2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量与满足，且与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为( )
A.
B.
C.
D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.庑殿顶是中国古代殿宇建筑屋顶的常见样式，屋顶包含一条正脊、四条垂脊，四个屋顶面已知南开中学午晴堂侧楼屋顶为庑殿顶样式，整个屋顶长，宽，正脊长，四个屋顶面坡度均为：，其中坡度是指坡面的垂直高度和水平宽度的比值，则午静堂侧楼屋顶面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知圆台，为上底面圆的一条直径，且，是下底面圆的一条弦，，矩形的面积等于，则该圆台的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，在上的投影向量的模长为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 对于平面，，，，，，若，则
B. 对于平面和直线，，若，，则
C. 对于平面，和直线，，若，，，则
D. 对于平面，和直线，若，，，则
10.已知圆：，圆心关于直线：对称点为，，为圆上两点，且满足，点为坐标原点，则下列正确的是( )
A. ， B. 轴与圆相切
C. 线段的中点轨迹为圆 D. 的最大值为
11.如图，棱长为的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与平面所成角为，则的取值范围是
C. 设平面，则三棱锥的体积为
D. 以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：和直线：垂直，则实数 ______．
13.已知中，角，，的对边分别为，，，为线段的中点，，则 ______．
14.已知三棱锥中，，，，三棱锥的体积为，则当取最小值时，三棱锥外接球的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知圆：满足：，；与圆：外切；被直线分成两段圆弧，其弧长的比为：．
求圆的方程；
若直线与圆相交于，两点，四边形为平行四边形，求直线的方程．
18.本小题分
已知在平行四边形中，是边上一点，且满足，，．
求的大小；
现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且如图：
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，为的中点，点在平面内的射影为点，且．
求证：；
当为等边三角形时，求点到平面的距离；
若，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，平面与平面夹角的大小为，求实数的值．
参考答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11.
12..
13..
14..
15..解：因为，
由正弦定理可得，
在中，，
可得，
又因为，
可得，
又因为，
所以；
，，
由正弦定理可得，
即，
因为，
所以角为锐角，
所以，
所以，
所以．
16..证明：取的中点，连接，，
又因为，分别是，的中点，
可得，，
平面，平面，
所以平面；
同理可得平面，
，
所以平面平面，
而平面，
所以平面；
解：取的中点，连接，，，
可得，且，
所以与所成的角等于异面直线与所成的角，
而或其补角为与所成的角，
因为，，
可得，
所以，
所以，，
直棱柱中可得平面，而平面，
所以，而，
所以平面，
而平面，
所以，
所以，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17..解：如图所示，与圆交于，，过作垂直于于点．
由于：，配方得则圆心为，半径．
：，圆心为，半径由于圆与圆外切，则．
圆被直线分成两段圆弧，其弧长的比为：则，
则，与联立方程，
解得因此，则圆的方程为：；
直线与圆相交于，两点，四边形为平行四边形，则则，
则直线设为：，即四边形为平行四边形，则．
过作于点，由垂径定理得，
则，
运用点到直线的距离公式得到，则，
解得，
则直线的方程为：，
即或．
18..解：根据题意，设，，则，，
由，所以，
且，，
所以，
所以，
则，
在中，，
即，
所以，
即，
可得，
化简得，
因为，
所以，
即．
证明：根据，，即，，
则，又，，，平面，
所以平面，平面，则，
又，，，平面，
所以平面，平面，则，
由，即，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，
取，则，，
所以，
又因为平面的法向量，
则，
令，则，，
故，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
19..解：证明：平面，平面，，，
，平面，
平面，．
作，，垂足分别为，，连接，，
若为等边三角形，则为中点，
平面，平面，则，
，平面，
平面，，
对于平面四边形，以为坐标原点，为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
设，则，，
若，则，，
为中点，，则，即，
由，，可知直线：，且，
设，则，
由，得，
解得，即，
则，，
三棱锥的高，
在中，边的高，
设点到平面的距离为，
由，可得，
解得，
点到平面的距离为．
由题意可知，，
由可知点在直线上，
结合中数据可得：
，，
在中，由余弦定理得：
，
设的外接球半径为，则，
设三棱锥的外接球半径为，
则
，
，
当时，取到最小值，
即外接球表面积取到最小值，
此时，
由可设，，则，
解得，即，可知，且，，，
过作，垂足为，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
，平面，
平面，，
平面与平面夹角的大小为，
则，
可得，
结合的面积可得，
则，
解得，且，
解得，
．
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