四川省泸州市泸县普通高中共同体2023-2024学年高二下学期数学期中联合考试试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合题目要求）
1．（2024高二下·泸县期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（ ）
A．29 B．32 C．35 D．37
2．（2024高二下·泸县期中）已知直线与直线互相垂直，则m为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024高二下·泸县期中） 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
4．（2024高二下·泸县期中）函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A．为函数的极大值点
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
5．（2024高二下·泸县期中）设函数的导函数是．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·泸县期中）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2024高二下·泸县期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2024高二下·泸县期中）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高二下·泸县期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．设函数，且，则
10．（2024高二下·泸县期中）已知曲线，点为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则曲线C的离心率为
B．若，则曲线C的渐近线方程为
C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上
D．若曲线C是圆，则的最大值为4
11．（2024高二下·泸县期中）函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二下·泸县期中）已知数列的前n项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列的前n项和为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高二下·泸县期中）展开式中的系数为 ．
14．（2024高二下·泸县期中）已知事件与相互独立，，，则 ．
15．（2024高二下·泸县期中）已知直线，动直线l被圆截得弦长的最小值为
16．（2024高二下·泸县期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024高二下·泸县期中）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）求 在 上的最值．
18．（2024高二下·泸县期中）某仓库有甲、乙两箱产品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品．
（1）从甲箱中任取2件产品，求事件A＝“这2件产品中至少有1件次品”的概率；
（2）从甲、乙两箱中各取1件产品，求事件B＝“这2件产品中恰好有1件次品”的概率．
19．（2024高二下·泸县期中） 已知等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和．
20．（2024高二下·泸县期中） 已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F．
（1）求证：；
（2）求直线DE与平面所成角的正弦值．
21．（2024高二下·泸县期中） 已知椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点，记直线PA，PB的斜率分别为，，当最大时，求直线l的方程．
22．（2024高二下·泸县期中）已知．
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）当时，函数有两个零点，求b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列5，8，11，17，知，首项 公差，
所以通项公式为，
因此该数列的第11项为：，
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的通项公式.先根据数列的前4项找出首项和公式，利用等差数列的通项公式可求出通项公式，据此可求出数列的第11项.
2．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：两直线垂直，则有，即，解得.
故答案为：B
【分析】本题考查直线垂直的转化.先利用两直线垂直的一般式的结论，可列出方程，解方程可求出m的值.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为甲不选景点，所以先考虑甲，甲在三个景点中任选一个有3种选法；
再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法，
由分步乘法计数原理，可得不同选法有种.
故答案为：B.
【分析】由题意，先安排甲，再安排乙和丙，最后利用分步乘法计数原理计算即可.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A，由图可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以为函数的极小值点，A错误；
B，的符号在区间上是先负后正，意味着函数在区间上先单调递减再单调递增，B错误；
C，的符号在区间上是先正后负，意味着函数在区间上先单调递增再单调递减，C错误；
D，当时，，所以函数在区间上单调递增，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值.根据原函数与导函数的关系可得：在区间上先单调递减再单调递增，判断B选项；在上单调递增；在上单调递减，据此可判断C和D选项；观察图象可得在附近先单调递减，再单调递增，据此可知函数的极小值点，据此可判断A选项.
5．【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：求出导函数为：
令可得：
解得：
所以
因此
故答案为：A
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式.先利用基本初等函数的导数公式求导可得：，令可列出方程，解方程可求出的值，据此可求出导函数的解析式，进而求出答案.
6．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
所以，
，
设面的法向量为，
，
所以，
令，则，
所以，
，
所以到平面的距离，
故答案为：C.
【分析】本题考查利用空间向量求点到平面的距离公式.以为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，，设平面的法向量为，解方程组可求出平面的法向量，利用空间向量的点到平面的距离公式可得：到平面的距离为，再代入数据可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，
设切点为，
又因为，所以，解得，
所以切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故答案为：D.
