浙江省台州市山海协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．（2024高二下·台州期中）. ( )
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意，利用排列数与组合数公式进行化简如下所示：
；
故答案为：C.
【分析】用组合数的性质性质，结合排列数的公式求解即可.
2．（2024高二下·台州期中）若随机变量，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意，，
所以，并且，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的期望、方差公式求解即可得到结果.
3．（2024高二下·台州期中）5个人分4张足球票(有位置区别)，每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为( )
A．5 B．10 C．60 D．120
【答案】D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意， 5个人分4张足球票(有位置区别)，每人至多分1张，而且票必须分完，
则只有一人没有票，并且剩下4人分到1人1张票，又因为有位置区别，因此有顺序；
利用分步乘法计数原理：
第一步：从5人中选1人无票，有种方法；
第二部：剩下4人，四个位置进行全排列有种方法；
则共有种不同的分法．
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合题意可得不同的分法有种，再进行排列有，最后计算即可．
4．（2024高二下·台州期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据题意及图像观察，
利用导函数的正负值判断函数单调性得：
在处，有；‘
则在上单调递增，
在处 ，有；
则在上单调递减，
所以有极大值，没有极小值，所以C正确.
故答案为：C.
【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
5．（2024高二下·台州期中）求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：
，再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，对于，
求导有公式：，
则对于函数，利用上面的公式求导得：
，
要求的是函数的一个单调递增区间，
只需要，即，
则有： ，
则函数的单调增区间为，
故答案为：C.
【分析】求出函数的导数，再解不等式，即可得答案；
6．（2024高二下·台州期中）在的展开式中，项的系数为( )
A．-50 B．-30 C．30 D．50
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，相当于有5个相乘，
项的系数，即要用5个采用组合的方式选择出项；
第一种：从5个式子中选择两个取-x，剩下的3个式子选择1，
此时系数为；
第二种：5个式子有3个式子选，剩下的两个中有一个取，最后一个取1，
此时系数为
所以项的系数为.
故答案为：B．
【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.
7．（2024高二下·台州期中）设，随机变量的分布
-1 0 1
则当在内增大时， ( )
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故答案为：D.
【分析】首先利用分布列之和等于1，求出a与b之间的关系，进而利用公式，并讨论其单调性即可得到结果.
8．（2024高二下·台州期中）已知，则的大小关系是为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则当时，，即，而，因此，即；
令函数，求导得，函数在上单调递减，
则当时，，即，因此，即；
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则当时，，即，
因此，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】要比较a与d的大小，假设，利用求导判断单调性，再进行大小的判断；要比较b与d的大小，假设，求导，判断单调性进而判断大小；要比较b与c的大小，假设函数求导，判断单调性进而判断大小。要依据式子的结构，构造函数性质，判断单调性后即可判断大小.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选得0分)
9．（2024高二下·台州期中）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示：
价格 9 9.5 10 10.5 11
销售量 11 10 8 6 5
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是( )
A．变量线性正相关
B．
C．当时，的估计值为14.4
D．相应于点的残差约为-0.4
【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由表格知：，
所以，
由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，A错误；
由，B正确；
由，C正确；
由，故残差为，D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据书记处表中的价格与销售量之间的数量关系判断A选项；利用样本中心数据代入回归直线方程即可得到参数的值；将代入回归直线方程即可判断C选项；利用残差的定义求残差即可判断D选项.
10．（2024高二下·台州期中）某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，，，，
所以，
所以，；
因为，所以；
所以；
故选：ABD.
【分析】由题意，利用对立事件概率公式，全概率公式以及条件概率公式和贝叶斯公式进行分析计算即可得到结果.
11．（2024高二下·台州期中）已知函数，则下列说法正确的是( )
A．在上是增函数
B．若函数有两个零点，则
C．若在定义域内存在单调递增区间，则实数
D．若，且，则的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，当时，则，
令，所以，
则，
所以，
当时，恒成立，
则在上单调递增；
又因为在上单调递增，
则在上是增函数，所以A正确；
对于B，，
当时，；在上单调递减，
当时，；
在在上单调递增；
所以，
则；
不妨设，
所以，
当，
所以，即，
又因为，即；
令，
所以，，
又，，
，即，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以不成立，则B错误；
对于 C，，
定义域为，
求导得：，
当在定义域内存在单调递增区间，
此时有解，
即，在有解，
当时，结合一次函数和二次函数的性质可知，
则在一定有解；
时，有，
解得，此时，
对应的二次方程有两个不等的正根，符合题意，
所以在定义域内存在单调递增区间，实数，C正确；
对于D，由，且，
得，即，
由B选项知，在上单调递减，在上单调递增；
，则，所以，，则有，即，
可得；
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为，D正确.
