苏科版八年级数学上册试题 第3章勾股定理 章节复习卷 （含解析）

第3章《勾股定理》章节复习卷
一．选择题（每小题2分，共12分）
1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　
A．9 B．6 C．4 D．3
2.．在中，，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则△是直角三角形
C．若，则是直角三角形
D．若，则不是直角三角形
3.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4.如图，小明在广场上先向东走米，又向南走米，再向西走米，又向南走米，再向东走米，小明到达的终止点与原出发点的距离为（ ）米．
A．80 B．100 C．110 D．180
5.如图，中，，，，，分别在，上，且.将沿折叠，使点落在斜边上的点处，则的长是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
6.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
二．填空题（每小题2分，共20分）
7.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．
8.如图，长方形中，，，分别为，的中点，沿将折叠，若点恰好落在上，则________.
9.如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A、B、C、D的面积之和为16cm2，最大的正方形边长为_____cm．
10.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．
11.已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________
12.东东想把一根70 cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30 cm,40 cm,50 cm的木箱中，他能放进去吗？答：______. (填“能”或“不能”)
13.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．
14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．
15.已知矩形ABCD中，AB=4，BC=7．∠BAD的平分线AE交BC于E点，EF⊥DE交AB于F点，则EF的长为_____．
16.如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
三．解答题
17.（10分）如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？
18.（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长．
19.（10分）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）
解决下列问题：
（1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺；
（2）求芦苇的长度．
20.（10分）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？
21.（10分）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧面（是一个长方形）倒下到的位置连接，， ，设 ，，.
（1）试用，有关的代数式表示梯形的面积；
（2）试用，，有关的代数式分别表示，，的面积；
（3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理：.
22.（10分）有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
23.（10分）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s.
（1）运动几秒时，△APC是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
答案
一．选择题
1.D
【解析】
故选D.
2.．D
【解析】A项，，即，而，则，所以是直角三角形，说法正确；
B项，，即 ，所以是直角三角形，且，说法正确；
C项，，而，则，所以是直角三角形，说法正确；
D项，，，，，但是，所以可能是直角三角形，说法错误.
故选D.
3.C
【解析】过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．
4.B
【解析】解答：解：连接AB，作AC⊥BC于C．
∵AC=40+40=80米，
BC=70-10=60米，
则AB==100米．
故选B．
5.A
【解析】解：如图，连接，
根据题意，得.因为，所以.因为，，，所以，所以，所以.所以，所以.
故选A.
6.B
【解析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得 ：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,
化简得 ：ax+x2+bx-ab=0，
又∵ a = 3 ， b = 4 ，
∴x2＋7x=12;
∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为B.
二．填空题
7.13，84，85
【解析】由题意得，每组第一个数是奇数，且逐步递增2，第二、第三个数相差为一
故第⑥组的第一个数是13
设第二个数为x，第三个数为x+1
根据勾股定理得
解得
则第⑥组勾股数：13，84，85
故答案为：13，84，85．
8.2
【解析】连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=，
由折叠的性质可得AE=A′E，∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），∴A′F=DF=，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=，
在Rt△BCF中，BC==．
∴AD=BC=．∴AD2=2
故答案是2．
9.4
【解析】由勾股定理得，A、B的面积之和等于E的面积，A、B、C、D的面积之和等于E、F的面积之和，
∴E、F的面积之和等于最大的正方形G的面积，
∴最大的正方形G的面积为A、B、C、D的面积之和=16cm2，
∴最大的正方形边长为4cm，
故答案为4．
10.13，84，85
【解析】由题意得，每组第一个数是奇数，且逐步递增2，第二、第三个数相差为一
故第⑥组的第一个数是13
设第二个数为x，第三个数为x+1
根据勾股定理得，解得
则第⑥组勾股数：13，84，85
故答案为：13，84，85．
11.10或90
【解析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况：
如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=1．∴BC2=12+32=10．
如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=9，∴BC2=92+32=90．
故答案是：10或90．
12.能
【解析】作如下长方体，其中AB=50cm，BC=40cm，CC′=30cm，连接AC、AC′，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=4100，
在Rt△ACC′中，AC′=＞70，故他能放进去.
故答案为能.
13.15.
【解析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C==15cm，
故答案为15．
14.．
【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，
∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，
x+4y=，所以S2=x+4y=．
15.5
【解析】连接DF，
在矩形ABCD中，∵AE平分∠BAD，
则在中，
在 中， 即 ①
在中， ②
在中， ③
化简可得 即
则在中，
故答案为：5．
16.
【解析】如图，连接，过点作，
设，则矩形中
在与中，
在中，
，故答案为：．
三．解答题
17.解：（1）由题意得此时a=24米，c=25米，根据a2+b2=c2，
∴b=7米；
（2）不是．设滑动后梯子的底端到墙的距离为b米，
得方程，b2+（24-4）2=252，
解得b=15，
所以梯子向后滑动了8米．
综合得：如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米．
18.解:连接AM,
∵AB＝AC,M为BC的中点,∴AM⊥BC,CM＝BC＝3.
由勾股定理得AM 2＝AC 2－CM 2＝52－32＝16,∴AM＝4.
∵MN⊥AC,∴S△ACM＝CM·AM＝AC·MN,即3×4＝5MN,
∴MN＝2.4.
19.解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺；
故答案为：5，1；
（2）设芦苇长EG=AG=x尺，则水深FG=（x-1）尺，
在Rt△AGF中，52+（x-1）2=x2，解得：x=13，
∴芦苇长13尺．
20.解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km），
则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点，
如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD -DE=240-70=170km，170÷25=（小时），
∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险．
21.（1）由题意， 可得梯形的面积为
（2）由题意易知，，
所以，为直角三角形，
所以，
又因为，，
所以.
（3）由题中图形可知，
所以，
所以，
所以
22.(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,
(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),
因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,
所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,
所以小虫爬行的最短路程为100cm.
23.（1）由题意可知AP=t，PC=
∵AP=PC，
∴t=，
解得，t=，
∴出发秒后△APC能形成等腰三角形；
（2）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
当点Q在AC上时，AQ=BC+AC-2t=16-2t，所以CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
当BQ=BC=6时，如图1，过B作BD⊥AC，则CD=CQ=t-3，在Rt△ABC中，可求得BD=，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2，即62=（）2+（t-3）2，
解得t=或t=-＜0（舍去）；
当CQ=BC=6时，则2t-6=6，解得t=6，
当CQ=BQ时，则∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，∴∠A=∠QBA，∴QB=QA，
∴CQ=AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5，
综上可知当△BCQ为等腰三角形时，t=或t=6或t=5.5．