2023-2024学年重庆八中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆八中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，，若四边形为平行四边形，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.若，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在中，，则中最小的边长为( )
A. B. C. D.
4.已知向量与的夹角为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点设，其中为坐标原点，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为复数，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若是实数，则为纯虚数
10.已知内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为若，且，则( )
A. 面积的最大值为 B.
C. 边上的高的最大值为 D.
11.在正四棱台中，，下列说法正确的是( )
A. 若侧棱长为，则该棱台的体积为
B. 若正四棱台的各顶点均在一个半径为的球面上，则该棱台的体积为
C. 若正四棱台内部存在一个与棱台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为
D. 若侧棱长为，为棱的中点，过直线且与直线平行的平面将棱台分割成体积不等的两部分，则其中较小部分的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则 ______．
13.一个圆锥的母线长为，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为______．
14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图，类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点．
证明：面；
求二面角的正弦值．
16.本小题分
已知，．
若且，求在方向上的投影向量；
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调区间；
若，，求的值．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，，，将沿折起，形成如图所示的三棱锥，且．
证明：面；
在三棱锥中，点，，分别为线段，，的中点，设平面与平面的交线为．
证明：；
若为上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
在中，角，，对应的边分别为，，若，，是内任一点，过点作，，的垂线，垂足分别为，，．
求；
若为的内心且，求线段的长度；
法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用借助三维分式型柯西不等式：若，，，则，当且仅当时等号成立求的最小值．
参考答案
1..
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5..
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7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：证明：设，连接，，，
因为，分别为，的中点，则，且，
又因为，且，则为平行四边形，
可得，且，
因为为的中点，则，且，
可得，且，
可知为平行四边形，则，且平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
则，且，
又因为，且，则，且，
可得为平行四边形，可知平面即为平面，
过作，垂足为，过作，交于点，连接，
因为平面，平面，
则，且，，平面，则平面，
由平面可得，
又因为平面，平面，
则，且，可得，
且，，平面，
则平面，
由平面可得，
可知二面角的平面角为，
在中，则，可得，
所以，
因为，则，
在中，
可得，
由题意可知：为平行四边形，
则，
在中，则，
可得，
所以二面角的正弦值为．
16..解：因为，，所以，
所以，解得或，又，
所以，所以，
设向量与的夹角为，与同向的单位向量为，
则，
因为，所以，
所以在方向上的投影向量为，
当时，，解得或，
当时，，，此时与反向，夹角为，
当时，，此时与同向，
因为与的夹角为钝角，所以，
即，解得，
综上所述：当与的夹角为钝角时，的取值范围是．
17..解：
，
函数的最小正周期为，
令，
解得，
所以函数的单调增区间是，
令，
解得，
所以函数的单调减区间是．
由得，
则，
因为，
所以，，
所以
．
18..证明：在中，，
在中，由余弦定理得，即，
因为，则，，
可得，，
因为，，平面，
所以平面．
因为点，分别为线段，的中点，
则，且，
由平面，平面，
得平面，
又因为平面，
且平面平面，
所以．
解：因为，且平面，平面，
可知，则平面，
规定点为起点，方向为正方向，设，
过点作平面平面，如图所示：
可知：直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设为，
则，，，
可得，，，
在中，，且，
则，
设点到平面的距离为，因为，
则，
解得，则，
，则，则，
若，则；
若，则，
所以，即时，取到最小值，取到最大值，
综上所述：直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19..解：因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
且，则，可得，
又，所以．
因为，，，
由余弦定理可得，
，解得，
若为的内心，则，
由面积可得：，
即，解得．
由题意可得：，
因为，即，
整理可得，
由三维分式型柯西不等式可得：
，
当且仅当，即时，等号成立，
由可得：，即，
整理可得，
则．
令，则，
因为，解得，当且仅当时，等号成立，
则，则，
令，
则在上单调递减，
当，即时，有最大值，
所以的最小值为．
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