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第12章 全等三角形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 内乡县期末）下列各组图形中，属于全等图形的是
A． B．
C． D．
2．（2024春 龙岗区期中）下列说法正确的是
A．形状相同的两个图形一定全等
B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形面积一定相等
D．两个正方形一定是全等图形
3．（2024春 萍乡期末）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的长度不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024春 金水区期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是
A． B． C． D．
5．（2023秋 乾安县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
6．（2023秋 枣阳市期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是
A． B． C． D．
7．（2024春 商水县期末）如图，且，，则的度数是
A． B． C． D．
8．（2023秋 同安区期末）如图，△，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是
A． B．
C． D．平分
9．（2024春 茂名期末）如图，在中，，，点，，分别在，，边上，且，．则的度数是
A． B． C． D．
10．（2024春 道里区期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 长春期末）如图，四边形四边形，若，，，则 ．
12．（2024春 新城区期末）如图，，，，，四个点在同一直线上．若，，则的长是 ．
13．（2024春 道县校级月考）如图，在中，，，，是的角平分线，于点，则的长是 ．
14．（2024春 开福区校级期末）如图，在中，是高和的交点，且，已知，，则的长为 ．
15．（2024春 莲湖区期末）如图，在的正方形网格中标出了、和，则 ．
16．（2024春 都昌县期末）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，，两点同时出发，点每分钟走 时，能使与全等．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 周口期末）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形
18．（2024春 西安月考）如图，已知，，．求证：．
19．（2024春 侯马市期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点．
（1）试说明：．
（2）若，，求的长．
20．（2024春 吉水县期末）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．（2024 舟山三模）小聪自编一题：“如图，在四边形中，，，求证：”，并将自己的证明过程与小明交流．
小聪： 在和中 ，，． 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明．
若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“”；若赞成小明的说法，请你完成证明．
22．（2024春 锦江区期末）补充完成下列推理过程：
如图，在中，为线段中点，，，求的取值范围．
解：作交的延长线于点．
，
．
为线段中点，
．
在与中，，
，
，．
在中，，
，
，，，
．
23．（2024春 秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离于点，当他从处摆动到处时，测得点到的距离于点，已知秋千的绳长固定不变（即，求的长度．
24．（2023秋 新田县期末）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ．
（1）如图（1），当 或 时，的面积等于面积的一半；
（2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
25．（2024春 西安期末）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于，、分别在、上，连接、，其中，．
（1）当时，求的度数；
（2）求证：．
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第12章 全等三角形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 内乡县期末）下列各组图形中，属于全等图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】根据全等图形的定义可得是全等图形，故选．
2．（2024春 龙岗区期中）下列说法正确的是
A．形状相同的两个图形一定全等
B．两个长方形是全等图形
C．两个全等图形面积一定相等
D．两个正方形一定是全等图形
【答案】
【解析】、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意；
、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意；
、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
故选．
3．（2024春 萍乡期末）如图，平分，于点，，点是射线上的任意一点，则的长度不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【解析】平分，于点，，
到的距离等于6，
故的长度不可能为5．
故选．
4．（2024春 金水区期中）如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】条件是，
理由是：，，
，
在和中，，
，
故选．
5．（2023秋 乾安县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
【答案】
【解析】凉亭到草坪三条边的距离相等，
凉亭选择三条角平分线的交点．
故选．
6．（2023秋 枣阳市期末）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据作法可知：，，，
，
，
故选．
