浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高二下·温州期中）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．12 C． D．
2．（2024高二下·温州期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·温州期中）勾股定理是数学史上非常重要的定理之一．若将满足的正整数组称为勾股数组，则在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，能组成勾股数组的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·温州期中）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值．
5．（2024高二下·温州期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水 种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布）．
参考数据：．下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均亩产量是
B．该地水稻亩产量的标准差是20
C．该地水 亩产量超过的约占
D．该地水稻亩产量低于的约占
6．（2024高二下·温州期中）已知定义在区间上的奇函数，不等式对任意都成立（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·温州期中）设集合，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·温州期中）随机变量的分布列如下所示，则的最大值为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．（2024高二下·温州期中）已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1
C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项
10．（2024高二下·温州期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论是真命题的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰有两次取到白球的概率为
C．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次又取到红球的概率为
11．（2024高二下·温州期中）已知函数有两个零点，且，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．
D．若，则
三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12．（2024高二下·温州期中）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．（2024高二下·温州期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
14．（2024高二下·温州期中）若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓扑．已知函数，其中[x]表示不大于的最大整数，当时，函数值域为集合，则集合上的含有4个元素的拓扑的个数为 ．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·温州期中）设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的最大值和极大值．
16．（2024高二下·温州期中）有3名男生、3名女生，求在下列不同条件下各有多少种安排方法．（用具体数字回答）
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，3个男生中恰有两人相邻；
（3）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
（4）将这6人分配到3个班级且每个班级至少1人．
17．（2024高二下·温州期中）为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比．根据试验数据得到如下直方图：
（1）求残留百分比直方图中的值；
（2）估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值；
（3）在体内药物残留百分比位于区间[5.5，7.5]的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间[6.5，7.5]的小鼠为只，求的分布列和期望．
18．（2024高二下·温州期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求：
（1）它是第1台机床生产的概率是多少
（2）它是次品的概率是多少．
（3）若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大 用具体数据说明．
19．（2024高二下·温州期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有两个极值点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，
故答案为：B.
【分析】由于从A到C地有3种不同的方式，并且从C到B有4种方法，此时利用分布乘法计数原理即可求得结果.
2．【答案】D
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：因为，
则，故．
故答案为：D.
【分析】本题考查导数的实际意义.先对进行求导，求导后将的值代入导函数可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，
基本事件的总数为，
能组成勾股数组的有共2个，
能组成勾股数组的概率是
故答案为：A.
【分析】运用组合公式求出事件的总量，再运用列举法求出满足的数量，利用古典概型公式求解即可得到结果．
4．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，
所以C正确，D错误；
故答案为：D.
【分析】有题中所给的导函数图象得到原函数的单调性以及极值，进而对每一个选项进行判断即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：依题意，即该地水稻的平均亩产量是，标准差是，故A、B正确；
又，，所以，
则该地水 亩产量超过的约占，故C错误；
又，
所以该地水稻亩产量低于的约占，故D正确.
故答案为：C.
【分析】由于利用正态分布的数据以及正态分布密度曲线图象的性质对每一个选项进行判断即可得到结果.
6．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
其中，则，
所以，函数为奇函数，
当时，，
所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，
由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数.
对于A选项，，即，则，A错；
对于B选项，，即，则，B对；
对于C选项，，即，则，C错；
对于D选项，，即，则，D错.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的式子特征，进行构造（），对函数的性质进行分析，包括有奇偶性，单调性；并通过变形整理即可得到结果.
7．【答案】C
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
．因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】由，可得到，进而利用条件概率计算公式，以及对立事件的概率公式计算即可得到结果.
8．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题可知，，，
所以，，
，
，
则，
令，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以的最大值为．
故答案为：D．
【分析】根据分布列中的数据之和等于1得到a与b之间的数量关系，加上分布列求期望公式以及对方差公式进行最值求解即可得到结果.
