2023-2024学年福建省泉州市晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省晋江市磁灶中学等校联考高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间中不过同一点的三条直线，，“，，共面”是“，，两两相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分必要条件 D. 必要不充分条件
4.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知向量，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，且，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据给图作出以下判断，正确的是( )
A. 图的平均数中位数众数 B. 图的平均数众数中位数
C. 图的众数中位数平均数 D. 图的平均数中位数众数
10.已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则( )
A. 在区间上是减函数
B. 在区间上是增函数
C. 在时取极小值
D. 在时取极小值
11.甲、乙、丙、丁四名教师分配到，，三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人设事件：“甲分配到学校”；事件：“乙分配到学校”，则( )
A. 事件与互斥 B.
C. 事件与相互独立 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.的展开式中的系数为______用数字作答．
14.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线方程为：．
求的解析式
曲线上任一点的切线与直线和直线所围成的三角形面积的定值，并求出此定值．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，的最大值为．
求角；
若点在上，满足，且，，解这个三角形．
17.本小题分
从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
Ⅰ求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差同一组中数据用该组区间的中点值作代表；
Ⅱ由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
利用该正态分布，求；
某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用的结果，求．
附：．
若则，．
18.本小题分
已知函数．
当时，讨论函数在上的单调性；
当时，求在内的最大值．
19.本小题分
为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验根据个简单随机样本的数据，得到如表联表：单位：只
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为若共选取次，每次选取的结果是相互独立的记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
答案解析
1.
【解析】解：，，，或，
或，，则．
故选：．
2.
【解析】解：，
，即，
．
故选：．
3.
【解析】解：空间中不过同一点的三条直线，，，
若“，，两两相交”，则“，，共面”，
反之不成立，，，可能相互平行，
“，，共面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，
故选：．
4.
【解析】解：，
则，
故，即，
为锐角，
，
．
故选：．
5.
【解析】解：，，，，
又，，当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
故选：．
6.
【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，
故选：．
7.
【解析】解：因为向量，，所以，
向量在方向上的投影向量为．
故选：．
8.
【解析】解：，，，即，，，
令，，则，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
则，即，
，，，
．
故选：．
9.
【解析】解：图的分布直方图是对称的，所以平均数中位数众数，A正确；
图众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；
图左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D正确．
故选：．
10.
【解析】解：由图象知，当时，；当时，；
当时，，
已知，函数定义域为，
可得，
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，
故选：．
11.
【解析】解：对于，甲分配到学校的事件与乙分配到学校的事件可以同时发生，即事件与不互斥，A错误；
对于，甲分配到，，三个学校是等可能的，则，B正确；
对于，由选项B知，，，显然，
因此事件与相互不独立，C错误；
对于，由选项BC知，，D正确．
故选：．
12.
【解析】解：由函数求导得：，当时，，解得，
因此，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
14.
【解析】解：，
，即，
定义在上的函数是以为周期的函数．
又为奇函数，
函数关于点成中心对称，
，
由得：，
，代入，有．
．
．
故答案为：．
15.解：求导函数可得：，
曲线在点处的切线方程为．
，，
，，
，，
的解析式为；
设为曲线上任一点，则切线的斜率为，
切线方程为，
令，可得，
由切线方程与直线联立，求得交点横坐标为，
曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值．
【解析】求导函数，利用曲线在点处的切线方程为，建立方程，可求得，，从而可得的解析式；
求出切线方程，从而可计算切线与直线和直线所围成的三角形面积．
16.解：由．
由三角函数的性质，可得，即，
结合，取，得；
如图所示，可得，
所以舍负，
由余弦定理得，解得，
由此可得，所以，．
综上所述，．
【解析】根据三角恒等变换公式化简表达式，然后利用三角函数的性质与特殊角的三角函数值，求出角的大小；
根据平面向量的基本定理、向量数量积的公式，求得长，再利用余弦定理求得长，最后由勾股定理的逆定理判断出角、的大小，可得答案．
17.解：Ⅰ抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，
．
Ⅱ由Ⅰ知，从而；
由知一件产品的质量指标值位于区间的概率为，
依题意知，所以．
【解析】Ⅰ根据频率分布直方图的数据，即可求出；
Ⅱ由Ⅰ知，从而求出，注意运用所给数据；
由知，即可求得结果．
18.解：当时，，，且，
当时，，，则，即，
故函数在上单调递增；
，
令，则，
由且，可得，，则，在内单调递增，
所以，
又当时，，
所以，在内单调递增，
故．
【解析】根据求导公式和运算法则可得，由可得，，即可求解；
由题意可得，利用导数讨论函数的性质可得，进而，则在内单调递增，即可求解．
19.解：零假设：药物对预防疾病无效果，
补充完整的列联表如下所示：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物对预防疾病有效果．
设表示药物的治愈率，表示未服用过药物且患病，表示服用过药物且患病，
由题意得，，，且，，
所以，
即药物的治愈率，
所以，
所以，，，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
数学期望．
【解析】提出零假设，计算的值，并与附表中的数据进行对比，即可作出判断；
利用全概率公式求出药物的治愈率，利用，结合二项分布的概率公式与数学期望的计算方法，求解即可．
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