齐齐哈尔市桃李中学2023-2024学年高一下学期期末考试
数学试题
一、单选题（8道题，共40分，每题5分）
1．已知为虚数单位，，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．2
2．某班最近一次化学考试成绩（百分制）按、、、、、分成六组后，得到频率分布直方图如图所示.若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前的同学，试估计化学老师奖励的学生的分数应不低于（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
3．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）
A．13时~14时 B．16时~17时 C．18时~19时 D．19时~20时
4．将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中，.若将它们的斜边重合，让三角形以为轴转动，则下列说法不正确的是
A．当平面平面时，，两点间的距离为
B．当平面平面时，与平面所成的角为
C．在三角形转动过程中，总有
D．在三角形转动过程中，三棱锥的体积最大可达到
5．如图，正方体的棱长为3，点P是平面内的动点，M，N分别为，的中点，若直线BP与MN所成的角为，且，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件
C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件
7．中，，，将沿上的高折成直二面角，则三
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棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
8．在中，，，，若点满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题（3道题，共18分，每题6分）
9．下列叙述中，正确的是（ ）
A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%
B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层随机抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为500的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，若从四年级中抽取75名学生，则
C．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为，则这组数据可能出现6
D．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是5
10．已知函数，则（ ）
A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B．在上单调递增
C．在内有2个零点
D．在上的最大值为
11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A．BM∥平面A1DE恒成立
B．：1：3
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．线段BM的长为定值
三、填空题（3道题，共15分，每题5分）
12．设实数x，，满足1，3，4，x，y，的平均数与50%分位数相等，则数据x，y，的方差为 ．
13．一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则______．
14．如图，在棱长为3的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则点P的轨迹长度为 ．
四、解答题（5道题，共77分，每题具体分值在题号后）
15．（13分）某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为的样本，统计数据如下：
认为作业多 认为作业不多 总数
喜欢电脑游戏 名 名 名
不喜欢电脑游戏 名 名 名
（1）已知该地区共有高二学生名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（5分）
（2）在，，，，，六名学生中，仅有，两名学生认为作业多，如果从这六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率.（8分）
16．（15分）如图，在平面四边形中，，，且，以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置（E、F不重合）.
(1)求证：；（5分）
(2)若平面平面，点在平面内的正投影为的重心，且直线与平面所成角为60°，求平面与平面的夹角的余弦值.（10分）
17．（15分）甲、乙两个学校分别有位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”．
(1)若，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；（7分）
(2)证明：．（8分）
18．（17分）如图,在四棱柱中,已知平面平面且,.
(1)求证:（8分）
(2)若为棱上的一点,且平面,求线段的长度（9分）
19．（17分）某城市为配合国家“一带一路”倡议，发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线与修建景观（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域内沿直线将与接通.已知，，河道两侧的景观道路修复费用为每米万元，架设在河道上方的景观桥部分的修建费用为每米万元.
（1）若景观桥长时，求桥与河道所成角的大小；（5分）
（2）如何景观桥的位置，使矩形区域内的总修建费用最低？最低总造价是多少？（12分）参考答案：
1．C
【分析】由复数的运算公式可得，结合复数的几何意义可得，即；则，由复数模的计算公式计算可得答案．
【详解】根据题意，，
若复数在复平面内对应的点位于实轴上，
则有，即；
则，则有，
故选：C．
【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，关键是求出的值，属于基础题．
2．C
【分析】根据频率分布直方图所有矩形面积之和为求出的值，然后利用频率分布直方图计算出第百分位数，即可得解.
【详解】易得，解得，
化学考试成绩在内的频率为，
化学考试成绩在内的频率为，
所以，第百分位数一定位于内.
设第百分位数为，则，解得，
所以估计化学老师奖励的学生的分数应不低于分.
故选：C.
3．B
【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可
【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间
故选：B.
【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.
