湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·邵东期中）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，B={1，3，5}，则=（ ）
A．{5} B．{1，3}
C．{1，2，3，5，6} D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，，则，而，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件先求出，进而并集的运算求解即可得到结果.
2．（2024高二下·邵东期中）复数在复平面内对应的点位于直线y=2x+1上，则a的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，对应点为，
由题知，，解得.
故答案为：B.
【分析】先对进行化简得，即可得到对应点的坐标，将坐标代入直线方程求得出a的值即可得到结果.
3．（2024高二下·邵东期中） “|x|≠|y|”是“x≠y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：判断：由 “|x|≠|y|”，则一定有“x≠y”，则成立；
判断：令，则“x≠y”，但是“|x|=|y|”，所以不成立；
故答案为：A.
【分析】采用特殊值对每一个选项进行判断，即可得到结果.
4．（2024高二下·邵东期中）若幂函数f(x)的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则f(x)的解析式可能为（ ）
A． B．f(x)=x C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：
A：函数的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点，故A不符合题意；
B：函数的图象关于原点对称，且与x轴有公共点，故B不符合题意；
C：函数的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意；
D：函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的图象以及性质对每一个选项进行判断即可得到结果.
5．（2024高二下·邵东期中） 给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数，中位数，众数分别为a，b，c，则（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：
，
平均数，
中位数，
众数，
所以
故答案为：B
【分析】根据所给的数据进行从小到大排序判断，以及计算即可得到结果.
6．（2024高二下·邵东期中）很多人都喜欢骑共享单车，但也有很多市民并不认可这种交通方式．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到如下2×2列联表：
A B 总计
认可 13 5 18
不认可 7 15 22
总计 20 20 40
附：．
0.1 0.05 0.010 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
【答案】D
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【解答】解：由题意，根据列联表中的数据，得，
又，
所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.
故选：D.
【分析】根据列联表求出值，在利用进行下结论，即对每一个选项进判断即可得到结果．
7．（2024高二下·邵东期中）已知正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，
则底面面积，
高，
所以体积为，
故答案为：A.
【分析】利用椎体的体积公式即可求解.
8．（2024高二下·邵东期中）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．[-3，2） B．[-3，2] C．(-3，2) D．[-2，3]
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：
因为函数，在上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在上单调递增，
综上，．
故答案为：B.
【分析】利用分段函数的单调性要求各段函数单调递增，在结合函数单调性的定义对间断点进行判断即可得到结果.
二、选择题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·邵东期中）已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】且，，且的符号不确定.
对于A，，，由不等式的基本性质可得，A一定能成立；
对于B，，，，，即，B一定能成立；
对于C，取，则，若，有，C不一定成立；
对于D，，，，D一定能成立.
故答案为：ABD
【分析】由 a，b，c满足，且 ，可得，，然后根据不等式的性质逐项判断即可.
10．（2024高二下·邵东期中）已知是单位向量，，且，则( )
A．
B．若，则
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
∵，∴，，
∴，故A正确；
由，可得，
即，则不一定成立，故B错误；
又是单位向量，，
不妨设，设，又，
∴，，
∴，即，
由可知圆心为，半径为，
∴，故C正确；
由上可知，，即，
又∵，
∴的最小值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用向量数量积的定义及运算法则可判断AB，利用坐标法可判断CD.
11．（2024高二下·邵东期中）已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD，E，F分别为棱PB，PD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．EF∥平面ABCD B．EF⊥平面PAC
C．平面PBD⊥平面AEF D．平面AEF⊥平面PBC
【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：
A选项：连接，因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以∥平面，故A正确；
B选项：连接，因为，四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又，所以平面，故B正确；
C选项：设，则为中点，由题意得，所以，取中点，连接，
所以，设，则，，，因为，所以与不垂直，即与不垂直，不垂直平面，
因为平面平面，，平面，所以平面与平面不垂直，故C错.
D选项：因为四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，为中点，
所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故D正确.
故选：ABD.
