初中数学北师大版（2024）九年级下册1.1锐角三角函数教学设计
文档属性
| 名称 | 初中数学北师大版（2024）九年级下册1.1锐角三角函数教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-22 22:36:41 | ||
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文档简介
锐角三角函数（第1课时）
课时教学内容
锐角正切函数的概念
课时教学目标
1.课时目标
（1）让学生经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，探索直角三角形中边角关系的过程，体会现实生活与数学的联系。
（2）经历正切概念建立的过程，理解锐角正切三角函数的意义，结合图形能进行简单的计算，体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想和方法分析和解决问题，发展几何直观和空间观念。
（3）经历探索 30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，并能进行含有30°，45°，60%角的三角函数值的计算，发展逻辑推理能力和运算能力。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过对实际问题分析，抽象出直角三角形中边角关系，利用锐角正切函数解决问题。
达成目标（2）的标志是：通过对数学问题的分析，能够根据正切概念，画出图形，进行正确计算。
达成目标（3）的标志是：探索 30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够正确推理和计算出特殊的正切值，并且能够运用特殊值进行正确的运算。
课时教学重点
理解正切的概念，.运用特殊值进行正确的运算。
课时教学难点
抽象得到正切概念的过程．
教学过程
问题1：研究几何图形的性质就是研究几何图形要素（边和角）的关系，我们已经学习过三角形和直角三角形，请同学们从三角形的边与角的关系出发，回忆三角形和直角三角形具有哪些性质呢？
师生活动：学生独立思考、互助交流后，教师引导，让学生分别从角的关系、边的关系、边角关系三个方面进行梳理：从角的关系梳理，可以得出三角形的三个内角为180°，直角三角形的两锐角互余；从边的关系梳理，可以得出了三角形的两边之和大于第三边，直角三角形特有的边的关系－一勾股定理。从边角关系梳理，得出了在三角形中大角对大边、小角对小边，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。最终引导学生形成下列知识结构图。
设计意图：通过问题的设置，将本节课研究的边角关系的问题，置于三角形的性质整体知识结构体系中，实现上联知识结构的目的，帮助学生把握数学知识本质。
问题驱动，提出研究内容
问题2：梯子是我们日常生活中常见的物体.
(1)如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
设计意图：让学生感受“直角三角形中边角之间的关系在解决现实问题中有着重要的作用”，引出学习本课题的实际意义。
探寻锐角的正切概念
观念引领，有向探究
问题3：研究几何图形的性质就是研究几何图形要素（边和角）的关系，本节课我们从边角关系去探究直角三角形的性质，就是研究边角的位置关系和数量关系。如图3，在Rt△ABC中，从位置关系看，∠A和边有怎样的关系呢？
引导学生得出：BC是∠A的对边，AC是∠A的邻边，AB是直角三角形的斜边。
追问：“你能说出∠B的对边、邻边吗？”
师生活动：让学生独立完成后互助交流，帮助学生复习、巩固直角三角形的锐角的对边和邻边。
追问：“从数量关系上看，∠A的大小与边之间有什么关系呢？”
师生活动：教师抛出问题，引发学生思考，此问题对于学生来说有一定的难度，教师在学生充分思考后，可以引导学生，并追问：“探寻几何图形的性质基本路径就是从特殊到一般，刚才我们已经利用直角三角形的边角的特例关系：30°所对的直角边等于斜边的一半，即.根据此定理，你还能得出30°的角与边之间什么关系吗？”
设计意图：将研究的课题置于三角形边角关系的大背景下，引导学生发现问题和提出问题，帮助学生构建研究框架。
特例入手，获得结论
问题4：如图4，在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°时，操作并思考。
观察：找出∠A和∠B的对边、邻边。
计算：求出∠A和∠B对边与邻边的比值。
确认：比值与直角三角形的大小有关系吗？
结论：请完整叙述你的发现。
合情推理，形成猜想
问题5：你能由此得出更一般的结论吗？
学生经历独立画图思考、交流互助、教师点拨后，得出：在直角三角形中，当一个锐角确定时，无论直角三角形大小如何，这个锐角的对边和邻边的比值是一个固定的常数。教师利用几何画板展示“一个锐角确定后连续变化的直角三角形”，让学生清楚看到一个锐角确定后其对边和邻边的比值是固定不变的。
设计意图：引导学生在特例中获得合情推理，进一步提出一般化猜想，培养学生合情推理能力。
演绎推理，证明猜想
问题6：你能证明这种比值固定，与直角三角形的大小无关吗？请尝试完成习题。
设计意图：通过命题的证明，帮助学生明确锐角正切函数本质是相似三角形性质进一步推广与应用，发展学生逻辑推理能力。
3 锐角正切函数的概念
在Rt△ABC中，∠A的对边与邻边的比值由∠A大小唯一确定，那么我们就可以定义这种关系：
正切的表示一般有三种形式：tanA，tan∠BAC，tan30°
师生活动：教师出示锐角正切的概念，组织学生自学，并且同桌互助、指图练习tanA和tanB的对应的两条边的比。
设计意图：明确锐角正切函数的概念，包括定义、三种表示形式。
4.巩固练习
4.1 概念辨析
①下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
4.2概念应用
②在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA= ，求AC和tanB.