4．C
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【分析】A选项,结合图像,利用面面垂直的性质及直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半求解；
B选项,先作出与平面所成的角,再求得其为；
C选项用反证法,假设垂直,根据线面垂直的判定与性质推到是否可能,从而得出结论；
D选项根据棱锥的体积公式,在底面积不变的情况下,体积的大小取决于高,当平面⊥平面时,高最大,求出即可．
【详解】
A选项,取中点,连接,
,,
∵平面ABD⊥平面ABC,DO⊥AB,∴DO⊥平面ABC,DO⊥OC,
∴DC=,A选项正确；
B选项,接续选项A中的结论：DO⊥平面ABC,故∠DCO就是与平面所成的角,因为DO=CO,所以∠DCO=45°,所以B选项正确；
C选项,若AB⊥CD,则AB⊥平面CDO,AB⊥OC,∵O为中点,∴AC=BC,∠BAC=45°与∠BAC=30°矛盾,∴C选项错误；
D选项,当DO⊥平面ABC时,棱锥的高最大,此时V棱锥=×AC×BC×DO=××1×1=．D选项正确．
故选：C.
【点睛】本题主要考查空间线面位置关系和空间角的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力，解答类似空间真假命题的判断,方法比较灵活,有的可以举反例,有的可以反证,有的可以直接证明.
5．A
【分析】连接，，得到，把BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角，在正方体中，证得平面，得到，设与平面的交点为G，连接PG，结合题意，得到点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，根据圆的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接，，则N为的中点，又M为的中点，所以，
因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角，
在正方体中，可得，
因为平面，平面，可得，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
因为，且平面，所以平面，则．
设与平面的交点为G，连接PG，所以，
在直角中，，因为，所以，
又由，所以，
所以点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，其面积为.
故选：A.
6．A
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件是必然事件，，
显然，，因此事件与相互独立，A正确；
对于B，由，得事件与不是互斥事件，B错误；
对于C，显然事件事件与不可能同时发生，即，而，事件与相互不独立，C错误；
对于D，显然事件与可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件与不是对立事件，D错误.
故选：A
7．C
【分析】根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，由此可得三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积．
【详解】根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，
所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
∵长方体的对角线的长为：，
∴球的直径是，半径为，
∴三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为：4π×＝3π．
【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
8．C
【分析】根据向量的数量积公式和向量转化为基地进行表示即可求解.
【详解】
.
故选：C.
9．BD
【分析】根据频率判断A，根据抽样比，列出方程，求出，即可判断B；假设这组数据有，得到方差的取值特征，即可判断C；求出众数，中位数，平均数，即可判断D.
【详解】对于A：∵学号为的学生被抽到的可能性为，∴A错误；
对于B：∵抽样比为，∴，∴B正确；
对于C：若这组数据有，则方差，∴C错误；
对于D：∵数据从小到大的顺序排列为，，，，，（其中），
则中位数为，众数为，
∴，∴，
∴该组数据的平均数是，∴D正确.
故选：BD.
10．BC
【分析】A.根据函数的平移判断；B.求出函数的单调增区间来判断；C.求出函数的零点来判断；D.求出函数的最大值来判断；
【详解】由题得，
由的图象向右平移个单位长度，得到的图象，所以选项A错误；
令，
得其增区间为，
所以在上单调递增，所以选项B正确；
令得，
得，又．
所以可取，即有2个零点，所以选项正确；
由得，
所以，所以选项D错误．
故选：BC．
11．ABD
【分析】对A，取CD中点F，连接MF，BF，即可证明；
对B，分别计算，证明即可；
对C，由A1C在平面ABCD中的射影在AC上，再判断即可；
对D，在中利用余弦定理证明即可
【详解】解：取CD中点F，连接MF，BF，如图所示，
则MF∥A1D，FB∥DE，则可得平面MBF∥平面A1DE，
∵BM 平面MBF，BM 平面A1DE，
∴BM∥A1DE，故A选项正确，
设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，
则
，故B选项正确，
A1C在平面ABCD中的射影在AC上，
∵AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故C选项错误，
∵∠MFB＝∠A1DE＝45°，
又∵由余弦定理，可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF FB cos∠MFB，且MF，FB为定值，
∴MB为定值．
故选：ABD．
12．/
【分析】利用平均数与分位数相等，得，代入数据中得方差.
