2.4.2简单幂函数的图象和性质——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

2.4.2简单幂函数的图象和性质
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.下列函数中,即是偶函数又在单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. B.1 C. D.2
3.设，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图像过点,则下列结论正确的是( )
A.的定义域为 B.在其定义域内为减函数
C.是偶函数 D.是奇函数
6.下列函数中，其图像如图所示的函数为( )
A. B. C. D.
7.已知幂函数在上单调递增,不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知幂函数的图象经过点,下面给出的四个结论:
①;
②为奇函数;
③在R上单调递增;
④,其中所有正确命题的序号为( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①②③
9.（多选）已知幂函数，其中a，，则下列说法正确的是( )
A. B.若时，
C.若时，关于y轴对称 D.恒过定点
10.（多选）已知幂函数的图象与x轴和y轴都没有交点,且关于y轴对称,则m的值可以为( )
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
11.已知函数是幂函数，则m的值为__________.
12.已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是_________.
13.已知幂函数的图象经过点，且满足条件，则实数a的取值范围是__________.
14.已知幂函数在上为减函数.
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
15.已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求m的值，并写出的解析式；
（2）令，，求的值域.
答案以及解析
1.答案：B
解析：A选项：函数为奇函数,故A错;
B选项：函数的定义域为R,且,所以函数为偶函数,当时,,单调递增,故B正确;
C选项：,所以函数非奇非偶,故C错.
D选项：定义域为,不关于原点对称,所以函数非奇非偶,故D错.
故选：B.
2.答案：A
解析：幂函数的图象经过点，
，解得，，
.
故选：A.
3.答案：C
解析：由函数单调递增可知，若，则；由函数单调递增可知，若，则.故“”是“”的充要条件，故选C.
4.答案：D
解析：设，因为的图象经过点，所以，即，解得，则，则的定义域为，所以排除B，C.因为，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A.
5.答案：B
解析：设,代入点 可得,所以,所以,
对于A:函数的定义域为,所以A错误;
对于B:因为, 所以在 内单调递减, B正确;
对于C:因为的定义域为,所以不是偶函数,C错误;
对于D:因为的定义域为,所以不是奇函数,D错误,
故选：B.
6.答案：A
解析：由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减，
对于A，，定义域为，，
所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确；
对于B，，定义域为R，故B错误；
对于C，，定义域为R，故C错误；
对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误.
故选：A.
7.答案：B
解析：因为函数为幂函数,所以,解得或,又幂函数在上单调递增,
所以,此时在R上单调递增,
因为,所以,解得或,
所以不等式的解集为,
故选:B.
8.答案：B
解析：对于①:由幂函数的定义可知,解得,
将点代入函数得,解得,
所以,故①错误;
对于②:因为定义域为R,且,
所以为奇函数,故②正确;
对于③:由幂函数的图象可知,在R上单调递增,故③正确;
对于④:因为,且在R上单调递增,所以,故④错误,
综上可知,②③正确,①④错误.
故选:B.
9.答案：BC
解析：对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的；
对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的；
对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的；
对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的；
故选：BC.
10.答案：ABD
解析：幂函数的图象与x轴、y轴没有交点,且关于y轴对称,
,且为偶数,
由,得,又,,0,1,2,3.
当时,,为偶数,符合题意;
当时,,为奇数,不符合题意;
当时,,为偶数,符合题意;
当时,,为奇数,不符合题意;
当时,,为偶数,符合题意．
综上所述,,1,3.
故选：ABD.
11.答案：或4
解析：由题意知，，解得或.
故答案为：或4.
12.答案：
解析：，
幂函数为奇函数，且在上递减，
是奇数，且，.
故答案为：.
13.答案：
解析：设，则，，即，，，.
14.答案：（1）
（2）奇函数，其单调减区间为，
解析：（1）由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2），要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，
故其单调减区间为，.
15.答案：（1），
（2）
解析：（1）因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以，.
（2），.
①当时，在上单调递减，
所以，，此时；
②当时，，
设，，可得，
，此时，
综上，的值域为.