9．【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由展开式有7项，可知，
则所有项的二项式系数和为，故A项正确；
令，则所有项的系数和为，故B项错误；
展开式第项为，
则第4项为负值，故系数最大的项为第4项是错误的；
当时为有理项，则D项正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意展开式有7项，可以得到，进而利用二项式的通项，特殊值等方式对各个选项进行判断即可得到结果.
10．【答案】A,B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对选项A，从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；
对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，
则取到白球的个数，
故恰好有两个白球的概率为；
对选项C，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，
至少有一次取到红球的概率为，故C正确；
对选项D，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，
B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故D错误。
故答案为：ABC.
【分析】首先，利用古典概型公式进行判断A选项，接着，利用二项分布的概率公式进行判断B选项；利用二项分布概率公式以及间接法判断C选项；最后，利用条件概率公式判断D选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令得，记
，令得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且时，，，时，
据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，，
所以，故A选项正确；
因为
所以当时，，递增，
因为，所以，故B选项正确；
当时，，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以C选项错误；
因为在递增，在递减，且
所以，，
因为，所以
因为，所以
所以，故D选项正确
故答案为：ABD.
【分析】对于A选项，分离参数即求有两根，接着构造函数，利用与两个函数图象有两个交点即可得到的范围；
对于B选项，对函数进行求导，利用导函数求出的单调递增区间，进而得到函数单调递增区间与关系，即可得到结果；
对于C选项，利用极限思想，思考当时的数量关系，借助的取值情况分析即可得到结果；
对于D选项，借助与的大小关系以及的单调性判断出的取值范围，进而得到与的大小关系，即可得到结果.
12．【答案】20
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：
的第项为，
令，解得，令，得，
代入通项可得展开式中的和项分别为：，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为20.
故答案为：20.
【分析】对求其通项为：，对x的幂进行分类讨论：，，化简后即可得到结果.
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：
，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分离参数可得，即，
令，
则，在上单调递增，
因为，所以，
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先对进行求导，利用在上恒成立，进行分离参数得：，将问题转化成求的最小值，根据二次函数的性质求解求即可得到结果.
14．【答案】9
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：其中f(x)=[x]表示不大于的最大整数，取整函数；
由时，函数值域为集合，并且求的是，
即n=2；
所以；
又因为拓扑要满足三个条件：
①属于，空集属于；
②中任意多个元素的并集属于；
③中任意多个元素的交集属于；
所以，（1）当时，；
（2）当时，，所以；
（3）当，则，
所以；
（4），此时，
综上：
由于拓扑要含有4个元素，
此时与是其中的两个元素，假设另外的两个元素分别为，
这四个元素根据集合的性质要满足以下的关系：
；
不妨设，其中表示集合A中元素的个数，
，又，
或，
若，
则只能等于，（若，则，则，矛盾），
则必有，
∴的个数的个数种．
即或或；
若，
此时满足，
且且，
所以，
∴B的选择共有种，
则的个数有种，
∴的个数种．
这6种是，
综上可知的个数为9个．
故答案为：9．
【分析】根据集合上的拓扑的集合的定义，判断的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合上的含有4个元素的拓扑的个数．
15．【答案】（1）解：由题意知，，即切点为，
又，所以，
所以在处的切线方程为：，即；
（2）解：，令得，
得或，
故的减区间为，增区间为和，
函数的极大值，又，
在上的极大值是13，最大值是62．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并且求出切点后利用点斜式方程求出结果；
（2）利用导数求出函数单调性，结合极大值的定义求解即求出闭区间的最大值，注意端点.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）相邻问题利用捆绑法，利用的是分布乘法计数原理求解；
（2）先将名女生全排列，再从名男生中选名男生作为一个整体，与另一名男生插入到名女生所形成的个空中的个空中，从而计算可得，利用的是分布乘法计数原理求解；
（3）利用间接法计算可得；
（4）对三个班的人数分，，三种情况讨论，先分组，再分配，分类加法于分布乘法计数原理求解.