【分析】本题考查曲线的切线方程.根据两条直线平行，斜率相等，可设所求直线方程为：，设切点为，求出导函数，利用导数的几何意义可求出切线斜率，据此可列出方程，解方程可求出切点，再利用点到直线的距离公式可求出切点到直线的距离，进而可求出距离最小值.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】求导有 ，
因为函数 有唯一的极值点 ，
所以， 有唯一正实数根，
因为 ，
所以 在 上无解，
所以， 在 上无解，
记 ，则有 ，
所以，当 时， ， 在 上递减，
当 时， ， 在 上递增．
此时 时， 有最小值 ，
所以， ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，所以， 有唯一正实数根，再利用 ，所以 在 上无解，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，再结合代入法和a的取值范围得出 的取值范围。
9．【答案】A,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A.因为，则，则，A正确；
B.因为，则，B错误；
C.因为，则，C错误；
D.因为，则，又，
则，即，所以，D正确；
故选：AD
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，简单复合函数的导数.根据基本初等函数的函数公式进行计算，可判断A和B选项；利用简单复合函数的导数公式进行运算可判断C选项；利用积的导数公式可求出，据此可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断D选项.
10．【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A，时，曲线为，故，
则曲线的离心率为，A正确；
B，时，曲线为，双曲线焦点在轴上，
则曲线的渐近线方程为，B错误；
C，若曲线是双曲线，则，解得：，因，
则曲线的焦点一定在轴上，C正确；
D，若曲线是圆，则，即，
，设 ，则得，
如图，要求的最大值，即求直线的纵截距的最小值，又因为曲线上一动点，
故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心到直线的距离为，解得，
结合图象知，即的最大值为，D错误．
故答案为：AC．
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质.将代入曲线C的方程，利用椭圆的离心率公式可求出离心率，据此可判断A选项；将代入曲线C的方程，利用双曲线的渐近线公式可求出渐近线方程，据此可判断B选项；根据曲线C为双曲线，可列出关于m的不等式，解不等式可求出m的取值范围，据此可推出，判断C选项；先根据曲线是圆，求出的值，再设 ，利用点到直线的距离公式可求出的最大值，判断D选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以和为方程的两根且；
所以，，所以，，所以；
故答案为：ABC
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值.先根据的图象推出函数的单调区间与极值，求出导函数，根据极值点与导函数的关系可推出：和为方程的两根且，利用韦达定理可表示出、，进而判断、的符号，选出答案.
12．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A和C.，①
，②
两式作差得：，，
，，即，
，.
数列是以为首项，公比为的等比数列，
则，.
由上述内容可知，A，C正确.
B.当时，，B错误.
C.，，，
数列是首项为的等比数列.
则数列的前项和为，D正确.
故选：ACD.
【分析】本题考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.根据题意先写出，利用数列通项与前n项和的关系可推出，据此可判断C选项；令，可求出，据此判断A选项；再利用等比数列的通项公式可先求出，j进而求出，通过计算可判断B选项；通过计算可得数列是首项为的等比数列，利用等比数列的前n项和公式可求出数列的前项和，判断D选项.
13．【答案】15
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项为，
令，解得：
所以展开式中的项为：
因此展开式中的系数为15
故答案为：15
【分析】本题考查二项式展开式的通项.先求出的展开式的通项，再，求出k的值，反代回展开式的通项公式可求出答案.
14．【答案】0.88
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：已知事件与相互独立，，，
又因为，所以，
则
故答案为：0.88.
【分析】利用已知条件结合独立事件求概率公式，进而得出事件B的概率，再利用，从而得出P(A+B)的值。
15．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的方程可化为，
即圆心为，半径为5．
由于直线过定点，
所以过点且与垂直的弦的弦长最短，
且最短弦长为．
故答案为：
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先求出直线过定点，利用直线与圆的位置关系可推出：当过点且与垂直的弦的弦长最短，利用l两点间的距离公式求出，利用弦长公式可求出弦长的最小值.
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据条件问题可转化为：存在，使成立，通过参变分离可得：存在，使成立，构造函数，，求出导函数，判断函数的单调性，进而求出的最值，据此可求出实数a的取值范围.
17．【答案】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，即 ，解得 或 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）由（1），令 ，即 ，解得 或 ．
因为 ，所以 舍去，即 ，
又因为 ， ， ，
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数再给定区间的最值。
18．【答案】（1）解：从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点，
事件A数包含的样本点为；
所以从甲箱中任取2件产品，求这2件产品至少有1件次品的概率
为
（2）解：设事件＝“从甲箱中取1件产品是正品”，事件＝“从甲箱中取出1个产品是次品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是正品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是次品”，
所以事件，又事件与事件、事件与事件相互独立，事件与互斥，
所以
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查古典型概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.
(1)根据题意可求出从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点个数，进而找出事件A的样本点个数，利用古典型概率的计算公式可求求出答案.