师生活动：在学生独立思考后，教师出示答案，组织学生同桌互助说理。
设计意图：让学生在独思、互助练习中，巩固对正切概念的正确理解。
5.解决问题
如图,某人从山脚下的点A走了100m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是50m,求山坡的坡度.
师生活动：学生先充分独立思考，教师出示答案后，组织学生互助、交流解决问题的思路和方法，最后让学生展示分享、动笔整理。
设计意图：回归课始提出的问题，让学生学以致用，加深对正切概念的理解，利用正切概念解决直角三角形的度量问题，发展学生的数学抽象和应用意识。
6课堂小结
问题8：请回顾我们是怎样探索直角三角形的边角关系的？运用了那些思想方法？
问题9：展望一下，我们下一节课将要研究边角的什么关系？应该如何去研究？
师生活动：先让学生独立尝试构建，再互助交流，展示说理，最后在教师的引导下形成知识框架图。
设计意图：梳理本节课的研究路径，展望下一节将要探究的内容，让本节课知识具有生长性和延伸性，形成单元结构知识体系。
课时教学内容
锐角正切函数的概念
课时教学目标
1.课时目标
（1）让学生经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，探索直角三角形中边角关系的过程，体会现实生活与数学的联系。
（2）经历正切概念建立的过程，理解锐角正切三角函数的意义，结合图形能进行简单的计算，体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想和方法分析和解决问题，发展几何直观和空间观念。
（3）经历探索 30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，并能进行含有30°，45°，60%角的三角函数值的计算，发展逻辑推理能力和运算能力。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过对实际问题分析，抽象出直角三角形中边角关系，利用锐角正切函数解决问题。
达成目标（2）的标志是：通过对数学问题的分析，能够根据正切概念，画出图形，进行正确计算。
达成目标（3）的标志是：探索 30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够正确推理和计算出特殊的正切值，并且能够运用特殊值进行正确的运算。
课时教学重点
理解正切的概念，.运用特殊值进行正确的运算。
课时教学难点
抽象得到正切概念的过程．
教学过程
问题1：研究几何图形的性质就是研究几何图形要素（边和角）的关系，我们已经学习过三角形和直角三角形，请同学们从三角形的边与角的关系出发，回忆三角形和直角三角形具有哪些性质呢？
师生活动：学生独立思考、互助交流后，教师引导，让学生分别从角的关系、边的关系、边角关系三个方面进行梳理：从角的关系梳理，可以得出三角形的三个内角为180°，直角三角形的两锐角互余；从边的关系梳理，可以得出了三角形的两边之和大于第三边，直角三角形特有的边的关系－一勾股定理。从边角关系梳理，得出了在三角形中大角对大边、小角对小边，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。最终引导学生形成下列知识结构图。
设计意图：通过问题的设置，将本节课研究的边角关系的问题，置于三角形的性质整体知识结构体系中，实现上联知识结构的目的，帮助学生把握数学知识本质。
问题驱动，提出研究内容
问题2：梯子是我们日常生活中常见的物体.
