2023~2024学年广东东莞市东城街道东莞市第一中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东东莞市东城街道东莞市第一中学高二上学期期中数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、直线 的倾斜角为（ ）
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
2、已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则 （ ）
A.2
B.3
C.
D.
3、圆 的周长等于( )
A. π
B.2π
C.4π
D.2 π
4、若抛物线 （ ）上一点 到焦点的距离是 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、如图，在平行六面体 中，底面 ，侧面 都是正方形，且二面角
的大小为 ， ，若 是 与 的交点，则 （ ）
A.
B.
C.
D.3
6、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数 ，简称黄金数．
离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线 是黄金双曲线，则a=（ ）
A.
B.
C.
D.
7、圆 与圆 的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A.
B.
C.
D.1
8、已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，且 ，过P
作 的垂线交x轴于点A，若 ，记椭圆的离心率为e，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知直线 ： 和直线 ： ，则下列说法正确的是（ ）
A.直线 一定过点
B.若 ，则
C.若 ，则
D.点 到直线 的距离的最大值为2
10、已知空间中三点 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 与 是共线向量
B.与 同向的单位向量是
C. 和 夹角的余弦值是
D.平面 的一个法向量是
11、如图，在棱长为2的正方体 中，点 是棱 的中点，点 是底面 上的一点，
且 平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.存在点 ，使得
C. 的最小值为
D. 的最大值为6
12、画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆
中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的
左、右焦点，直线 的方程为 ， 为椭圆 的蒙日圆上一动点， ， 分别与椭圆相切于
A， 两点， 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A.椭圆 的蒙日圆方程为
B.记点A到直线 的距离为 ，则 的最小值为0
C.一矩形四条边与椭圆 相切，则此矩形面积最大值为
D. 的面积的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知直线l1： 与l2： 相交于点 ，则 ．
14、已知圆心为 的圆 与直线 ： 相切于点 ，则圆 的方程为 .
15、已知直线过点 ，且方向向量为 ，则点 到直线 的距离为 .
16、定义：点 为曲线 外的一点， 为 上的两个动点，则 取最大值时， 叫点 对曲线 的张
角.已知点 为抛物线 上的动点，设 对圆 的张角为 ，则 的最小值
为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 ， ， ，设 ， ， .
(1)判断 的形状；
(2)若 ，求 的值.
18、（本小题12分）
直线 与直线 相交于点P，直线l经过点P.
(1)若直线 ，求直线l的方程；
(2)若直线l在坐标轴上的截距相等 ，求直线l的方程.
19、（本小题12分）
在平面内， ， ， 为动点，若 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若直线 与曲线 交于 ， ，求 的长．
20、（本小题12分）
已知双曲线 的焦点坐标为 ， ，实轴长为4，
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上存在一点 使 得 ，求 的面积．
21、（本小题12分）
如图，四棱锥 中，四边形 为梯形，其中 ，
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，点 满足 ，且三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角的
余弦值．
22、（本小题12分）
已知圆 ： 与圆 ： 的公共点的轨迹为曲线 .
（1）求 的方程；
（2）设点 为圆 ： 上任意一点，且圆 在点 处的切线与 交于 ， 两点.试问： 是否
为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
直线 的斜率为 ，设直线的倾斜角为 ，
则 ， ，
所以 .
故选：A.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 ， ， 共面，所以存在唯一实数 ， ，使 ，
即 ，
则 ，解得 ， .
故选：C.
3、
<答 案>:
D
<解析>:
分析：将圆的一般式方程化成标准方程，得 ，由此可得圆的半径 ，再由圆的周
长公式即可求出该圆的周长.
详解： 圆的一般方程为 ，
将圆化成标准方程得 .
由此可得圆的圆心为 ，半径 ，
因此该圆的周长为 .
故选D.
点睛： 本题考查将圆的一般方程转化成标准方程，从而得到圆心和半径，属于基础题.
4、
<答 案>:
D
<解析>:
设焦点为 ，则 ，解得 ．
故选：D
5、
<答 案>:
B
<解析>:
在平行六面体 中，四边形 是平行四边形，
又 是 的交点，所以 是 的中点，
所以 ，
由题意 ， ， ，
所以
，
即 ．
故选：B.
6、
<答 案>:
B
<解析>:
通过题意 ，则 ，
所以 .
因此正确答案为：B
7、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意得圆 的圆心为 ，半径为1，
圆 的圆心为 ，半径为2，
则两圆圆心距为 ，而 ，即圆 与圆 相交，
故将 和 相减得 ，
即圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
故 与两坐标轴所围城的三角形面积为 ，
故选：C
8、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 ， ,
所以 ,可得 .
在 中， .
由椭圆的定义可得 ，故 ，
所以 ，所以 .
故选:A.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;B
<解析>:
对于选项A：因为 ，即 ，所以直线 过定点 ，故
选项A正确；
对于选项B：由 ，可得 ，解得 ，故选项B正确；
对于选项C：由 ，可得 ，解得 或 .
当 时，直线 ： ，直线 ： ，此时 ；
当 时，直线 ： ，即 ，直线 ： ，即 ，此
时 .
综上可知 若 ，则 或 ，故选项C错误；
对于选项D：因为点 到直线 的距离 ，
所以当 时， ；
当 时， ，则点 到直线 的距离的最大值不存在，故选
项D错误.