17．【答案】（1）由题知，，解得．
（2）由图知，．
（3）体内药物残留百分比位于区间内的频率为0.1，位于[6.5，7.5]内的频率为0.05．则百分比位于区间[5.5，6.5）内的小鼠有10只，位于[6.5，7.5]内的小鼠有5只，
的所有取值为0，1，2，3，（的取值都写对给1分）
所以，，
，
所以，的分布列如下：
0 1 2 3
由期望公式得．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布；超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【分析】（1）根据分布列的频率之和等于1，列出式子求解即可得到参数值；
（2）根据直方图计算平均数的公式计算可得，频率加权平均数；
（3）先根据百分比在区间和上的小鼠个数，根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，然后可得期望.
18．【答案】（1）解：它是第1台机床生产的概率，
（2）解：设事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”，
，
（3个条件概率有一个表示正确且结果正确就给1分）
现任取一个零件，它是次品的概率
（公式对1分）
（3）解：，
同理可得；
所以它是第3台机床生产的可能性最大．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）根据第1，2，3台车床加工的零件数之比即可求得结果；
（2）根据全概率公式与条件柑橘公式求解即可求得答案；
（3）根据条件概率与贝叶斯公式分别计算出在这个零件是次品的条件下由每个车间生产的概率，比较大小，即可判断出结论.
19．【答案】（1）解：由题意得：的定义域为，
，
令，
当，即时，恒成立，
即：，在上单调递减，
当，即时，
令，解得：，
当时，，即；当时，，即，在上单调递减；在上单调递增，
（2）证明：在定义域上有两个极值点
由（1）知且是方程的两个不等实根，
则，
，
设，则，
，，则在上为减函数，
，则成立．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对f(x)进行求导，再对的分子进行求导，紧接着分类讨论的值，由导数正负值得出单调性；
（2）由极值点的性质以及韦达定理得出，构造函数，利用导数证明不等式.
1 / 1浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高二下·温州期中）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7 B．12 C． D．
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：根据题意分两步完成任务：第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；
第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，
根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，
故答案为：B.
【分析】由于从A到C地有3种不同的方式，并且从C到B有4种方法，此时利用分布乘法计数原理即可求得结果.
2．（2024高二下·温州期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实际问题中导数的意义
【解析】【解答】解：因为，
则，故．
故答案为：D.
【分析】本题考查导数的实际意义.先对进行求导，求导后将的值代入导函数可求出答案.
3．（2024高二下·温州期中）勾股定理是数学史上非常重要的定理之一．若将满足的正整数组称为勾股数组，则在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，能组成勾股数组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：在不超过10的正整数中随机选取3个不同的数，
基本事件的总数为，
能组成勾股数组的有共2个，
能组成勾股数组的概率是
故答案为：A.
【分析】运用组合公式求出事件的总量，再运用列举法求出满足的数量，利用古典概型公式求解即可得到结果．
4．（2024高二下·温州期中）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，
所以C正确，D错误；
故答案为：D.
【分析】有题中所给的导函数图象得到原函数的单调性以及极值，进而对每一个选项进行判断即可得到结果.
5．（2024高二下·温州期中）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和供给作出了杰出贡献．某水 种植研究所调查某地杂交水稻的平均亩产量，得到亩产量（单位：）服从正态分布）．
参考数据：．下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均亩产量是
B．该地水稻亩产量的标准差是20
C．该地水 亩产量超过的约占
D．该地水稻亩产量低于的约占
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：依题意，即该地水稻的平均亩产量是，标准差是，故A、B正确；
又，，所以，
则该地水 亩产量超过的约占，故C错误；
又，
所以该地水稻亩产量低于的约占，故D正确.
故答案为：C.
【分析】由于利用正态分布的数据以及正态分布密度曲线图象的性质对每一个选项进行判断即可得到结果.
6．（2024高二下·温州期中）已知定义在区间上的奇函数，不等式对任意都成立（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
其中，则，
所以，函数为奇函数，
当时，，
所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，
由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数.
对于A选项，，即，则，A错；
对于B选项，，即，则，B对；
对于C选项，，即，则，C错；
对于D选项，，即，则，D错.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的式子特征，进行构造（），对函数的性质进行分析，包括有奇偶性，单调性；并通过变形整理即可得到结果.
