4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A. B. C. D.
2.下列函数增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，，，在区间上一定存在，当时( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( ).
A. B. C. D.
5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是( )
A. B.
C.（，，且） D.（，，）
6.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据.
第x天 1 2 3 4 5
被感染的计算机数量y（台） 10 20 39 81 160
则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第x天被感染的数量y与x之间的关系的是( )
A. B. C. D.
7.已知,,,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
8.以下四种说法中，正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的，
C.对任意的，
D.不一定存在，当时，总有
9.（多选）设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )
A.的增长速度最快, 的增长速度最慢
B.的增长速度最快, 的增长速度最慢
C.的增长速度最快, 的增长速度最慢
D.的增长速度最快, 的增长速度最慢
10.（多选）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )
A.随着x的逐渐增大，增长速度越来越快于
B.随着x的逐渐增大，增长速度越来越快于
C.当时，增长速度一直快于
D.当时，增长速度有时快于
11.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到下面的试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①；②；
③；④.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_________.
12.某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过______年.（参考数据：取，）
13.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间x()的函数关系式分别为，，，，有以下结论：
①当时，甲在最前面；
②当时，乙在最前面；
③当时，丁在最前面，当时，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲.
其中正确结论的序号为__________.
14.为响应“湘商回归,返乡创业”的号召,某企业回永州投资特色农业,为了实现既定销售利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金额y(单位:万元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象接近如图所示,现有以下三个函数模型供企业选择:①
②
③
（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
（2）根据你在（1）中选择的函数模型,如果总奖金不少于6万元,则至少应完成销售利润多少万元
15.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型:①,
②,
③,.试分析这三个函数模型是否符合公司要求
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元
答案以及解析
1.答案：D
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
2.答案：A
解析：结合函数，，，的图像可知，随着x的增大，函数的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，的增长速度不变，故本题选A.
3.答案：A
解析：由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小，
即在区间上一定存在，当时，，故选A.
4.答案：A
解析：易知在区间上，当时，，即；当时，，即；当时，，即.又当时，，据此可知只有A符合条件.
5.答案：C
解析：由散点图的连线是曲线可知，B选项不符合题意；对于A选项，因为A中的函数是二次函数，其图象对称轴为y轴，与题中图象不符，故排除A；对于D选项，D中的函数图象过定点，且必穿过x轴，D选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象，故选C.
6.答案：D
解析：对于A选项，当时，对应的y值分别为10，20，30，40，50；对于B选项，当时，对应的y值分别为10，20，40，70，110；对于C选项，当时，对应的y值分别为10，20，，30，；对于D选项，当时，对应的y值分别为10，20，40，80，160，而表中所给的数据，当时，对应的y值分别为10，20，39，81，160，通过比较，发现选项D中y的值与表格中y的值误差最小，即能更好地反映y与x之间的关系.故选D.
7.答案：B
解析：由函数性质可知，在内，指数函数增长速度最快，对数函数增长速度最慢，所以.故选B.
8.答案：D
解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B、C，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.
9.答案：ACD
解析：画出函数,,的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数,,中,
当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.
所以选项B正确;选项ACD不正确.
故选：ACD.
10.答案：BD
解析：在同一坐标系内画出函数，，的图象，如图所示：
对于A，随着x的逐渐增大，增长速度不是越来越快于，故A错误；
对于B，随着x的逐渐增大，增长速度越来越快于，故B正确；
对于C，当时，增长速度不是一直快于，故C错误；
对于D，当时，增长速度有时快于，故D正确；
故选BD.
11.答案：④
解析：根据表格画出图象,由图分析增长速度的变化,可知试验数据符合对数函数模型,故选④.
12.答案：12
解析：假设该林区当前的木材蓄积量为1，经过x年的木材蓄积量为.由题意得，得.因为，所以，故至少需要经过12年.
13.答案：③④⑤
解析：路程关于时间x()的函数关系式分别为，，，.
它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.
当时，，，则①不正确；
当时，，，则②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，画出四个函数的图象(图略)，可知当时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而当时，丁在最前面，当时，丁在最后面，则③正确；
结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能在最前面，也不可能在最后面，则④正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，若运动的时间足够长，则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，则⑤正确.
14.答案：（1）③,理由见解析
（2）72万元
解析:（1）对于模型①,,图象为直线,故①错误,
由图可知,该函数的增长速度较慢,
对于模型②,指数型的函数是爆炸型增长,故②错误,
对于模型③,对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选项模型③,
（2）由（1）可知,选项模型③,所求函数过点,,
则,解得,,
故所求函数为,
,即,
,
,
至少应完成销售利润72万元.
15.答案：（1）见解析;
（2）投资收益至少要达到万元
解析：（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数,
在且对,恒有且.
①对于函数,当时,,不符合要求;
②对于函数为减函数,不符合要求;
③对于函数在,
显然为增函数,且当时,;
又因为;
而,所以当时,.
所以恒成立;
因此,为满足条件的函数模型.
（2）由得:,所以,
所以公司的投资收益至少要达到8000万元.