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第二十四章 相似三角形 单元核心考点
考点一 放缩与相似形（共5题）
1．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（ ）
A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确；
C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确．
2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（ ）
A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似
3．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形四边形，则的长为 ．
4．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为 ．
5．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，， ，，，，，求，的长和的度数．
考点二 比例线段（共5题）
1．（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知，若，则（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
3．（2024九年级下·上海·专题练习）已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ．
4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ．
5、（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：．
(1)求代数式的值；
(2)当时，求a、b的值．
考点三 黄金分割（共5题）
1．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．
2．（22-23九年级下·全国·课后作业）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿走到主持的位置至少需走 米
4．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ．
5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
考点四 三角形一边的平行线（共5题）
1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．10
2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．
4．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ．
5．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．
考点五 选择或者补充条件使两个三角形相似（共5题）
1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．
4．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，．
5．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：．
考点六 相似三角形的判定（共5题）
1．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽宿州·二模）如图，在中，，角平分线分为两条线段，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．4
3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ．
4．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．
5．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
考点七 重心的有关性质（共5题）
1．（2023·上海虹口·一模）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．8
2．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ．
4．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，与相交于点，若，则 ．
5．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知是等边三角形． P是的重心，连接并延长分别交边于点E，D．
试判断：
①的度数为 ；
②线段之间的数量关系： ；（填写“>”“<”或“=”）
（2）如图2，若在等边中，点E是射线上一动点（其中点E不与点A 重合，且），连接，作边关于直线 的对称线段 ，直线相交于点 P，试探究线段的数量关系，并说明理由．
考点八 相似三角形的判定与性质综合（共5题）
1．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·上海·期末）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ．
4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ．
5．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
考点九 相似三角形的动点问题（共5题）
1．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则( )
A． B． C． D．
3．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶
（1）经过 s ，的面积是面积的；
（2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似．
4．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ．
5．（21-22九年级上·山东聊城·阶段练习）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题：
（1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似；
（2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC；
（3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
考点十 相似三角形的应用 （共5题）
1．（2024·河北邯郸·二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·二模）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端． 已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，已知小明的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小明距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米．
4．（22-23九年级上·吉林白山·期末）图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米．
5．（22-23九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索：
他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米．
根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度．
考点十一 实数与向量相乘（共5题）
1．（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果、为实数，那么
C．如果（为实数），那么
D．如果或，那么
2．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示）
4．（22-23九年级上·上海崇明·期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ．
5．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且．
(1)求的长；
(2)如果，，试用、表示向量．
考点十二 向量的线性运算（共5题）
1．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在四边形中，如果，那么四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，点在边上，，，，那么 ．
4．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在梯形中，，点E是的中点，，设，，那么 ．（用、表示）
5．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，连接，．
(1)填空： ； ；
(2)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结论）中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 相似三角形 单元核心考点
考点一 放缩与相似形（共5题）
1．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（ ）
A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确；