【分析】对于A，利用中位线的性质证出，接着利用线面平行的判定定理进行证明判断正误；对于B，利用正方形的性质证出，接着由线面垂直的性质证出，加上线面垂直的判定定理得到平面，结合平行的传递性，即可得到结果；对于C，先利用面面垂直的性质定理以及做垂直交线，当面面，证得平面，当不垂直平面，即可得到平面平面不成立；对于D，利用线面垂直的判定定理以及性质证出，利用等腰三角形的三线合一性质证出，进而有平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可得到结果.
三、填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5分，共15分。
12．（2024高二下·邵东期中）某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为 ．
【答案】300
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：结合正态分布特征，，，所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为.
故答案为：300.
【分析】由于，利用其对称性即可得到不低于的概率，再利用样本估计总体的方式求出个数即可得到结果.
13．（2024高二下·邵东期中）二项式的展开式中，的系数是 ．
【答案】112
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：
展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】根据题意求出求出其展开式的通项，接着让x的系数等于-1进而求出r值，接着代入通项即可得到结果.
14．（2024高二下·邵东期中）已知函数，若对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，则实数m的最大值为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域；函数的图象
【解析】【解答】解：函数在区间上的图象如下图所示：
根据题意，对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，
只要找到其中一个实数，使得的最大值最小即可，
如图，函数向下平移到一定的程度时，函数的最大值最小，
此时只有当时，才能保证函数的最大值最小，
设函数的图象向下平移了个单位，其中，则，解得，
此时函数，.
因此，实数的最大值为.
故答案为：.
【分析】先做出函数的图象，利用伸缩变换对函数的图象向下平移个单位，当时，此时有在区间上的最大值，进而求出的值，求出，加上利用函数图象进行分析即可得到结果.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·邵东期中）已知函数．
（1）求f(x)在上的单调递减区间；
（2）若求的值．
【答案】（1）解：
令
解得，
又，
函数f(x)在上的单调递减区间为．
（2）解：由（1）知，
，，
，
又，
，
．
【知识点】函数的值；两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）首相对f(x)进行化简：形式，利用解析式证出函数的单调性；
（2）由（1）得到解析式为，接着将代入，利用诱导公式以及凑角化简即可得到结果
16．（2024高二下·邵东期中）某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有1，2，…，12的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为2，3，5，8），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为1，2，3，4．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题：
（1）求小明在此次活动中至少中二等奖的概率；
（2）若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望E(X)=662(X表示在一次抽取中所获的奖金数)，则特等奖的奖金为多少
【答案】（1）解：设小明在此次活动中至少中二等奖为事件A，
则
；
（2）解：由题意可知X的可能取值为0，495，990，1485，b．
则，
，
，
，
，
其分布列为：
X 0 495 990 1485 b
P
所以，
解得b=2970，
所以特等奖的奖金为2970元．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）根据分类讨论的思想，结合古典概型公式计算即可得到结果；
（2）首先列出奖金的可能值，在利用古典概型公式求出对应数值的概率，进而得到分布列以及期望值.
17．（2024高二下·邵东期中）已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的奇函数，满足，当时，有．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）判断f(x)的单调性，并证明；
（3）解不等式．
【答案】（1）解：因为函数f(x)是定义在(-2，2)上的奇函数，所以f(0)=0，即，解得b=0，
因为，所以，所以a=1，
所以当时，，
当时，，
则，
综上所述，
（2）函数f(x)在(-2，2)上为增函数．
证明：任取，且，
则
，
，即，
故在(-2，2)上为增函数；
（3）解：因为函数f(x)是定义在(-2，2)上的奇函数，
所以
，
又由（2）知在(-2，2)上为增函数，
所以，
解得，
故原不等式的解集为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用奇函数特征，以及以及的值，求出a的值，即可得到结果；
（2）根据函数单调性的定义法对函数进行做差法判断化简，即可得到结果；
（3）首先对不等式进行变形，并且利用函数的奇偶性对不等式进行变形，进而根据函数的单调性列出不等式组进行求解，即可得到结果
18．（2024高二下·邵东期中）如图，在直三棱柱中，，M为的中点．
（1）若，证明：平面ABM；
（2）若是正三角形，P为线段上的动点，求BP与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，
因为平面ABC，又平面ABC，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
在矩形中，，
即，
所以，
因为平面ABM，
所以平面ABM．
（2）解：取AC的中点为N，连接BN，
因为是正三角形，所以，
又平面ABC平面，
平面ABC平面=AC，且平面ABC，
所以平面，
取的中点，连接，
同理可得平面ABC，
以NB，NC， 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系N-xyz，
则
设，
则，
易知平面ABC的法向量为，
设BP与平面ABC所成角为，
设，
所以
，
当时，，
当时，，
因为在上单调递减，
所以，
故，综上可得．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直三棱柱的图像特征以及边长的数量关系，以及直线与平面判定定理证明；
（2）现根据题意建立空间直角坐标系，利用坐标以及不等式的知识求解正弦值范围.