(2)根据题意分析可得事件共有两种情况：从甲箱中取1件产品是正品，从乙箱中取出1件产品是次品；从甲箱中取出1个产品是次品，从乙箱中取出1件产品是正品；再利用相互独立事件的概率公式可求出答案.
19．【答案】（1）解：由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式．
（2）解：由（1）可得，
可得
，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，分组求和求数列的和.
（1）根据题意利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式可列出方程组，解方程组可求出，再利用等差数列的通项公式可求出答案.
（2）结合（1）可得：，再进行分组，利用分组求和可求出．
20．【答案】（1）证明：如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
（2）解：
由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】本题考查利用空间向量证明直线与平面垂直，利用空间向量求直线与平面所成的角.(1)以A为原点，建立空间直角坐标系 ，写出对应点的坐标，求出，，利用空间向量的数量积进行计算可得：，，j进而可推出，再利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论.
(2)先求出，进而可求出平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出直线与平面所成角的正弦值.
21．【答案】（1）解：由已知得．又，
所以椭圆C的方程为．
（2）解：①当直线l的斜率为0时，则；
②当直线l的斜率不为0时，设，，直线l的方程为，
将代入，整理得．
则，．又，，
所以，
．
令，则
所以当且仅当，即时，取等号．
由①②得，直线l的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.
(1)根据题意可得，利用椭圆的关系式可求出a，据此可写出椭圆的方程.
(2)分两种情况：①当直线l的斜率为0时；②当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立椭圆方程，应用韦达定理可得：，，利用斜率公式进行计算化简可得：，采用换元法令，化简可得：，利用基本不等式可求出最值，求出t和m的值，进而求出直线l的方程.
22．【答案】（1）解：，又，所以
因为，
所以，
所以，故，
综上，．
（2）解：当时，，
当时，只有一个零点，故，
当时，，
①当时，，令，
当时，；当时，．
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
又，，
又，所以，
故，
所以时函数有两个零点．
②当时，今，解得，
若，所以，所以函数在R上单调递增，
不可能有两个零点．
若，即时，当时，，当时，，
当时，
所以函数在上单调递增，上单调递减，在上单调递增．
又，
，
故函数至多有一个零点，不符合题意．
若时，即，当时，，当时，
，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，故函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，函数的零点，利用导函数研究函数的单调性.
（1）先将切点代入函数，可求出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程可求出a的值，求出导函数，根据导数的几何意义可列出方程，解方程可求出b的值；
（2）当时，，再分，和三种情况，求出导函数，判断导函数的正负，进而确定函数的单调性，求出函数的最值，结合最值可判断函数的零点个数，进而求出实数b的取值范围.
1 / 1四川省泸州市泸县普通高中共同体2023-2024学年高二下学期数学期中联合考试试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合题目要求）
1．（2024高二下·泸县期中）等差数列5，8，11，14，…的第11项为（ ）
A．29 B．32 C．35 D．37
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由等差数列5，8，11，17，知，首项 公差，
所以通项公式为，
因此该数列的第11项为：，
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的通项公式.先根据数列的前4项找出首项和公式，利用等差数列的通项公式可求出通项公式，据此可求出数列的第11项.
2．（2024高二下·泸县期中）已知直线与直线互相垂直，则m为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：两直线垂直，则有，即，解得.
故答案为：B
【分析】本题考查直线垂直的转化.先利用两直线垂直的一般式的结论，可列出方程，解方程可求出m的值.
3．（2024高二下·泸县期中） 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：因为甲不选景点，所以先考虑甲，甲在三个景点中任选一个有3种选法；
再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法，
由分步乘法计数原理，可得不同选法有种.
故答案为：B.
【分析】由题意，先安排甲，再安排乙和丙，最后利用分步乘法计数原理计算即可.
4．（2024高二下·泸县期中）函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A．为函数的极大值点
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A，由图可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以为函数的极小值点，A错误；
B，的符号在区间上是先负后正，意味着函数在区间上先单调递减再单调递增，B错误；
C，的符号在区间上是先正后负，意味着函数在区间上先单调递增再单调递减，C错误；
D，当时，，所以函数在区间上单调递增，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值.根据原函数与导函数的关系可得：在区间上先单调递减再单调递增，判断B选项；在上单调递增；在上单调递减，据此可判断C和D选项；观察图象可得在附近先单调递减，再单调递增，据此可知函数的极小值点，据此可判断A选项.
5．（2024高二下·泸县期中）设函数的导函数是．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：求出导函数为：
令可得：
解得：
所以
因此
故答案为：A
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式.先利用基本初等函数的导数公式求导可得：，令可列出方程，解方程可求出的值，据此可求出导函数的解析式，进而求出答案.
