列各命题正确的是（ ）
A.点 关于平面 的对称点为
B.点 关于 轴的对称点为
C.点 到平面 的距离为1
D.设 是空间向量单位正交基底，若 ，则
12、如图所示，平行六面体 ，其中 ， ， ，
，下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.向量 与 的夹角是45°
D. 与 所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、圆 的圆心到直线 的距离为 .
14、已知 ， ，若 与 共线，则x的值是 .
15、如图，正方体ABC A1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦
值是 ．
16、直线 与曲线 有两个公共点，则 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知点 ， ， ，向量 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)求向量 在向量上 上的投影向量.
18、（本小题12分）
已知直线l1：y＝2x+4，直线l2经过点（1，1），且l1⊥l2．
（1 ）求直线l2的方程；
2 （ ）记l1与x轴相交于点A，l2与x轴相交于点B，l1与l2相交于点C，求△ABC的面积
19、（本小题12分）
已知动点 与两个定点 ， 的距离的比为 ，动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）直线 与曲 线 交于 、 两点，求 ．
20、（本小题12分）
如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 是棱 的中点.
（1）求直线 与平面 的距离；
（2）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
21、（本小题12分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点O为A1B的中点，∠ABC=90°，AB=BC=2， ．
(1)证明：BC∥平面AOC1．
(2)求点B到平面AOC 1的距离．
22、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，底面四边形 是菱形， ， 是边长为 的等边三角
形， ， ．
（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？如果存在，求 的值；如果不存在，说明理
由．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
D
<解析>:
因为 ，
所以直线 与平面的法向量垂直，则直线 与平面 平行或在平面内.
故选：D
2、
<答 案>:
A
<解析>:
解：因为直线的方向向量为 ，
所以直线的斜率为 ，
所以过点 且方向向量为 的直线方程为 ，
即 .
故选：A.
3、
<答 案>:
A
<解析>:
设直线的斜率为k ，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－ ，则3<1－ <5，
解得
所以直线 的斜率的取值范围为 .
故选：A
4、
<答 案>:
A
<解析>:
解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r＝2；
已知直线l：2mx+y﹣m﹣1＝0恒过点P（ ）；
∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短，
此时 ，则 ；
此时﹣2m＝ m＝ ；
此时直线AB的方程为﹣ ，变形可得2x﹣4y+3＝0．
故选：A．
5、
<答 案>:
C
<解析>:
解： 、 分别是 、 的中点，
．
而 ．
．
因此正确答案为：C．
6、
<答 案>:
B
<解析>:
由题设， ，若 是面ABC的一个法向量，
∴ ，令 ，则 ，又 ，
若原点到平面ABC的距离为 ，则 为 在 上的投影长，而 ，
∴ .
因此正确答案为：B
7、
<答 案>:
A
<解析>:
两直线平行时，应 得 或 ，
又 时两直线重合，所以 .
所以 是直线 与 直线 平行的充要条件.
故选:A
8、
<答 案>:
A
<解析>:
依题意得 ， ， ， .
所以
故 .
故选：A.
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C
<解析>:
A.直线 ，即 ，直线l恒过定点 ，A无误；
B.当 时，直线 ，此时斜率不存在，B有误；
C. 时，直线 ，此时斜率为 ，倾斜角为 ，C有误；
D. 时，直线 ，在 轴， 轴上截距分别为 ，此时直线l与两坐标轴围成的三角形面
积为 ，故D无误.
因此正确答案为：BC.
10、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
对A，若直线 过原点，则方程为： ，A错误；
对B，直线斜率为： ，则倾斜角为120°，B正确；
对C，直线 与直线 垂直，等价于
或a=3，C正确；
对D，若直线 斜率 不存在，设直线 ，它沿 轴向左平移3个单位长度，再沿 轴向上平移2个单位长度后
得到： ，不与原来重合，舍去；
若直线 斜率存在，设直线 ，它沿 轴向左平 移3个单位长度，再沿 轴向上平移2个单位长度后得
到： + ，因为它回到原来的位置，所以 ，D正
确.