7．（2024春 商水县期末）如图，且，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，，
，
，
故选．
8．（2023秋 同安区期末）如图，△，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是
A． B．
C． D．平分
【答案】
【解析】△，
，，，
．△，
，故本选项不符合题意；
．，
，
，
，
，故本选项不符合题意；
．不能推出，故本选项符合题意；
．，，
，
即平分，故本选项不符合题意；
故选．
9．（2024春 茂名期末）如图，在中，，，点，，分别在，，边上，且，．则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
在和中，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选．
10．（2024春 道里区期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【解析】，
，
平分，
，
在和中，，
，所以①正确；
在和中，，
，所以②正确；
，
，
，所以③正确．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 长春期末）如图，四边形四边形，若，，，则 ．
【答案】105．
【解析】四边形四边形，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：105．
12．（2024春 新城区期末）如图，，，，，四个点在同一直线上．若，，则的长是 ．
【答案】3．
【解析】，，
，
．
故答案为：3．
13．（2024春 道县校级月考）如图，在中，，，，是的角平分线，于点，则的长是 ．
【答案】．
【解析】过点作，
是的角平分线，于点，
，
中，，，，
，
，
解得：，
故答案为：．
14．（2024春 开福区校级期末）如图，在中，是高和的交点，且，已知，，则的长为 ．
【答案】5．
【解析】、是的高，
，
，，
，
在和中，，
，
，，
，
，
又，
，
．
故答案为：5．
15．（2024春 莲湖区期末）如图，在的正方形网格中标出了、和，则 ．
【答案】．
【解析】如图，在和中，，
，
，
在中，，
，
由图可知，是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
16．（2024春 都昌县期末）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，，两点同时出发，点每分钟走 时，能使与全等．
【答案】或．
【解析】设点每分钟走 ．
①若，此时，，
，
．
②若，，，
，
，
故答案为或．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 周口期末）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形
【解析】如图所示：
．
18．（2024春 西安月考）如图，已知，，．求证：．
【解析】证明：，
，
，
，即，
又，
在和中，，
．
19．（2024春 侯马市期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点．
（1）试说明：．
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：△，
，，
点，，在一条直线上，
，
，
，
；
（2）解：△，
，，
，
，
．
20．（2024春 吉水县期末）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解析】（1）证明：，
，
在 和 中，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
21．（2024 舟山三模）小聪自编一题：“如图，在四边形中，，，求证：”，并将自己的证明过程与小明交流．
小聪： 在和中 ，，． 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明．
若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“”；若赞成小明的说法，请你完成证明．
【解析】赞成小明的说法．
证明如下：连接，如图，
，
，
，
，
即，
，
在和中
．
22．（2024春 锦江区期末）补充完成下列推理过程：
如图，在中，为线段中点，，，求的取值范围．
解：作交的延长线于点．
，
．
为线段中点，
．
在与中，，
，
，．
在中，，
，
，，，
．
【解析】作交的延长线于点，
，
． 两直线平行，内错角相等）
为线段中点，
．（线段中点的定义）
在与中，，
，
，．（全等三角形的对应边相等）
在中，，
，
，，，
．
故答案为：两直线平行，内错角相等，线段中点的定义，，全等三角形的对应边相等，2，7．
23．（2024春 秦都区校级月考）如图1，小朋友在荡秋千．如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离于点，当他从处摆动到处时，测得点到的距离于点，已知秋千的绳长固定不变（即，求的长度．
【解析】，，
，
和均为直角三角形．
在和中，
，，
，
，
，
，
即的长度是．
24．（2023秋 新田县期末）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ．
（1）如图（1），当 或 时，的面积等于面积的一半；
（2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
【解析】（1）①当点在上时，如图①，
若的面积等于面积的一半；则，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
②当点在上时，如图①
若的面积等于面积的一半；则，即点为中点，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
故答案为：或；
（2），即，对应顶点为与，与，与；
①当点在上，如图②所示：
此时，，，
点移动的速度为，
②当点在上，如图②所示：
此时，，，
即，点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，
点的运动速度为或．
25．（2024春 西安期末）如图，在中，、的平分线交于点，延长交于，、分别在、上，连接、，其中，．
（1）当时，求的度数；
（2）求证：．
【解析】（1）解：方法一：，
，
平分、平分，
，
；
方法二：如图，在上取点，使，
平分，
，
在和中，，
，
，，，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
在和中，，
，
，
．
．
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