5.2实际问题中的函数模型——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

5.2实际问题中的函数模型
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于t的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
2.德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的( )
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
3.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I（单位：A）与电线半径r（单位：mm）的三次方成正比.若电流通过半径为的电线时，电流强度为，则电流通过半径为的电线时，电流强度为( )
A. B. C. D.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
5.设在海拔处的大气压强是yPa,y与x之间的函数关系为,其中c,k为常量.已知海平面处的大气压强为,在高空处的大气压强为,则在高空处的大气压强约为(参考数据：)( )
A. B. C. D.
6.我国的5G通信技术领先世界，技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式，其中W是信道带宽，S是信道内所传信号的平均功率（W），N是信道内部的高斯噪声功率（W），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至，使得C大约增加了，则的值大约为（参考数据：）( )
A.1559 B.3943 C.1579 D.2512
7.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
8.指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计 物理学 生物学 人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数I随时间x（单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：，其中，k为常数，为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了，则感染人数累计增加需要的时间大约为( )（参考数据：，，，）
A.10.5天 B.9天 C.8天 D.6天
9.（多选）某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)满足函数关系(,k,b为常数).若该食品在的保鲜时间是120小时,在的保鲜时间是30小时,则关于该食品保鲜的描述正确的结论是( )
A.
B.储存温度越高保鲜时间越长
C.在的保鲜时间是60小时
D.在的保鲜时间是20小时
10.（多选）边际函数是经济学中的一个概念，在工程、技术、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产75台机器，生产x台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为（单位：元），则以下说法正确的是( )
A.取得最大值时每月产量为53台
B.边际利润函数的表达式为
C.利润函数与边际利润函数具有不同的最大值
D.边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
11.牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用.（参考数据：，）
12.某医用放射性物质原来的质量为a，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用的时间是10年.已知到今年为止，剩余的质量为原来的，则该放射物质已经衰减了__________年.
13.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为.
（1）如果不限定车型，，则最大车流量为__________辆/小时；
（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加_________辆/小时.
14.某单位决定，住公房的职工必须以基本工资为基数交纳一定比例的建房公积金，办法如下表.
每月基本工资 建房公积金
1000元以下 不交纳
1000元至2000元（不含2000元） 交纳超过1000元部分的
2000元至3000元（不含3000元） 1000元至2000元部分交纳 2000元至3000元部分交纳
3000元及以上 1000元至2000元部分交纳 2000元至3000元部分交纳 3000元以上的部分交纳
（1）设职工每月基本工资为x元，交纳建房公积金后实得y元，求y与x之间函数的关系式；
（2）张某的月基本工资为2400元，则他应交纳多少建房公积金？
15.如图，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH绿地，使其四个顶点分别落在矩形ABCD的四条边上.已知，，且，设，绿地EFGH的面积为y.
（1）写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域.
（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？并求出最大值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意可设比例系数为k，所以，，
，，
当时，，
故选：D
2.答案：B
解析：设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为，则，，且
得：，
所以，，即：.
故选：B.
3.答案：D
解析：由已知，设比例系数为k，则.
由题意，当时，，故有，解得，
所以.
故当时，（A）.故选D.
4.答案：C
解析：由，得，则，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
5.答案：A
解析：依题意得,
,因此,
因此当时,,
故选：A.
6.答案：C
解析：由题意得，则，，.故选C.
7.答案：B
解析：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以.
故选：B.
8.答案：B
解析：当时，感染人数累计增加了，则，所以，
则，所以，
所以感染人数累计增加可得，则，
此时，所以，
故感染人数累计增加需要的时间大约为9天.
故选：B.
9.答案：AC
解析：因为在的保鲜时间是120小时,在的保鲜时间是30小时,
所以易知是减函数,结合复合函数的单调性可知,A正确,
则储存温度越高保鲜时间越短,B错误;
由题可知,,
则,故,
故,C正确,
,D错误,
故选:AC.
10.答案：BCD
解析：
A × ，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，所以取得最大值时每月产量为53台或54台.
B √ .
C √ ，因为函数为减函数，所以.
D √ 因为函数为减函数，所以边际利润函数随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.
11.答案：188
解析：设经过x个周期后细菌含量超标，
即，即，
所以，
而，因此经过188分钟就不宜再饮用.
故答案为：188.
12.答案：5
解析：设衰减的百分比为x，，由题意知，，解得，设经过m年剩余的质量为原来的，则，即，解得.
13.答案：（1）1900
（2）100
解析：（1）当时，，
，
当且仅当，即时取等号.
最大车流量F为1900辆/小时.
（2）当时，，
，
当且仅当，即时取等号.
最大车流量比（1）中的最大车流量增加（辆/小时）.
14.答案：（1）
（2）90元
解析：（2）当时，，
即应交纳建房公积金90元.
15.答案：（1），定义域为
（2）当，时，绿地面积最大，最大值为；当，时，绿地面积最大，最大值为
解析：（1）由题意，得，，
所以.
由，得.
故，定义域为.
（2）.
若且，即，则当时，；
若，即，则在上单调递增，则当时，.
综上所述，当，时，绿地面积最大，最大值为；当，时，绿地面积最大，最大值为.