故选：ACD.
【分析】对于A，令，求导判断单调性，利用复合函数单调性即可得到结果；对于B，对求导判断其单调性，进而假设，当，即有，再令，求出其导数，进而判断其单调性，即有，即可得到B选项正误；对于C，此时转成求证，在有解，进而利用函数性质判断C选项；对于D，利用同构将式子转化成，则有，根据得单调性得到，变形得，紧接着利用导数判断的最大值即可判断D选项.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·台州期中） 已知随机变量，且，则 ．
【答案】0.2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由正态分布的对称性得 .
故答案为：
【分析】根据正态分布的对称性求解。
13．（2024高二下·台州期中）已知函数，则的值为 .
【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：，
，
则，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先对f(x)求导得，代入代入解出的值.
14．（2024高二下·台州期中）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：小明从A到B的不同路径共有种，
小华从B到A的不同路径共有种，
所以一共有400种，
则小明、小华、小齐三人相遇的概率.
故答案为：.
【分析】利用分步计数原理求出事件的总量，接着求出满足事件的数量，利用古典概型公式计算即可得到结果.
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15．（2024高二下·台州期中）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码.
（1）若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种；
（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法.
【答案】（1）解：若一次取2个球，至少有一个红球有两种可能：“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，
故不同的取法有种.
（2）解：若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，
故不同的取法有种.
【知识点】基本计数原理的应用；组合及组合数公式；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，利用分类谈论思想分有：“两个都是白球”以及“一个白一个红球”两种情况，进而利用组合的公式求解即可得到结果；
（2）利用分类谈论思想分有：“两个白球一个红球”和”一个白球两个红球“，接着利运用组合的公式求解即可得到结果.
16．（2024高二下·台州期中）已知的展开式
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
【答案】（1）解：令可得展开式中所有项的系数和
（2）解：二项式系数最大的项为第4项或第5项
二项式系数最大的项为
（3）解：展开式共有8项，
展开式的通项公式为
当为整数，即时为有理项，共4项，
由插空法得有理项不相邻的概率为
【知识点】二项式系数的性质；排列与组合的综合；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）将x=1代入即可得到展开式中所有项的系数和 ，采用特殊值法；
（2） 因为，即可得到共有8项展开式，所以二项式系数最大的项为第4项或第5项，再求出通项代入n=3或n=4计算化简即可；
（3）先将二项式的通项公式求出并化简成最简形式，接着让x的幂等于整数，得到，最后利用古典概型计算即可得到结果.
17．（2024高二下·台州期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，函数，
令，解得或；令，解得，
所以函数单调递增区间为，递减区间为，
综上可得，当时，函数单调递增区间为，递减区间为.
（2）解：由(1)知
函数在递增，在递减，在递增，
且当时，，当时，，
要使得函数有三个零点，则满足
解得，
综上可得，实数的取值范围.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）首先对函数进行求导，进而利用导函数的正负值判断函数的单调性；
（2）根据（1）中结果将函数的单调性与最值求出，接着由于有三个零点得到不等式子，解出不等式组即可得到结果.
18．（2024高二下·台州期中）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示(单位：人)：
好评 差评 合计
男性 40 68 108
女性 60 48 108
合计 100 116 216
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列；
（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值.
【答案】（1）解：
所以有的把握认为“观影评价与性别有关”
（2）解：从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，
所以，
故的分布列为
0 1 2 3
（3）解：从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，则男性4人，女性6人.则的可能取值为0，1，2.
所以
所以，即
即，解得，又，所以的最大值为2
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；二项式定理的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据列联表计算得值，进行比较后即可下结论；
（2）由于，运用二项分布的概率计算公式即可得到分布列；
（3）首先列出Y的分布列与计算出其期望，列出式子并进行变形即可得到结果.
19．（2024高二下·台州期中）已知函数在处的切线和直线垂直.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，都有成立(其中为自然对数的底数)，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由函数，可得
可得因为函数在处的切线和直线垂直，所以，即，解得
（2）解：不妨设，则，因为对任意的，都有成立，可得，即，
设，
则，故在单调递增，
从而有，即在上恒成立，
设，则，因为，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，故在上最小值，所以，实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 （1）先对进行求导，将x=1代入导函数得到斜率，即，又，解出等式即可得到结果；
（2）先假设，此时问题转化为证明，进行同构，变成求证在单调递增，分离参数得：在上恒成立，此时问题转化成利用求导求的最小值，即可得到结果.