(1)如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
设计意图：让学生感受“直角三角形中边角之间的关系在解决现实问题中有着重要的作用”，引出学习本课题的实际意义。
探寻锐角的正切概念
观念引领，有向探究
问题3：研究几何图形的性质就是研究几何图形要素（边和角）的关系，本节课我们从边角关系去探究直角三角形的性质，就是研究边角的位置关系和数量关系。如图3，在Rt△ABC中，从位置关系看，∠A和边有怎样的关系呢？
引导学生得出：BC是∠A的对边，AC是∠A的邻边，AB是直角三角形的斜边。
追问：“你能说出∠B的对边、邻边吗？”
师生活动：让学生独立完成后互助交流，帮助学生复习、巩固直角三角形的锐角的对边和邻边。
追问：“从数量关系上看，∠A的大小与边之间有什么关系呢？”
师生活动：教师抛出问题，引发学生思考，此问题对于学生来说有一定的难度，教师在学生充分思考后，可以引导学生，并追问：“探寻几何图形的性质基本路径就是从特殊到一般，刚才我们已经利用直角三角形的边角的特例关系：30°所对的直角边等于斜边的一半，即.根据此定理，你还能得出30°的角与边之间什么关系吗？”
设计意图：将研究的课题置于三角形边角关系的大背景下，引导学生发现问题和提出问题，帮助学生构建研究框架。
特例入手，获得结论
问题4：如图4，在Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°时，操作并思考。
观察：找出∠A和∠B的对边、邻边。
计算：求出∠A和∠B对边与邻边的比值。
确认：比值与直角三角形的大小有关系吗？
结论：请完整叙述你的发现。
合情推理，形成猜想
问题5：你能由此得出更一般的结论吗？
学生经历独立画图思考、交流互助、教师点拨后，得出：在直角三角形中，当一个锐角确定时，无论直角三角形大小如何，这个锐角的对边和邻边的比值是一个固定的常数。教师利用几何画板展示“一个锐角确定后连续变化的直角三角形”，让学生清楚看到一个锐角确定后其对边和邻边的比值是固定不变的。
设计意图：引导学生在特例中获得合情推理，进一步提出一般化猜想，培养学生合情推理能力。
演绎推理，证明猜想
问题6：你能证明这种比值固定，与直角三角形的大小无关吗？请尝试完成习题。
设计意图：通过命题的证明，帮助学生明确锐角正切函数本质是相似三角形性质进一步推广与应用，发展学生逻辑推理能力。
3 锐角正切函数的概念
在Rt△ABC中，∠A的对边与邻边的比值由∠A大小唯一确定，那么我们就可以定义这种关系：
正切的表示一般有三种形式：tanA，tan∠BAC，tan30°
师生活动：教师出示锐角正切的概念，组织学生自学，并且同桌互助、指图练习tanA和tanB的对应的两条边的比。
设计意图：明确锐角正切函数的概念，包括定义、三种表示形式。
4.巩固练习
4.1 概念辨析
①下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
4.2概念应用
②在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA= ，求AC和tanB.
师生活动：在学生独立思考后，教师出示答案，组织学生同桌互助说理。
设计意图：让学生在独思、互助练习中，巩固对正切概念的正确理解。
5.解决问题
如图,某人从山脚下的点A走了100m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是50m,求山坡的坡度.
师生活动：学生先充分独立思考，教师出示答案后，组织学生互助、交流解决问题的思路和方法，最后让学生展示分享、动笔整理。
设计意图：回归课始提出的问题，让学生学以致用，加深对正切概念的理解，利用正切概念解决直角三角形的度量问题，发展学生的数学抽象和应用意识。
6课堂小结
问题8：请回顾我们是怎样探索直角三角形的边角关系的？运用了那些思想方法？
问题9：展望一下，我们下一节课将要研究边角的什么关系？应该如何去研究？
师生活动：先让学生独立尝试构建，再互助交流，展示说理，最后在教师的引导下形成知识框架图。
设计意图：梳理本节课的研究路径，展望下一节将要探究的内容，让本节课知识具有生长性和延伸性，形成单元结构知识体系。