故选：AB
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
对于A， ， ，因为 ，所以 与 不是共线向量，故A错误；
对于B， ，与 同向的单位向量是 ，故B正确；
对于C， ， ， ，所
以 和 夹角的余弦值是 ，故C错误；
对于D， ， ，设 为平面 的一个法向量，
则 ， ，令 ，可得 ， ，
所以平面 的一个法向量是 ，故D正确.
故选：BD.
11、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ;
所以 ， ，
所以 ，即 ， ；
因为 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以 .故A正确；
设 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
，
解得 ，又 ，故B错误；
，
所以 ，故C正确；
，
所以 ， ，
因为 ，所以 时， 取到最小值 ，
时， 取到最大值 ，
所以 .故D正确.
故选：ACD.
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
由题意可知： ，
对于选项A：当直线 一条斜率为 ，另一条斜率不存在时，则 ；
当直线 斜率均存在时，设 ，切线方程为： ，
联立方程 得： ，
由 ，
整理可得： ，则 ，
又因为 ，则 ，即 ，整理得 ，
所以 点轨迹为 ；
且 也满足 ，
所以蒙日圆的方程为 ，故A正确；
对于选项B，因为 为椭圆 上的点，则 ，即
可得 ，
因为 的最小值为点 到直线 的距离，且 ，
可知 ，
所以 ，故B正确；
对于选项C：因为矩形四条边均与 相切，可知该矩形 为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为 ，宽为 ，蒙日圆的半径 ，则 ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以此矩形面积最大值为8，故C错误；
对于选项D ：设 位于椭圆上，下证：在A处的切线方程为 ，
由 ，即 ，可知 在直线 上，
联立方程 ，消去y得 ，
即 ，解得 ，即直线 与椭圆相切，
所以在点A处的切线方程为 ，
同理可知：在点 处的切线方程为 ；
设 ，则 ，可知 坐标满足方程 ，
即切点弦 所在直线方程为： ；
当 时， ，此时 所在直线方程为： ，
可得 ， ；
当 时，由 得： ，
由A知： ，可得 ，
设 ，则 ， ，
，
又原点 到直线 的距离 ，
，
令 ，则 ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述： 的面积的最大值为 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13、
<答案 >:
﹣1
<解析>:
解：把 分别代入直线l1和直线l2的方程，
得 ，
所以 ，
所以 ．
因此正确答案为： -1．
14、
<答案 >:
<解析>:
解：因为圆心为 的圆 与直线 ： 相切于点 ，
所以 ，解得 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆 的方程为 ，
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
取直线 的方向向量为 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
，
所以点 到直线 的距离为 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
解：如图， ，
要使 最小，则 最大，即需 最小.
设 ，则 ，
∴当 ，即 时， ， ，
此时 或 ， .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)等腰直角三角形
(2)2
<解析>:
（1） ， ，
同理 ， ，
，且 ，
所以 是等腰直角三角形.
（2） ，又 ，
，解得 .
所以 的值为2.
18、
<答案 >:
(1)
(2) 或 .
<解析>:
（1）先求 点坐标，由垂直关系得 斜率后求解，
（2）由题意得 过原点或斜率为 后求解
（1）
联立 得 即 .
因为 ，不妨设直线l的方程为 ，
将点 代入 ，得 ，
所以直线l的方程为 .
（2）
当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是 ，即 ；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为 ，
将点 代入 ，得 ，
所以直线l的方程为 ，即 .
综上所述，直线l的方程是 或 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)2
<解析>:
（1）设 ，则 ， ，
由题意可得： ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2）由（1）可知：曲线 是以 为 圆心，半径 的圆，
则圆心 到线 的距离 ，
所以 .
20、
<答案 >:
（1） ；（2）1．
<解析>:
（1）设双曲线方程为 ，
由条件知 ， ，
∴ ，
∴双曲线 的方程为 ．
（2）由双曲线的定义可知， ．
∵ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ 的面积 ．
21、
<答案 >:
(1)证明见解析;
(2)
<解析>:
（1） 为等边三角形，
，
又四边形 为梯 形， ，则 ，
根据余弦定理可知，在 中，
根据勾股定理可知， ，即 ，
平面 ，
平面 ，
又 平面 平面 平面 ；
（2） 为 中点， ，
由（1）可知，平面 平面 ，
又平面 平面 平 面 ，
平面 ，
连接 ，则 ，且 平面 ，
故 ，
所以PO，BD，OC两两垂 直．
以O为原点，以 为x轴正方向，以 为y轴正方向，以 为z轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
设 且 ，则 ，
由三棱锥 的体积为 得： ，
所以 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
故 ．
所以平面 与平面 的夹角余弦值为：
.
22、
<答案 >:
（1） ；（2）是， .
<解析>:
（1）设公共点为 ，则 ， ，
即公共点 的轨迹为椭圆.
且 ，∴ ，又 ，∴ ，故曲线 ： .
（2）方法一:
当直线 斜率不存在时， ： ，
代入 得 ，故 ，易知： ；
当直线 斜率存在，设 ： ， 与圆 相切，
将 方程代入 ，得 ，
∴ ， ，
将 代入，得 ，即
综上，恒有 ， .
法二:
当直线 斜率不存在时， ： ，代入 得 ，
；
当直线 斜率存在，设 ： ，
∵ 与圆 相切，∴ ，即 .
将 方程代入 ，得 ，
∴ ， ，
，
同理可得 ，
故
将 ， ，及 代入，
可得 .
综上 .