C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确．
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．
【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；
如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；
故选：B．
2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（ ）
A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A．所有的直角三角形的两个对应锐角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
B．所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意；
C．所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
D．所有的正方形，对应角的度数一定相同，对应边的比值一定相等，故一定相似，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查相似多边形的判定，掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．
3．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形四边形，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将代入，计算即可求出边的长．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
4．（22-23九年级上·上海嘉定·阶段练习）我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键．
5．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，， ，，，，，求，的长和的度数．
【答案】
【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数．
【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形，
∴，即，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键．
考点二 比例线段（共5题）
1．（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意；
C、由，得，故本选项正确，符合题意；
D、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知，若，则（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键．利用等比性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．（2024九年级下·上海·专题练习）已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ．
【答案】8
【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项．
【详解】解：线段c是a、b的比例中项，
，
解得：，
又线段是正数，
．
故答案为：8．
4．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ．
【答案】
【分析】此题考查了比例中项，根据比例中项的定义进行求解即可．
【详解】∵线段c是a和b的比例中项，
∴，
∴．
故答案为：
5、（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：．
(1)求代数式的值；
(2)当时，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令即可求解．
（1）把代入即可求值；
（2）把代入求出的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
令，
原式；
（2）解：，
令，
故，
解得，
考点三 黄金分割（共5题）
1．（23-24九年级上·广西桂林·期末）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形和矩形的面积进行分析计算．据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
故选：C．
2．（22-23九年级下·全国·课后作业）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长，即可求出的长度．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，
∴，
∵的长度为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，其中．
3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿走到主持的位置至少需走 米
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割点的概念，理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值是解题的关键．设主持位置为点，根据黄金分割点的定义，知是较短线段进行计算即可．
【详解】解：设主持位置为点，
由于为线段的黄金分割点，
且为较短线段，
则．
故本题答案为：．
4．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查线段成比例的运算，黄金分割点的计算方法，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键．
根据点都是线段的黄金分割点，可得，根据线段的和差运算即可求解．
【详解】解：已知点为线段的黄金分割点，则（即），
∵点都是线段的黄金分割点，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
【答案】米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
考点四 三角形一边的平行线（共5题）
1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出线段的长．
【详解】解：如图，过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，
由题意可知，，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解．
【详解】解：过点作交于点，如图，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点在边的延长线上，点在边上，连接，取的中点，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形性质及应用．过作于，交的延长线于点，交于点，由为的中点，证明是的中位线，求得，，可得，从而．
【详解】解：过作于，交的延长线于点，交于点，如图：
四边形，四边形是正方形，
，，，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴为的中点，
∴是的中位线，
，，
∴
，
；
故答案为：．
5．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．
【答案】4米
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案．
【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：
由题意，米，米，米，
∴米，
∵，
∴，
即，
解得：米，
∴（米），
答：路灯离地面的高度为4米．
考点五 选择或者补充条件使两个三角形相似（共5题）
1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键．
【详解】A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；
B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；
C．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意；
D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意．
故选C．
2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理“两角分别对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，
先根据，得出，再由相似三角形的判定定理对各项逐一判断即可．
【详解】解：，，
①添加，则，本项符合题意；
②添加，则，本项符合题意；
③添加；无法判断，本项不合题意；
④添加；则，本项符合题意；
故选：B．
3．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
【详解】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
4．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
当时，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
5．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】证明：选择①
∵，
∴，
∵，
∴．
或选择②
∵，
∴，
∵，
∴．
考点六 相似三角形的判定（共5题）
