2.4.1函数的奇偶性——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

2.4.1函数的奇偶性
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.若函数为偶函数，且在上是减函数，又，则的解集为( )
A. B.
C. D.
2.函数在R上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知函数在R上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
5.函数是定义在上的偶函数，则( )
A. B. C.0 D.1
6.已知是定义在R上的奇函数,当时,为减函数,且,那么不等式的解集是( ).
A. B. C. D.
7.“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）对于任意的，表示不超过x的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是( )
A.函数，的图象关于原点对称
B.函数，的值域为
C.对于任意的x，，不等式恒成立
D.不等式的解集为
10.（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则( )
A.的图象关于直线对称 B.在上是增函数
C.在上是减函数 D.
11.已知定义R上的偶函数,当时,,则_____.
12.已知为奇函数，则________.
13.设是定义在R上的奇函数，当时，，则_________.
14.已知是定义在R上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在R上的解析式；
（2）若在上有最大值，求实数b的取值范围.
15.判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意画出符合条件的函数图象：
函数为偶函数，转化为，由图得，当时，，则；当时，，则；综上得，的解集是：，故选C.
2.答案：D
解析：由函数为奇函数，得，故不等式即为，又在R上单调递减，所以，即.
3.答案：D
解析：因为函数为奇函数，所以.由，得.又函数在R上单调递减，所以，解得.
4.答案：B
解析：因为，，，
所以为奇函数，
当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确.
故选：B.
5.答案：B
解析：由偶函数的定义，知关于原点对称，所以，解得.又为偶函数，所以，故，所以.
6.答案：D
解析：因为函数是定义在R上的奇函数,则,
当时,为减函数,所以函数在上是减函数,又因为,所以,
又不等式等价于或,
所以或,即不等式的解集为.
故选:D.
7.答案：A
解析：若函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，且，
所以，所以是偶函数；
设函数，则，，，
所以是偶函数，但不是奇函数，
故“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件.
故选：A.
8.答案：B
解析：因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称.因为函数是奇函数，所以，则，即，所以，且函数的图象关于点对称.又，则，所以，所以.又函数的图象关于直线对称，所以，故选B.
9.答案：BD
解析：本题考查函数的图象与性质.由于的定义，可知函数，的图象关于点对称，但不是中心对称图形，故A错误;
由于的值域为，故B正确;
当时，，故C错误;
由得，故，故D正确.
故选：BD
10.答案：AD
解析：
A √ 因为，所以函数的图象关于直线对称.
B × 由偶函数在对称区间上的单调性相反，得在上是减函数.
C × 因为函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，所以在上是增函数.
D √ 由，得，所以，，所以.
11.答案：
解析：由偶函数性质得.
故答案为:
12.答案：-6
解析：因为为奇函数，所以，
即，
所以，，故，
即.
故答案为：-6
13.答案：
解析：因为当时，，
所以，
又因为是定义在R上的奇函数，
所以，
故答案为：.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）令，则.所以.
又是定义在R上的奇函数，所以，且.
所以.
（2）结合（1）的结论，作出函数的图象如下：
当时，，所以，在区间上有最大值，满足题意；
当时，，在区间上无最大值，不满足题意；
当时，易得，在区间上有最大值，满足题意.
综上，实数b的取值范围为.
15.答案：（1）奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）奇函数
解析：（1）由得且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，
所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个x，都有，
所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）方法一：函数的定义域为R，定义域关于原点对称.
①当时，，所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
方法二：作出函数的图象，如图所示，得该函数为奇函数.