2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省通化市梅河口五中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只需要把函数图象( )
A. 先将横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位
B. 先将横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位
C. 先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变
D. 先向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变
4.已知为等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.函数在上的值域为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知，则( )
A. B. C. D.
11.若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则 ______．
13.已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为______．
14.将，，，，，六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是椭圆的两点，的中点的坐标为．
求直线的方程；
求，两点间距离．
16.本小题分
某乒乓球训练机构以训练青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置称为“准点球”，在每周末，记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比，学员已经训练了年，如表记录了学员最近七周“准点球”的百分比：
周次
若．
根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；
若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱精确到
求关于的回归方程，并预测第周“准点球”的百分比精确到
参考公式和数据：
，，，，，，，，．
17.本小题分
已知各项均不为零的数列满足：，．
证明是等差数列，并求的通项公式；
记数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形．
证明：平面平面；
若，，是棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，且的极值点为．
求；
证明：；
若函数有两个不同的零点，，证明：．
答案解析
1..
【解析】解：由题意，．
故选：．
2..
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
3..
【解析】解：为了得到函数的图象，只需要把函数图象，先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的纵坐标不变，故C、错；
也可以先将横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位，故A错误，B正确．
故选：．
4..
【解析】解：由等差数列的性质可得：，
则．
故选：．
5..
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
6..
【解析】解：依题意，，
令，
因为，
所以，
故．
故当时，有最大值，当时，有最小值，
故所求值域为．
故选：．
7..
【解析】解：的图象在处的切线方程为，
则，，
当时，，，
因为是奇函数，图象关于原点对称，
的图象在处及处的切线也关于原点对称，
所以，，
即，所以，，．
故选：．
8..
【解析】解：，，，
，
因为，所以，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
所以．
故选：．
9..
【解析】解：若，即时，此时集合中的元素为，，，满足题意，
若，即时，，不满足集合中元素的互异性，
若，即，
当时，此时集合中的元素为，，满足题意，
当时，此时集合中的元素为，满足题意．
故选：．
10..
【解析】解：因为，所以．
故选：．
11..
【解析】解：由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：，，．
故选：．
12..
【解析】解：向量，则，
，
故，解得．
故答案为：．
13..．
【解析】解：由题意得，
则，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
14..
【解析】解：因为，所以第一列的数字之和必然小于．
当第一列的数字之和小于，即第一列的数字为，或，或，或，时，均有种不同的排法．
当第一列的数字之和等于，即第一列的数字为，或，时，均有种不同的排法．
当第一列的数字之和等于，即第一列的数字为，或，时，均有种不同的排法．
又将，，，，，六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复的总排法总数为种，
故结合古典概型的概率公式，可得第一列的数字之和最小的概率为．
故答案为：．
15..解：由题意知直线的斜率存在，设为，
则直线的方程为，即，
设，，
联立，
得
则，
解得，
经检验符合题意，则直线的方程为，即．
由得联立后的方程为，
所以，，
所以．
【解析】根据题意，设直线方程为，联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理即可得到，从而得到直线方程；
根据，由韦达定理可得，，结合弦长公式代入计算，即可得到结果．
16..解：依题意，
又，所以与线性相关性很强．
依题意，
所以，
所以，
又，所以，
当时，，
所以预测第周“准点球”的百分比为．
【解析】结合相关系数的公式，求解即可；
结合最小二乘法，求出线性回归方程，再将代入线性回归方程，即可求解．
17..证明：因为，故由，
可得，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故．
，
所以
，
易知在时是递增的，
所以，
因此．
【解析】通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解通项公式；
通过裂项法求解，并结合数列的单调性求证不等式．
18..解：证明：因为平面，平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
在平面内，过点作的垂线交于点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，因为，所以是等边三角形，
故是的中点，于是，
因为是棱上靠近点的三等分点，所以，
故，
所以，
记平面的法向量为，
则
令，则，
即．
易知平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】由平面，得，再由四边形为菱形，得，然后利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；
在平面内，过点作的垂线交于点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
19..解：由，
则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以为的极大值点，即．
证明：由知，，
要证，只需证，即，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，所以．
因为，是的两个不同的零点，
所以，
两式相减并整理，得．
设，由知，
所以要证，只需证，即证．
设，下面只需证，
设，则，
所以在上单调递增，从而，
所以成立，从而．
【解析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的定义即可求解；
由知，要证只需证设，利用导数研究函数的单调性，得，即可证明；
由零点的定义可得，由，只需证，即证设，结合换元法，只需证，利用导数证得即可．
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