1．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形旋转的性质及正方形的性质，可证明，得到，设，则，再根据勾股定理列方程，并求解方程，即得答案．
【详解】，
，
把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，
，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得或0（舍去），
，
故选C．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定及根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
2．（2024·安徽宿州·二模）如图，在中，，角平分线分为两条线段，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点D作于点E，于点F，先证明四边形是矩形，求得，再证明，得到，求得，，最后根据勾股定理计算，即得答案．
【详解】过点D作于点E，于点F，
，
四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，．
故选A．
3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
4．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．
【答案】4
【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
【详解】解：如图：
①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB；
②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB
③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB；
④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB．
故答案为：4
【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似．
5．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．
（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
．
考点七 重心的有关性质（共5题）
1．（2023·上海虹口·一模）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于D，
∵点G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，其性质是三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．根据三角形重心的概念和性质即可判定．
【详解】解：点是的重心，
线段，，是的三条中线，故①错误；
是中线，
，
的面积是面积的一半；故②正确；
，，是的三条中线，
面积面积面积，面积面积面积，面积面积面积，
面积面积面积面积面积面积，
图中与面积相等的三角形有5个，故③正确；
故选：C
3．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系．
由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解．
【详解】解：∵点G是重心，
∴是的边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴故答案为：．
4．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，与相交于点，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握和运用三角形重心的性质是解决本题的关键．
根据题意可知：点O是的重心，然后根据重心的性质即可解答．
【详解】解：在中，与相交于点，
∴分别是的中线，
∴点O是的重心，
∵，
∴
故答案为：2．
5．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知是等边三角形． P是的重心，连接并延长分别交边于点E，D．
试判断：
①的度数为 ；
②线段之间的数量关系： ；（填写“>”“<”或“=”）
（2）如图2，若在等边中，点E是射线上一动点（其中点E不与点A 重合，且），连接，作边关于直线 的对称线段 ，直线相交于点 P，试探究线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①；②=；
（2）当点E在延长线上时，；当点E在线段上时，
【分析】此题考查了重心的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键：
（1）①由重心定义得到分别平分，推出，再利用外角定义求出的度数；
②根据30度角的定义求出，即可得到；
（2）分两种情况：当点E在延长线上时，当点E在线段上时，构造全等图形解答．
【详解】解：（1）①∵是等边三角形，
∴
∵P是等边的重心，
∴分别平分，
∴，
∴，
故答案为；
②∵分别平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）当点E在延长线上时，
在上截取，
∵是等边三角形，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
∴，
由翻折得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴；
当点E在线段上时，如图，延长，使，
由由翻折得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
考点八 相似三角形的判定与性质综合（共5题）
1．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
2．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，作交于点F，作交于点G，设，则，，设，则，根据平行线分线段成比例定理，推导出与之间的数量关系，即可求解．
【详解】解：作交于点F，作交于点G，
，
设，则，，
同理，设，则，
，
∴，，
，，
，则，
，则，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
3．（23-24八年级下·上海·期末）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，如图1中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图2，在中，，，，点在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．设正方形的边长为，则，，由，可得，根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时，
设正方形的边长为，则，，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
4．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，连接，证明，由相似三角形的性质得出，推出，由勾股定理得出，最后再由三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
5．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．
（1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；
（2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用算得的长度；
②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
．
，即．
（2）①解：
，即
，
解得：（舍去负值）
②解：
，
考点九 相似三角形的动点问题（共5题）
1．（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解．
【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，，
，，，
，
点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为
∴，
，，
，
∴，
，
，
，
，
又，
，
解得，
，
当四边形是菱形时，的值为；
故选A．
2．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
即
整理得：．
故选：A．
3．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶
（1）经过 s ，的面积是面积的；
（2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似．
【答案】 2 或
【分析】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法，进行分类讨论是解题的关键．
（1）首先计算出的面积，设t秒的面积是面积的，表示出、，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出方程求解．
【详解】在中，，，，
面积为，
的面积是面积的，
的面积为，
设t秒的面积是面积的，
则，，
在中，
，
解得，
故答案为：2；
（2）设经过x秒后，两三角形相似，设t秒的面积是面积的，
则，，
∵，
当或时，两三角形相似．
（1）当时，
，
（2）当时，
；
所以，经过或秒后，两三角形相似．
4．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，那么当与相似时，的面积是 ．
【答案】或
【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论并列式即可得到本题答案．
【详解】解：根据题意得：设、两点的运动时间是s，