7．（2024高二下·温州期中）设集合，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
．因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】由，可得到，进而利用条件概率计算公式，以及对立事件的概率公式计算即可得到结果.
8．（2024高二下·温州期中）随机变量的分布列如下所示，则的最大值为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题可知，，，
所以，，
，
，
则，
令，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以的最大值为．
故答案为：D．
【分析】根据分布列中的数据之和等于1得到a与b之间的数量关系，加上分布列求期望公式以及对方差公式进行最值求解即可得到结果.
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．（2024高二下·温州期中）已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1
C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项
【答案】A,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：由展开式有7项，可知，
则所有项的二项式系数和为，故A项正确；
令，则所有项的系数和为，故B项错误；
展开式第项为，
则第4项为负值，故系数最大的项为第4项是错误的；
当时为有理项，则D项正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意展开式有7项，可以得到，进而利用二项式的通项，特殊值等方式对各个选项进行判断即可得到结果.
10．（2024高二下·温州期中）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论是真命题的是（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰有两次取到白球的概率为
C．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次又取到红球的概率为
【答案】A,B,C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对选项A，从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；
对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，
则取到白球的个数，
故恰好有两个白球的概率为；
对选项C，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，
至少有一次取到红球的概率为，故C正确；
对选项D，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，
B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故D错误。
故答案为：ABC.
【分析】首先，利用古典概型公式进行判断A选项，接着，利用二项分布的概率公式进行判断B选项；利用二项分布概率公式以及间接法判断C选项；最后，利用条件概率公式判断D选项.
11．（2024高二下·温州期中）已知函数有两个零点，且，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令得，记
，令得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且时，，，时，
据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，，
所以，故A选项正确；
因为
所以当时，，递增，
因为，所以，故B选项正确；
当时，，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以C选项错误；
因为在递增，在递减，且
所以，，
因为，所以
因为，所以
所以，故D选项正确
故答案为：ABD.
【分析】对于A选项，分离参数即求有两根，接着构造函数，利用与两个函数图象有两个交点即可得到的范围；
对于B选项，对函数进行求导，利用导函数求出的单调递增区间，进而得到函数单调递增区间与关系，即可得到结果；
对于C选项，利用极限思想，思考当时的数量关系，借助的取值情况分析即可得到结果；
对于D选项，借助与的大小关系以及的单调性判断出的取值范围，进而得到与的大小关系，即可得到结果.
三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12．（2024高二下·温州期中）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】20
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：
的第项为，
令，解得，令，得，
代入通项可得展开式中的和项分别为：，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为20.
故答案为：20.
【分析】对求其通项为：，对x的幂进行分类讨论：，，化简后即可得到结果.
13．（2024高二下·温州期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：
，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分离参数可得，即，
令，
则，在上单调递增，
因为，所以，
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先对进行求导，利用在上恒成立，进行分离参数得：，将问题转化成求的最小值，根据二次函数的性质求解求即可得到结果.
14．（2024高二下·温州期中）若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓扑．已知函数，其中[x]表示不大于的最大整数，当时，函数值域为集合，则集合上的含有4个元素的拓扑的个数为 ．
【答案】9
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：其中f(x)=[x]表示不大于的最大整数，取整函数；
由时，函数值域为集合，并且求的是，
即n=2；
所以；
又因为拓扑要满足三个条件：
①属于，空集属于；
②中任意多个元素的并集属于；
③中任意多个元素的交集属于；
所以，（1）当时，；
（2）当时，，所以；
（3）当，则，
所以；
（4），此时，
综上：
由于拓扑要含有4个元素，
此时与是其中的两个元素，假设另外的两个元素分别为，
这四个元素根据集合的性质要满足以下的关系：
；
不妨设，其中表示集合A中元素的个数，
，又，
或，
若，
则只能等于，（若，则，则，矛盾），
则必有，
∴的个数的个数种．
即或或；
若，
此时满足，
且且，
所以，
∴B的选择共有种，
则的个数有种，
∴的个数种．
这6种是，
综上可知的个数为9个．
故答案为：9．
【分析】根据集合上的拓扑的集合的定义，判断的值，利用元素与集合的关系判断满足题意的集合上的含有4个元素的拓扑的个数．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·温州期中）设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在上的最大值和极大值．
【答案】（1）解：由题意知，，即切点为，
又，所以，
所以在处的切线方程为：，即；
（2）解：，令得，
得或，
故的减区间为，增区间为和，
函数的极大值，又，
在上的极大值是13，最大值是62．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并且求出切点后利用点斜式方程求出结果；
（2）利用导数求出函数单调性，结合极大值的定义求解即求出闭区间的最大值，注意端点.
