人教版（2024年）九年级（上）第21章 一元二次方程 单元检测卷（含详解）

人教版（2024年）九年级（上）单元检测卷
第21章《一元二次方程》
时间：120分钟 满分：120分
题号 一 二 三 总分
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列式子为一元二次方程的是（　　）
A．ax2+3x﹣6＝0 B．2x2+y2＝8 C．x2+2x﹣1 D．﹣x2+2＝3x
2．将一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3．如果通过一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝10
4．x1，x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　）
A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3
C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3
5．关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
6．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　）
A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23
C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63
8．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
9．若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝15，则a2+b2＝（　　）
A．4 B．5 C．±4 D．±5
10．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．方程x2＝7的解是 　 　．
12．若关于x的一元二次方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
13．若x＝2是关于x的一元二次方程x2+x﹣2m＝0的一个根，则m的值为 　 　．
14．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 　 　．
15．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 　 　．
16．若x、y均为实数，则代数式x2+y2+4x﹣6y+14的最小值是 　 　．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）用指定的方法解一元二次方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；（配方法） （2）2x2+2x＝3．（公式法）
18．（6分）用适当的方法解方程
（1）x2﹣x＝0； （2）x2﹣2x﹣1＝0．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
（1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为波浪方程，并说明理由．
（2）已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个波浪方程．
20．（6分）已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值．
21．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
22．（8分）为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）．
（1）若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
（2）生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由．
23．（8分）端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量；
（2）端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？
24．（12分）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1﹣3）（x2﹣3）＝5m，求m的值．
25．（12分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．当a＝0时，ax2+3x﹣6＝0不是一元二次方程，不合题意；
B.2x2+y2＝8是二元二次方程，不合题意；
C．x2+2x﹣1不是方程，不合题意；
D．﹣x2+2＝3x属于一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．解：3x2﹣2＝4x，
∴3x2﹣4x﹣2＝0，
∴一次项的系数是﹣4．
故选：C．
3．解：x2﹣6x+1＝0，
x2﹣6x＝﹣1，
x2﹣6x+9＝﹣1+9，
∴（x﹣3）2＝8，
故选：B．
4．解：∵x1、x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，
∴（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝±，
∴x2＝1+＞3，x1＝1﹣＜﹣1，
故选：A．
5．解：∵Δ＝m2﹣4×（﹣2）＝m2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
6．解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
7．解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：A．
8．解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物，
依题意得：x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去），
∴参加聚会的同学有10人．
故选：B．
9．解：设 a2+b2＝y，则原方程换元为 （y+1）（y﹣1）＝15，
∴y2＝16，
解得：y1＝4，y2＝﹣4，
即 a2+b2＝4或 a2+b2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴a2+b2＝4．
故选：A．
10．解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣＝6，x1x2＝＝﹣7．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：x2＝7，
直接开平方得：x1＝，x2＝﹣，
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
12．解：∵方程（m+1）x|m﹣1|+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴，
解得m＝3，
故答案为：3．
13．解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+x﹣2m＝0的一个根，
∴22+2﹣2m＝0，
解得m＝3，
故答案为：3．
14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝9+4m＜0，
∴m＜﹣，
取m＝﹣5．
故答案为：﹣5（答案不唯一）．
15．解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为x﹣3，
由题意得，10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6，
∴他去世时年龄为25或36，
又∵他去世时的年龄大于30，
∴他去世时的年龄为36
故答案为：36．
16．解：x2+y2+4x﹣6y+14
＝（x2+4x+4）﹣4+（y2﹣6y+9）﹣9+14
＝（x+2）2﹣4+（y﹣3）2﹣9+14
＝（x+2）2+（y﹣3）2+1
当x＝﹣2，y＝3时，方程有最小值1．
故答案为：1．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：（1）x2﹣4x﹣12＝0，
x2﹣4x＝12，
x2﹣4x+4＝12+4，
（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
x1＝6，x2＝﹣2．
（2）2x2+2x＝3．
2x2+2x﹣3＝0，
Δ＝4+24＝28，
x＝，
x1＝，x2＝．
18．解：（1）原方程可化为
x（x﹣1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1；
（2）移项得，x2﹣2x＝1，
两边同时加1得，x2﹣2x+1＝2，
配方得，（x﹣1）2＝2，
直接开平方得，x﹣1＝±，
即x1＝1+，x2＝1﹣．
19．解：（1）是波浪方程．
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴3a+2b+c＝6+（﹣2）+（﹣4）＝0．
故此方程为波浪方程．
（2）将x＝﹣1代入原方程得，
a+2+c＝0①，
∵此方程为波浪方程，
∴3a+（﹣4）+c＝0②，
由①②得，
，
∴这个波浪方程为3x2﹣2x﹣5＝0．
20．（1）证明：k＝0时，方程为x﹣2＝0，方程有实数根．
k≠0时，方程为一元二次方程，
Δ＝（3k﹣1）2﹣8k（k﹣1）
＝k2+2k+1＝（k+1）2
∵（k+1）2≥0，
∴一元二次方程有实根，
∴无论k为任何实数，方程总有实根．
（2）解方程 kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0
得：x＝，即x1＝2，x2＝．
∵|x1﹣x2|＝2，
∴2﹣＝2或﹣2＝2，
∴k＝1或k＝﹣．
∴k的值为1或﹣．
21．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
22．解：（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，
根据题意得：x（42﹣3x）＝144，
整理得：x2﹣14x+48＝0，
解得：x1＝6，x2＝8（不符合题意，舍去）．
答：生态园垂直于墙的边长为6米；
（2）生态园的面积不能达到153平方米，理由如下：
假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（42﹣3y）米，
根据题意得：y（42﹣3y）＝153，
整理得：y2﹣14y+51＝0，
∵Δ＝（﹣14）2﹣4×1×51＝﹣8＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米．
23．解：（1）设A种礼盒购进x盒，则B种礼盒购进（300﹣x）盒，
根据题意得：28x+22（300﹣x）＝7200，
解得：x＝100，
∴300﹣x＝300﹣100＝200．
答：A种礼盒购进100盒，B种礼盒购进200盒；
（2）设销售价定为每盒y元，则每盒的销售利润为（y﹣22）元，平均每天可售出10+5（34﹣y）＝（180﹣5y）盒，
根据题意得：（y﹣22）（180﹣5y）＝240，
整理得：y2﹣58y+840＝0，
解得：y1＝28，y2＝30，
又∵为了尽快减少库存，
∴y＝28．
答：将销售价定为每盒28元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元．
24．解：（1）当AB＝AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根相等，
∴m2﹣4（﹣）＝0，
解得：m＝1，
此时方程为x2﹣x+＝0，
解得：x＝，
∴这时菱形的边长为；
（2）根据题意知，，
解得：AD＝，
∴平行四边形ABCD的周长是2×（2+）＝5；
（3）∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝m，x1x2＝﹣，
代入到（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝5m，可得﹣﹣3m+9＝5m，
解得：m＝．
25．解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，
∴（6﹣x） 2x＝××6×8，
∴x2﹣6x+12＝0，
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+25＝0，
解得：t1＝t2＝5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时t＞6，
由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，
整理得：t2﹣10t+23＝0，
解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．