∴，，
∴，
∵，
①当时，，
∵，，
∴，解得：，
∴，，
∴的面积是：；
②当时，，
∴，解得：，
∴，，
∴的面积是：；
故答案为∶ 或．
5．（21-22九年级上·山东聊城·阶段练习）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动时间为xs（0＜x＜2），解答下列问题：
（1）如图①，当x为何值时，△APQ与△ACB相似；
（2）如图②，连接PC，当x为何值时，PQ＝PC；
（3）是否存在某时刻x，使线段PQ恰好把Rt△ACB面积平分？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）当x＝或秒时，△APQ与△ACB相似；（2）；（3）存在x＝，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分
【分析】（1）由题意知：BP＝x，AQ＝2x，则AP＝5﹣x，当△APQ∽△ABC时，得，当△APQ∽△ACB时，得，分别代入计算即可；
（2）过点P作PM⊥AC于H，则AM＝2x+2﹣x＝x+2，由，得，代入计算即可；
（3）若存在，则此时S△AQP＝3（cm2），过点P作PH⊥AC于H，由，得，表示出PH的长，从而列出方程．
【详解】解（1）在Rt△ABC中，AB＝＝5，
由题意知：BP＝x，AQ＝2x，则AP＝5﹣x，
∵△APQ与△ACB相似，
①当△APQ∽△ABC时，
∴，
∴，
解得：x＝；
②当△APQ∽△ACB时，
∴，
∴，
解得：x＝．
综上所述，当x＝或秒时，△APQ与△ACB相似；
（2）如图，过点P作PM⊥AC于H，
∴∠AMP＝90°，
∵AQ＝2x，
∴CQ＝4﹣2x，
∵PQ＝PC PM⊥AC，
∴QM＝CM＝CQ＝2﹣x，
∴AM＝2x+2﹣x＝x+2，
∵∠C＝90°，
∴∠AMP＝∠C，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，理由为：
假设存在某时刻x，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
有S△AQP＝S△ABC，
∵S△ABC＝AC BC＝6（cm2），
∴此时S△AQP＝3（cm2），
过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴PH＝3﹣x，
∴△AQP的面积为×AQ×PH＝×2x（3﹣x）＝﹣x2+3x，
即﹣x2+3x＝3，
化简得：x2﹣5x+5＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5，
∴x＝，
∵0＜x＜2，
∴x＝，
则存在x＝，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
考点十 相似三角形的应用 （共5题）
1．（2024·河北邯郸·二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．（2024·云南昆明·二模）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端． 已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据镜面反射可得，进而证明，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
3．（23-24九年级上·上海静安·期中）如图，已知小明的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小明距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米．
【答案】
【分析】根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
【详解】解：结合题意画出图形得：，，
，
，
小明的身高为米，他在路灯下的影子长为2米；小明距路灯杆底部为4米，
，，，
，
解得：，
则路灯灯泡距地面的高度是米．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出进而得出比例式是解题关键．
4．（22-23九年级上·吉林白山·期末）图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
5．（22-23九年级上·上海崇明·期中）学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索：
他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米．
根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度．
【答案】米
【分析】根据题意可得，可证得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，即，
解得：米，
答：旗杆的高度为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
考点十一 实数与向量相乘（共5题）
1．（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．如果或，那么
B．如果、为实数，那么
C．如果（为实数），那么
D．如果或，那么
【答案】C
【分析】本题主要考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质， 根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】解：A．如果或，那么，正确，故本选项不符合题意．
B．如果、为实数，那么，正确，故本选项不符合题意．
C． 如果（为实数），那么，错误，时，不成立，故本选项符合题意．
D． 如果或，那么，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向． 一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原式计算正确，故本选项符合题意；
C、，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D、 ，原式计算错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．
3．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵，点、分别是边、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
4．（22-23九年级上·上海崇明·期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ．
【答案】
【分析】根据运算法则可得，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查的是平面向量，掌握平面向量法则是解决此题的关键．
5．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且．
(1)求的长；
(2)如果，，试用、表示向量．
【答案】(1)的长为
(2)
【分析】（1）根据，可得，再由，求得；
（2）根据向量的表示法进行求解即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质和向量的表示，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
考点十二 向量的线性运算（共5题）
1．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知，，且与的方向相反，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面向量的线性运算．由与的方向相反，且，，可得和的关系．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与的方向相反，
∴．
故选：B．
2．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在四边形中，如果，那么四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】D
【分析】本题考查了向量计算，四边形形状的判定，正确进行向量化简是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
对边平行，但不相等，
故四边形是梯形；
∵，
∴，
故对角线，
故四边形是等腰梯形，
故选：D．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，点在边上，，，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面向量，解题的关键是注意平行四边形法则与数形结合的应用．先利用平行四边形法则求出，再由，求出，再根据，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
4．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在梯形中，，点E是的中点，，设，，那么 ．（用、表示）
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，向量的运算，根据题意证明四边形为平行四边形，得到，，进而得到，即有，，最后根据即可解题．
【详解】解：，，
四边形为平行四边形，
，，
点E是的中点，
，
，，
，，
，
故答案为：．
5．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，连接，．
(1)填空： ； ；
(2)在图中求作：．（不要求写作法，但要写出结论）
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了平面向量，三角形法则；
（1）利用三角形法则和多边形法则求解即可；
（2）作交于T，连接即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）如图，作交于T，连接，则即为所求．