19．（2024高二下·邵东期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若b=2，c=5，角A的平分线交BC于点D，求AD；
（3）若的面积为，求a的最小值；
（4）若BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．
【答案】（1）解：由已知及正弦定理得，
因为，
所以，
即，
因为sinC>0，所以，所以，
因为，所以，
所以，．
（2）解：设AD是角A的平分线，因为，
所以，
结合（1）得，
解得．
（3）解：由（1）得，则，
又，所以，
则，解得，
当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1．
（4）解：由正弦定理得，
设BC的中点为E，连接AE，则，
两边平方得，
即，即①，
由余弦定理得②，
解得，
故的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及利用两角差的正弦公式进行化简，即可得到结果；
（2）根据三角形面积公式以及等面积法进行计算化简即可得到结果；
（3）根据三角形面积公式和余弦定理加上不等式知识的运用，即可得到结果；
（4）根据向量法，对式子进行进行平方运算，再加上余弦定理，即可得到结果.
1 / 1湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·邵东期中）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，4}，B={1，3，5}，则=（ ）
A．{5} B．{1，3}
C．{1，2，3，5，6} D．
2．（2024高二下·邵东期中）复数在复平面内对应的点位于直线y=2x+1上，则a的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．（2024高二下·邵东期中） “|x|≠|y|”是“x≠y”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·邵东期中）若幂函数f(x)的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则f(x)的解析式可能为（ ）
A． B．f(x)=x C． D．
5．（2024高二下·邵东期中） 给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数，中位数，众数分别为a，b，c，则（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a
6．（2024高二下·邵东期中）很多人都喜欢骑共享单车，但也有很多市民并不认可这种交通方式．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到如下2×2列联表：
A B 总计
认可 13 5 18
不认可 7 15 22
总计 20 20 40
附：．
0.1 0.05 0.010 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
7．（2024高二下·邵东期中）已知正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·邵东期中）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．[-3，2） B．[-3，2] C．(-3，2) D．[-2，3]
二、选择题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·邵东期中）已知a，b，c满足，且，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·邵东期中）已知是单位向量，，且，则( )
A．
B．若，则
C．的最大值为
D．的最小值为
11．（2024高二下·邵东期中）已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD，E，F分别为棱PB，PD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．EF∥平面ABCD B．EF⊥平面PAC
C．平面PBD⊥平面AEF D．平面AEF⊥平面PBC
三、填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5分，共15分。
12．（2024高二下·邵东期中）某科研院校培育橘树新品种，经统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，则在1000个橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为 ．
13．（2024高二下·邵东期中）二项式的展开式中，的系数是 ．
14．（2024高二下·邵东期中）已知函数，若对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，则实数m的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·邵东期中）已知函数．
（1）求f(x)在上的单调递减区间；
（2）若求的值．
16．（2024高二下·邵东期中）某社区为奖励参加过社区举办的“我劳动，我光荣”公益性志愿活动的中小学生，举办了一场回馈志愿者福利活动，活动规则为：箱子中装有大小质地完全相同且标有1，2，…，12的小球，从中任意抽取4个，凡选出的4个号码中含有1个或1个以上基本号码就能中奖（基本号码为2，3，5，8），根据基本号码个数的多少中奖的等级分为三等奖，二等奖，一等奖和特等奖，其所对应选中的基本号码个数分别为1，2，3，4．若小明是该社区的其中一名志愿者，并参加了本次回馈活动，据此回答下列问题：
（1）求小明在此次活动中至少中二等奖的概率；
（2）若三等奖，二等奖，一等奖，特等奖的奖金分别为495元，990元，1485元，b元，且小明在此次活动中获得的奖金数的期望E(X)=662(X表示在一次抽取中所获的奖金数)，则特等奖的奖金为多少
17．（2024高二下·邵东期中）已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的奇函数，满足，当时，有．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）判断f(x)的单调性，并证明；
（3）解不等式．
18．（2024高二下·邵东期中）如图，在直三棱柱中，，M为的中点．
（1）若，证明：平面ABM；
（2）若是正三角形，P为线段上的动点，求BP与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
19．（2024高二下·邵东期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若b=2，c=5，角A的平分线交BC于点D，求AD；
（3）若的面积为，求a的最小值；
（4）若BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，，则，而，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件先求出，进而并集的运算求解即可得到结果.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，对应点为，
由题知，，解得.