1 / 1浙江省台州市山海协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．（2024高二下·台州期中）. ( )
A．15 B．30 C．45 D．60
2．（2024高二下·台州期中）若随机变量，且，则的值为( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·台州期中）5个人分4张足球票(有位置区别)，每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为( )
A．5 B．10 C．60 D．120
4．（2024高二下·台州期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
5．（2024高二下·台州期中）求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：
，再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是( )
A． B． C． D．
6．（2024高二下·台州期中）在的展开式中，项的系数为( )
A．-50 B．-30 C．30 D．50
7．（2024高二下·台州期中）设，随机变量的分布
-1 0 1
则当在内增大时， ( )
A．增大，增大 B．增大，减小
C．减小，增大 D．减小，减小
8．（2024高二下·台州期中）已知，则的大小关系是为( )
A． B． C． D．
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选得0分)
9．（2024高二下·台州期中）市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示：
价格 9 9.5 10 10.5 11
销售量 11 10 8 6 5
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是( )
A．变量线性正相关
B．
C．当时，的估计值为14.4
D．相应于点的残差约为-0.4
10．（2024高二下·台州期中）某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则( )
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·台州期中）已知函数，则下列说法正确的是( )
A．在上是增函数
B．若函数有两个零点，则
C．若在定义域内存在单调递增区间，则实数
D．若，且，则的最大值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·台州期中） 已知随机变量，且，则 ．
13．（2024高二下·台州期中）已知函数，则的值为 .
14．（2024高二下·台州期中）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15．（2024高二下·台州期中）一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码.
（1）若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种；
（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法.
16．（2024高二下·台州期中）已知的展开式
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
17．（2024高二下·台州期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
18．（2024高二下·台州期中）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示(单位：人)：
好评 差评 合计
男性 40 68 108
女性 60 48 108
合计 100 116 216
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（1）判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列；
（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值.
19．（2024高二下·台州期中）已知函数在处的切线和直线垂直.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，都有成立(其中为自然对数的底数)，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：由题意，利用排列数与组合数公式进行化简如下所示：
；
故答案为：C.
【分析】用组合数的性质性质，结合排列数的公式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：由题意，，
所以，并且，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的期望、方差公式求解即可得到结果.
3．【答案】D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意， 5个人分4张足球票(有位置区别)，每人至多分1张，而且票必须分完，
则只有一人没有票，并且剩下4人分到1人1张票，又因为有位置区别，因此有顺序；
利用分步乘法计数原理：
第一步：从5人中选1人无票，有种方法；
第二部：剩下4人，四个位置进行全排列有种方法；
则共有种不同的分法．
故答案为：D.
【分析】根据题意，结合题意可得不同的分法有种，再进行排列有，最后计算即可．
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据题意及图像观察，
利用导函数的正负值判断函数单调性得：
在处，有；‘
则在上单调递增，
在处 ，有；
则在上单调递减，
所以有极大值，没有极小值，所以C正确.
故答案为：C.
【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由题意，对于，
求导有公式：，
则对于函数，利用上面的公式求导得：
，
要求的是函数的一个单调递增区间，
只需要，即，
则有： ，
则函数的单调增区间为，
故答案为：C.
【分析】求出函数的导数，再解不等式，即可得答案；
6．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，相当于有5个相乘，
项的系数，即要用5个采用组合的方式选择出项；
第一种：从5个式子中选择两个取-x，剩下的3个式子选择1，
此时系数为；
第二种：5个式子有3个式子选，剩下的两个中有一个取，最后一个取1，
此时系数为
所以项的系数为.
故答案为：B．
【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.
7．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故答案为：D.
【分析】首先利用分布列之和等于1，求出a与b之间的关系，进而利用公式，并讨论其单调性即可得到结果.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则当时，，即，而，因此，即；
令函数，求导得，函数在上单调递减，
则当时，，即，因此，即；
令函数，求导得，函数在上单调递增，
则当时，，即，
因此，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】要比较a与d的大小，假设，利用求导判断单调性，再进行大小的判断；要比较b与d的大小，假设，求导，判断单调性进而判断大小；要比较b与c的大小，假设函数求导，判断单调性进而判断大小。要依据式子的结构，构造函数性质，判断单调性后即可判断大小.
9．【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由表格知：，
所以，
由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，A错误；
由，B正确；
由，C正确；
由，故残差为，D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据书记处表中的价格与销售量之间的数量关系判断A选项；利用样本中心数据代入回归直线方程即可得到参数的值；将代入回归直线方程即可判断C选项；利用残差的定义求残差即可判断D选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：依题意，，，，
所以，
所以，；
因为，所以；
所以；
故选：ABD.