【详解】根据题意，数据的平均数为，
数据的分位数为，
∴ ，即，代入数据，
即为，此组数据的平均数为，
∴ 数据的方差为.
故答案：
13．
【分析】由求解即可
【详解】∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】连接，首先证明平面，设平面，连接、，即可得到三棱锥为正三棱锥，求出、，再利用勾股定理表示，即可得到，从而得到轨迹长.
【详解】解：连接，因为四边形为正方形，则，
平面，平面，则，
因为，平面，平面，
平面，，
同理可证，，平面，平面，
设平面，连接、，
因为，，所以三棱锥为正三棱锥，
则为的中心，则，且内切圆的半径，
所以，，，
平面，平面，，即，，
因为，即，，解得，
所以点的轨迹是半径为的圆，因为，所以点的轨迹长为.
故答案为：
15．（1）；（2）.
【分析】（1）根据表中数据计算名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的概率再乘以即可求解；
（2）求出从六名学生中随机抽取两名包含的基本事件的个数以及至少有一名学生认为作业多包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可求解.
【详解】（1）名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的概率为，
所以高二学生总体中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有名；
（2）从，，，，，六名学生中，随机抽取两名，
基本事件有 ，，，，，，，，，，，，，，，共有个，
至少有一名学生认为作业多包含的基本事件有： ，，，，，，，，，共有个，
所以至少有一名学生认为作业多的概率为.
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；
（2）由（1）得到以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示：
取的中点，连接和，
由题意知和均为等腰三角形，且，
故
又因为
所以平面，
又因为平面
所以
（2）由（1）知，，
又因为平面平面，
平面平面,平面,
所以平面，
直线与平面所成角为，可得，
因为，为中点，
所以，
所以，
所以，
即为等边三角形，
为等边的重心，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
则，
设为平面的法向量，
则，可得，
令，可得，
即平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，
则，即，
令，可得，
即平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的余弦值为.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知求出及甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率，再利用条件概率公式求事件A发生的条件下恰有5位同学成功的概率
（2）根据题设写出、，利用组合数的性质证明结论即可.
【详解】（1）由题设，甲乙学校分别有4个、3个学生参加活动，
，
而甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率为，
所以事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率.
（2）由题设知：，
，
因为，，所以
18．(1) 详见解析，(2)
【详解】试题分析：(1)先根据面面垂直性质定理，将面面垂直条件转化为线面垂直：在四边形中,因为,,所以,又平面平面,且平面平面, 平面,所以平面，再利用线面垂直性质定理转化为线线垂直：因为平面,所以，(2)先根据线面平行性质定理，将线面平行转化为线线平行：因为平面，平面,平面平面,所以然后在平面中解得
⑴在四边形中,因为,,所以, 2分
又平面平面,且平面平面, 平面,
所以平面,------5分
又因为平面,所以--7分
（2）因为平面，平面,平面平面,所以，所以E为BC的中点， 14分
考点：面面垂直性质定理，线面平行性质定理
19．（1）；（2）当桥与河道的夹角为时，建造费用最低为万元
【分析】（1）过作的垂线，利用三角函数的定义计算夹角；
（2）用河道与桥梁的夹角表示出公路两侧的长度及公路间的长度，得到建造费用关于的函数关系式，换元，利用导数判断函数的单调性，即可求出最小值．
【详解】（1）过作，则，，
，
，即桥与河道所成角为．
（2）设桥与河道的夹角为，，
则，，
，
设总修建费用为万元，则，
令，则，
，令，得，
当时，，当时，，
所以当，取得最小值．
当时，，．
当桥与河道时夹角为时，建造费用最小，最小费用为万元．
【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，以及利用导数求函数的最值，涉及函数模型的选择与应用，解题关键是把费用正确表示为角的函数关系，属于中档题．