故答案为：B.
【分析】先对进行化简得，即可得到对应点的坐标，将坐标代入直线方程求得出a的值即可得到结果.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：判断：由 “|x|≠|y|”，则一定有“x≠y”，则成立；
判断：令，则“x≠y”，但是“|x|=|y|”，所以不成立；
故答案为：A.
【分析】采用特殊值对每一个选项进行判断，即可得到结果.
4．【答案】D
【知识点】函数的图象；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：
A：函数的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点，故A不符合题意；
B：函数的图象关于原点对称，且与x轴有公共点，故B不符合题意；
C：函数的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意；
D：函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用幂函数的图象以及性质对每一个选项进行判断即可得到结果.
5．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：
，
平均数，
中位数，
众数，
所以
故答案为：B
【分析】根据所给的数据进行从小到大排序判断，以及计算即可得到结果.
6．【答案】D
【知识点】独立性检验；独立性检验的应用
【解析】【解答】解：由题意，根据列联表中的数据，得，
又，
所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.
故选：D.
【分析】根据列联表求出值，在利用进行下结论，即对每一个选项进判断即可得到结果．
7．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：正三棱锥的底面边长为4，侧棱长为8，
则底面面积，
高，
所以体积为，
故答案为：A.
【分析】利用椎体的体积公式即可求解.
8．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：
因为函数，在上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在上单调递增，
综上，．
故答案为：B.
【分析】利用分段函数的单调性要求各段函数单调递增，在结合函数单调性的定义对间断点进行判断即可得到结果.
9．【答案】A,B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】且，，且的符号不确定.
对于A，，，由不等式的基本性质可得，A一定能成立；
对于B，，，，，即，B一定能成立；
对于C，取，则，若，有，C不一定成立；
对于D，，，，D一定能成立.
故答案为：ABD
【分析】由 a，b，c满足，且 ，可得，，然后根据不等式的性质逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
∵，∴，，
∴，故A正确；
由，可得，
即，则不一定成立，故B错误；
又是单位向量，，
不妨设，设，又，
∴，，
∴，即，
由可知圆心为，半径为，
∴，故C正确；
由上可知，，即，
又∵，
∴的最小值是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用向量数量积的定义及运算法则可判断AB，利用坐标法可判断CD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：
A选项：连接，因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以∥平面，故A正确；
B选项：连接，因为，四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又，所以平面，故B正确；
C选项：设，则为中点，由题意得，所以，取中点，连接，
所以，设，则，，，因为，所以与不垂直，即与不垂直，不垂直平面，
因为平面平面，，平面，所以平面与平面不垂直，故C错.
D选项：因为四边形为矩形，所以，因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，为中点，
所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故D正确.
故选：ABD.
【分析】对于A，利用中位线的性质证出，接着利用线面平行的判定定理进行证明判断正误；对于B，利用正方形的性质证出，接着由线面垂直的性质证出，加上线面垂直的判定定理得到平面，结合平行的传递性，即可得到结果；对于C，先利用面面垂直的性质定理以及做垂直交线，当面面，证得平面，当不垂直平面，即可得到平面平面不成立；对于D，利用线面垂直的判定定理以及性质证出，利用等腰三角形的三线合一性质证出，进而有平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可得到结果.
12．【答案】300
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：结合正态分布特征，，，所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为.
故答案为：300.
【分析】由于，利用其对称性即可得到不低于的概率，再利用样本估计总体的方式求出个数即可得到结果.