故选 ：BCD
11、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
A：关于平面 的对称点，x、z不变，y变为相反数，则 的对称点为 ，正确；
B：关于 轴的对称点，y不变，x、z变为相反数，则 的对称点为 ，正确；
C：空间点到面 的距离为该点x坐标值的绝对值，则 到面 的距离为2，错误；
D ：根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知： 表示 ，正确；
故选：ABD
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
对A， ，则
，
所以 ，A正确；
对B，
，所以 ，B正确；
对C，因为 ，若 与 的夹角是45°，则 与 的夹角是45°，即 ，易知
，显然不成立，C错误；
对D， ， ，
，
，
，
所以， ，
于是 与 所成角的余弦值为 ，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13、
<答案 >:
.
<解析>:
由题意，圆 的圆心坐标为 ，
把直线 化为 ，
所以圆心到直线 的距离为 .
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
因为 ， ，且 与 共线，
所以 ，解得 ，
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），F（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2），
∴ =（ ，0，2）， =（0，1，2），
设 ， 的夹角为 ，
则异面直线AF与DE所成角的余弦值是 ．
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
解：如下图所示， 是一个以原点为圆心，长度 为半径的半圆，
是一个斜率为 的直线，
要使两图有两个交点，连接 和 ，直线 必在 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可
求出两个临界位置直线 的 值，
当直线 与 重合时， ；
当直线 与半圆相切时，
圆心 到 的 距离 ，
即 ，解得： 或 （舍去）．
所以 的取值范围是 ．
因此正确答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1） ， ，
即 ，得 ；
（2） ， ，向量 在 上的投影为 ，
与 同向单位向量为 ，
则向量 在向量上 上的投影向量为 .
18、
<答案 >:
（1） （或写成x+2y﹣3＝0）；（2）5.
<解析>:
解：（1）由题意可设 ，将（1，1）代入上式，解得 ，
即 （或写成x+2y﹣3＝0）．
（2）在直线l1：y＝2x+4中，令y＝0，得x＝﹣2，即A（﹣2，0），
在直线l2： 中，令y＝0，得x＝3，即B（3，0），
解方程组 ，得x＝﹣1，y＝2，即C（﹣1，2），
则 ABC底边AB的长为|AB|＝3﹣（﹣2）＝5，AB边上的高为yC＝2，
故 ．
19、
<答案 >:
（1） ；（2） .
<解析>:
（1）设 ，由 可得 ，
化简得 ，即 .
故曲线 的轨迹方程为 ；
（2 ）由（1）得： 的圆心坐标为 ，半径为 ，
所以圆心到直线 的距离 ，
所以 = .
20、
<答案 >:
（1） ；（2） .
<解析>:
（1）如图，以 为坐标原点，射线 分别为 轴 轴 轴正半轴，
建立空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， .
因此， ， ， .
则 ， ，
所以 ， ，
又 ， 平面 .
所以 平面 .
由 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
故直线 与平面 的距离为点 到平面 的距离，即为 .
（2）若 ，设平面 的法向量为 .
因为 ， .
所以 ，令 ，得 ， ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，令 ，得 ，
所以 .
由图可知二面角 的平面角为一锐角，
所以二面角 的平面角 的余弦值为 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：连接A1C，交AC1于M，连接OM，
因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，点O为A1B的中点，
所以M为A1C中点，所以OM∥BC，
因为BC不在平面AOC1内， OM 平面AOC1，
BC∥ AOC 所以 平面 1．
（2）解：过B作BH⊥A O于H，连接B1O，
因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，点O为A1B的中点，
所以A、O、B1共线，
因为∠ABC=90° ，所以BC⊥AB，
又因为AB是BH在平面ABC内投影 ，所以BC⊥BH，
因为OM∥BC，所以BH⊥OM，
又因为OM∩AO=O， 平面AOM，
所以BH⊥平面AOM，
于是点B到平面AOC1的
距离为BH长度，
所以 ．
22、
<答案 >:
（1） ；（2）存在，且 .
<解析>:
（1）因为四边形 为菱形， ，则 为 、 的中点，
是等边三角形，则 ，同理可知 ，且 ，
平面 ，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别 为 、 、 轴建立如下图所示的空
间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，得 ，取 ，得 ，
， ，
因此，直线 与平面 所成角为 ；
（2）设 ，其中 ，
所以， ，
因为 平面 ，则 ，解得 ，合乎题意.
因此，线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，且 .