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专题三：一元二次方程的四种解法
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，计算错误率比较高，掌握一元二次方程的四种解法能灵活的解决各种题型。
1．解方程：
(1)（配方法）；
(2)（自选方法）
2．解方程：
(1)．
(2)
(3)
3．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
4．解方程：
(1)．（配方法）
(2)．
5．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
7．按要求解方程：
(1)（用因式分解法）；
(2) （用配方法）．
(3) （用公式法）．
8．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
9．解方程．
(1)（公式法）；
(2)（配方法）；
(3)（因式分解法）．
10．解方程：
(1)；
(2)．
11．用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法)
(2) (配方法)
(3) (公式法)
(4) (因式分解法)
12．解方程：
(1)；
(2)．
(3)．
13．用指定的方法解一元二次方程：
(1)；（配方法）
(2)．（公式法）
14．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
15．解方程：
(1)；（配方法）
(2)；
(3)；
(4)．
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专题三：一元二次方程的四种解法
【人教版】
本卷共含有15道题，此题型是一元二次方程章节常考的重难点题型，计算错误率比较高，掌握一元二次方程的四种解法能灵活的解决各种题型。
1．解方程：
(1)（配方法）；
(2)（自选方法）
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把原方程整理得到，再配方解方程即可；
（2）先利用平方差公式把原方程变形为，据此解方程即可．
【详解】（1）解：原方程整理得，
配方，得．
∴，或．
，．
（2）解：∵，
∴
∴，
∴或，
∴，．
2．解方程：
(1)．
(2)
(3)
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
因式分解得，，即，
∴或，
∴或．
（2）解：，
因式分解得，，即，
∴或，
∴或．
（3）解：，
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
∴或．
3．用公式法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)，
(3)方程无解
(4)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键．
（1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；
（4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵
∴，
∴，
∴原方程无解．
（4）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
4．解方程：
(1)．（配方法）
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，
（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用因式分解法求解即可；
熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，．
5．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）原方程系数化为1后，利用直接开平方法求解即可；
（4）原方程化简后，利用十字相乘法因式分解求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：原方程化简为，
∴，
解得，．
6．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)，
(3)无解
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法是解题的关键；
（1）直接利用因式分解法即可求解；
（2）左边先展开，再利用配方法求解即可；
（3）利用公式法求解；
（4）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
所以；
（2）解：；
展开，得：，
配方，得，
即，
两边开平方根，得：，
所以，；
（3）解：，
∵，
∴，
所以原方程无实数根；
（4）解：，
即，
或，
所以．
7．按要求解方程：
(1)（用因式分解法）；
(2) （用配方法）．
(3) （用公式法）．
【答案】(1)或
(2)，
(3)，
【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用十字相乘法进行因式分解解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得，，
∴或，
∴或．
（2）解： ，
∴，
配方得，，即，
开方得，，
∴，．
（3）解：，即，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
8．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程：
（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）先把分式方程化为整式方程，然后解方程，最后检验即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
解得，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
9．解方程．
(1)（公式法）；
(2)（配方法）；
(3)（因式分解法）．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)，．
【分析】本题考查解一元二次方程，
（1）根据公式法直接求解即可；
（2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解；
（3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】（1）解：，
，，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：
两边都除以2，得．
移项，得．
配方，得，
即，
开平方，得，
即，，
∴，．
（3）解：原方程可变形为．
∴．
∴，，
∴，．
10．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用因式分解法进行求解即可；
（2）利用公式法求解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
11．用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法)
(2) (配方法)
(3) (公式法)
(4) (因式分解法)
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1），
，
，
∴；
（2），
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
即；
（4），
，
，
∴．
12．解方程：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)无解
【分析】本题考查了解一元二次方程及解分式方程，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可．
（1）利用因式分解法求解即可．
（2）根据公式法求解即可．
（3）将分式去分母，然后解方程即可．
【详解】（1）解：
移项得：，
分解因式得：，
解得：，．
（2）
去括号得：，
合并同类项得：，
，，，
∵，
∴，
∴，．
（3）方程两边同乘得，
去括号得：，
移项化简得：，
解得：．
检验：当时，，
所以是分式方程增根．
故原方程无解．
13．用指定的方法解一元二次方程：
(1)；（配方法）
(2)．（公式法）
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式．
（1）首先移项，然后方程两边同时加上16即可完成配方，然后解方程即可求解；
（2）利用求根公式即可求解．
【详解】（1）解：（配方法），
，
，
，
，
，；
（2）解：
，，，
，
，
．
14．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)方程无解
(3)，
(4)，
【分析】本题考查解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握将分式方程通过去分母转化成整式方程求解、用因式分解法、配方法解一元二次方程是解题的关键．注意解分式方程要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
（3）用因式分解法求解即可；
（4）用配方法求解即可．
【详解】（1）解：两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为；
（2）解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：时，，
所以是分式方程的增根，
所以分式方程无解．
（3）解：
或
∴，．
（4）解：
∴，．
15．解方程：
(1)；（配方法）
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）整理成一般式，利用因式分解法求解可得；
（4）整理成一般式，利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
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