16．（2024高二下·温州期中）有3名男生、3名女生，求在下列不同条件下各有多少种安排方法．（用具体数字回答）
（1）全体排成一排，女生必须站在一起；
（2）全体排成一排，3个男生中恰有两人相邻；
（3）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
（4）将这6人分配到3个班级且每个班级至少1人．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）相邻问题利用捆绑法，利用的是分布乘法计数原理求解；
（2）先将名女生全排列，再从名男生中选名男生作为一个整体，与另一名男生插入到名女生所形成的个空中的个空中，从而计算可得，利用的是分布乘法计数原理求解；
（3）利用间接法计算可得；
（4）对三个班的人数分，，三种情况讨论，先分组，再分配，分类加法于分布乘法计数原理求解.
17．（2024高二下·温州期中）为了解某药物在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：随机抽取100只小鼠，给服该种药物，每只小鼠给服的药物浓度相同、体积相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内药物的百分比．根据试验数据得到如下直方图：
（1）求残留百分比直方图中的值；
（2）估计该药物在小鼠体内残留百分比的平均值；
（3）在体内药物残留百分比位于区间[5.5，7.5]的小鼠中任取3只，设其中体内药物残留百分比位于区间[6.5，7.5]的小鼠为只，求的分布列和期望．
【答案】（1）由题知，，解得．
（2）由图知，．
（3）体内药物残留百分比位于区间内的频率为0.1，位于[6.5，7.5]内的频率为0.05．则百分比位于区间[5.5，6.5）内的小鼠有10只，位于[6.5，7.5]内的小鼠有5只，
的所有取值为0，1，2，3，（的取值都写对给1分）
所以，，
，
所以，的分布列如下：
0 1 2 3
由期望公式得．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布；超几何分布；超几何分布的应用
【解析】【分析】（1）根据分布列的频率之和等于1，列出式子求解即可得到参数值；
（2）根据直方图计算平均数的公式计算可得，频率加权平均数；
（3）先根据百分比在区间和上的小鼠个数，根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，然后可得期望.
18．（2024高二下·温州期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求：
（1）它是第1台机床生产的概率是多少
（2）它是次品的概率是多少．
（3）若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大 用具体数据说明．
【答案】（1）解：它是第1台机床生产的概率，
（2）解：设事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”，
，
（3个条件概率有一个表示正确且结果正确就给1分）
现任取一个零件，它是次品的概率
（公式对1分）
（3）解：，
同理可得；
所以它是第3台机床生产的可能性最大．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）根据第1，2，3台车床加工的零件数之比即可求得结果；
（2）根据全概率公式与条件柑橘公式求解即可求得答案；
（3）根据条件概率与贝叶斯公式分别计算出在这个零件是次品的条件下由每个车间生产的概率，比较大小，即可判断出结论.
19．（2024高二下·温州期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有两个极值点，求证：．
【答案】（1）解：由题意得：的定义域为，
，
令，
当，即时，恒成立，
即：，在上单调递减，
当，即时，
令，解得：，
当时，，即；当时，，即，在上单调递减；在上单调递增，
（2）证明：在定义域上有两个极值点
由（1）知且是方程的两个不等实根，
则，
，
设，则，
，，则在上为减函数，
，则成立．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对f(x)进行求导，再对的分子进行求导，紧接着分类讨论的值，由导数正负值得出单调性；
（2）由极值点的性质以及韦达定理得出，构造函数，利用导数证明不等式.
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