【分析】由题意，利用对立事件概率公式，全概率公式以及条件概率公式和贝叶斯公式进行分析计算即可得到结果.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，当时，则，
令，所以，
则，
所以，
当时，恒成立，
则在上单调递增；
又因为在上单调递增，
则在上是增函数，所以A正确；
对于B，，
当时，；在上单调递减，
当时，；
在在上单调递增；
所以，
则；
不妨设，
所以，
当，
所以，即，
又因为，即；
令，
所以，，
又，，
，即，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以不成立，则B错误；
对于 C，，
定义域为，
求导得：，
当在定义域内存在单调递增区间，
此时有解，
即，在有解，
当时，结合一次函数和二次函数的性质可知，
则在一定有解；
时，有，
解得，此时，
对应的二次方程有两个不等的正根，符合题意，
所以在定义域内存在单调递增区间，实数，C正确；
对于D，由，且，
得，即，
由B选项知，在上单调递减，在上单调递增；
，则，所以，，则有，即，
可得；
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为，D正确.
故选：ACD.
【分析】对于A，令，求导判断单调性，利用复合函数单调性即可得到结果；对于B，对求导判断其单调性，进而假设，当，即有，再令，求出其导数，进而判断其单调性，即有，即可得到B选项正误；对于C，此时转成求证，在有解，进而利用函数性质判断C选项；对于D，利用同构将式子转化成，则有，根据得单调性得到，变形得，紧接着利用导数判断的最大值即可判断D选项.
12．【答案】0.2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】由正态分布的对称性得 .
故答案为：
【分析】根据正态分布的对称性求解。
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：，
，
则，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先对f(x)求导得，代入代入解出的值.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：小明从A到B的不同路径共有种，
小华从B到A的不同路径共有种，
所以一共有400种，
则小明、小华、小齐三人相遇的概率.
故答案为：.
【分析】利用分步计数原理求出事件的总量，接着求出满足事件的数量，利用古典概型公式计算即可得到结果.
15．【答案】（1）解：若一次取2个球，至少有一个红球有两种可能：“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，
故不同的取法有种.
（2）解：若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，
故不同的取法有种.
【知识点】基本计数原理的应用；组合及组合数公式；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）根据题意，利用分类谈论思想分有：“两个都是白球”以及“一个白一个红球”两种情况，进而利用组合的公式求解即可得到结果；
（2）利用分类谈论思想分有：“两个白球一个红球”和”一个白球两个红球“，接着利运用组合的公式求解即可得到结果.
16．【答案】（1）解：令可得展开式中所有项的系数和
（2）解：二项式系数最大的项为第4项或第5项
二项式系数最大的项为
（3）解：展开式共有8项，
展开式的通项公式为
当为整数，即时为有理项，共4项，
由插空法得有理项不相邻的概率为
【知识点】二项式系数的性质；排列与组合的综合；二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）将x=1代入即可得到展开式中所有项的系数和 ，采用特殊值法；
（2） 因为，即可得到共有8项展开式，所以二项式系数最大的项为第4项或第5项，再求出通项代入n=3或n=4计算化简即可；
（3）先将二项式的通项公式求出并化简成最简形式，接着让x的幂等于整数，得到，最后利用古典概型计算即可得到结果.
17．【答案】（1）解：由题意，函数，
令，解得或；令，解得，
所以函数单调递增区间为，递减区间为，
综上可得，当时，函数单调递增区间为，递减区间为.
（2）解：由(1)知
函数在递增，在递减，在递增，
且当时，，当时，，
要使得函数有三个零点，则满足
解得，
综上可得，实数的取值范围.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）首先对函数进行求导，进而利用导函数的正负值判断函数的单调性；
（2）根据（1）中结果将函数的单调性与最值求出，接着由于有三个零点得到不等式子，解出不等式组即可得到结果.
18．【答案】（1）解：
所以有的把握认为“观影评价与性别有关”
（2）解：从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，
所以，
故的分布列为
0 1 2 3
（3）解：从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，则男性4人，女性6人.则的可能取值为0，1，2.
所以
所以，即
即，解得，又，所以的最大值为2
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；二项式定理的应用；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据列联表计算得值，进行比较后即可下结论；
（2）由于，运用二项分布的概率计算公式即可得到分布列；
（3）首先列出Y的分布列与计算出其期望，列出式子并进行变形即可得到结果.
19．【答案】（1）解：由函数，可得
可得因为函数在处的切线和直线垂直，所以，即，解得
（2）解：不妨设，则，因为对任意的，都有成立，可得，即，
设，
则，故在单调递增，
从而有，即在上恒成立，
设，则，因为，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，故在上最小值，所以，实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 （1）先对进行求导，将x=1代入导函数得到斜率，即，又，解出等式即可得到结果；
（2）先假设，此时问题转化为证明，进行同构，变成求证在单调递增，分离参数得：在上恒成立，此时问题转化成利用求导求的最小值，即可得到结果.
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