13．【答案】112
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：
展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】根据题意求出求出其展开式的通项，接着让x的系数等于-1进而求出r值，接着代入通项即可得到结果.
14．【答案】
【知识点】函数的值域；函数的图象
【解析】【解答】解：函数在区间上的图象如下图所示：
根据题意，对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，
只要找到其中一个实数，使得的最大值最小即可，
如图，函数向下平移到一定的程度时，函数的最大值最小，
此时只有当时，才能保证函数的最大值最小，
设函数的图象向下平移了个单位，其中，则，解得，
此时函数，.
因此，实数的最大值为.
故答案为：.
【分析】先做出函数的图象，利用伸缩变换对函数的图象向下平移个单位，当时，此时有在区间上的最大值，进而求出的值，求出，加上利用函数图象进行分析即可得到结果.
15．【答案】（1）解：
令
解得，
又，
函数f(x)在上的单调递减区间为．
（2）解：由（1）知，
，，
，
又，
，
．
【知识点】函数的值；两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）首相对f(x)进行化简：形式，利用解析式证出函数的单调性；
（2）由（1）得到解析式为，接着将代入，利用诱导公式以及凑角化简即可得到结果
16．【答案】（1）解：设小明在此次活动中至少中二等奖为事件A，
则
；
（2）解：由题意可知X的可能取值为0，495，990，1485，b．
则，
，
，
，
，
其分布列为：
X 0 495 990 1485 b
P
所以，
解得b=2970，
所以特等奖的奖金为2970元．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）根据分类讨论的思想，结合古典概型公式计算即可得到结果；
（2）首先列出奖金的可能值，在利用古典概型公式求出对应数值的概率，进而得到分布列以及期望值.
17．【答案】（1）解：因为函数f(x)是定义在(-2，2)上的奇函数，所以f(0)=0，即，解得b=0，
因为，所以，所以a=1，
所以当时，，
当时，，
则，
综上所述，
（2）函数f(x)在(-2，2)上为增函数．
证明：任取，且，
则
，
，即，
故在(-2，2)上为增函数；
（3）解：因为函数f(x)是定义在(-2，2)上的奇函数，
所以
，
又由（2）知在(-2，2)上为增函数，
所以，
解得，
故原不等式的解集为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用奇函数特征，以及以及的值，求出a的值，即可得到结果；
（2）根据函数单调性的定义法对函数进行做差法判断化简，即可得到结果；
（3）首先对不等式进行变形，并且利用函数的奇偶性对不等式进行变形，进而根据函数的单调性列出不等式组进行求解，即可得到结果
18．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，
因为平面ABC，又平面ABC，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
在矩形中，，
即，
所以，
因为平面ABM，
所以平面ABM．
（2）解：取AC的中点为N，连接BN，
因为是正三角形，所以，
又平面ABC平面，
平面ABC平面=AC，且平面ABC，
所以平面，
取的中点，连接，
同理可得平面ABC，
以NB，NC， 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系N-xyz，
则
设，
则，
易知平面ABC的法向量为，
设BP与平面ABC所成角为，
设，
所以
，
当时，，
当时，，
因为在上单调递减，
所以，
故，综上可得．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据直三棱柱的图像特征以及边长的数量关系，以及直线与平面判定定理证明；
（2）现根据题意建立空间直角坐标系，利用坐标以及不等式的知识求解正弦值范围.
19．【答案】（1）解：由已知及正弦定理得，
因为，
所以，
即，
因为sinC>0，所以，所以，
因为，所以，
所以，．
（2）解：设AD是角A的平分线，因为，
所以，
结合（1）得，
解得．
（3）解：由（1）得，则，
又，所以，
则，解得，
当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1．
（4）解：由正弦定理得，
设BC的中点为E，连接AE，则，
两边平方得，
即，即①，
由余弦定理得②，
解得，
故的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及利用两角差的正弦公式进行化简，即可得到结果；
（2）根据三角形面积公式以及等面积法进行计算化简即可得到结果；
（3）根据三角形面积公式和余弦定理加上不等式知识的运用，即可得到结果；
（4）根据向量法，对式子进行进行平方运算，再加上余弦定理，即可得到结果.
1 / 1