6．（2024高二下·泸县期中）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
所以，
，
设面的法向量为，
，
所以，
令，则，
所以，
，
所以到平面的距离，
故答案为：C.
【分析】本题考查利用空间向量求点到平面的距离公式.以为原点建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，，设平面的法向量为，解方程组可求出平面的法向量，利用空间向量的点到平面的距离公式可得：到平面的距离为，再代入数据可求出答案.
7．（2024高二下·泸县期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为：，
设切点为，
又因为，所以，解得，
所以切点，
又因为点到直线的距离为，
所以函数图象上的点到直线的距离的最小值是.
故答案为：D.
【分析】本题考查曲线的切线方程.根据两条直线平行，斜率相等，可设所求直线方程为：，设切点为，求出导函数，利用导数的几何意义可求出切线斜率，据此可列出方程，解方程可求出切点，再利用点到直线的距离公式可求出切点到直线的距离，进而可求出距离最小值.
8．（2024高二下·泸县期中）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】求导有 ，
因为函数 有唯一的极值点 ，
所以， 有唯一正实数根，
因为 ，
所以 在 上无解，
所以， 在 上无解，
记 ，则有 ，
所以，当 时， ， 在 上递减，
当 时， ， 在 上递增．
此时 时， 有最小值 ，
所以， ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，所以， 有唯一正实数根，再利用 ，所以 在 上无解，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，再结合代入法和a的取值范围得出 的取值范围。
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高二下·泸县期中）下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．设函数，且，则
【答案】A,D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A.因为，则，则，A正确；
B.因为，则，B错误；
C.因为，则，C错误；
D.因为，则，又，
则，即，所以，D正确；
故选：AD
【分析】本题考查基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，简单复合函数的导数.根据基本初等函数的函数公式进行计算，可判断A和B选项；利用简单复合函数的导数公式进行运算可判断C选项；利用积的导数公式可求出，据此可列出方程，解方程可求出的值，据此可判断D选项.
10．（2024高二下·泸县期中）已知曲线，点为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则曲线C的离心率为
B．若，则曲线C的渐近线方程为
C．若曲线C是双曲线，则曲线C的焦点一定在y轴上
D．若曲线C是圆，则的最大值为4
【答案】A,C
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A，时，曲线为，故，
则曲线的离心率为，A正确；
B，时，曲线为，双曲线焦点在轴上，
则曲线的渐近线方程为，B错误；
C，若曲线是双曲线，则，解得：，因，
则曲线的焦点一定在轴上，C正确；
D，若曲线是圆，则，即，
，设 ，则得，
如图，要求的最大值，即求直线的纵截距的最小值，又因为曲线上一动点，
故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心到直线的距离为，解得，
结合图象知，即的最大值为，D错误．
故答案为：AC．
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质.将代入曲线C的方程，利用椭圆的离心率公式可求出离心率，据此可判断A选项；将代入曲线C的方程，利用双曲线的渐近线公式可求出渐近线方程，据此可判断B选项；根据曲线C为双曲线，可列出关于m的不等式，解不等式可求出m的取值范围，据此可推出，判断C选项；先根据曲线是圆，求出的值，再设 ，利用点到直线的距离公式可求出的最大值，判断D选项.
11．（2024高二下·泸县期中）函数的图象如图所示，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以和为方程的两根且；
所以，，所以，，所以；
故答案为：ABC
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值.先根据的图象推出函数的单调区间与极值，求出导函数，根据极值点与导函数的关系可推出：和为方程的两根且，利用韦达定理可表示出、，进而判断、的符号，选出答案.
12．（2024高二下·泸县期中）已知数列的前n项和为，，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列是等比数列
D．数列的前n项和为
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A和C.，①
，②
两式作差得：，，
，，即，
，.
数列是以为首项，公比为的等比数列，
则，.
由上述内容可知，A，C正确.
B.当时，，B错误.
C.，，，
数列是首项为的等比数列.
则数列的前项和为，D正确.
故选：ACD.
【分析】本题考查数列通项与前n项和的关系，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式.根据题意先写出，利用数列通项与前n项和的关系可推出，据此可判断C选项；令，可求出，据此判断A选项；再利用等比数列的通项公式可先求出，j进而求出，通过计算可判断B选项；通过计算可得数列是首项为的等比数列，利用等比数列的前n项和公式可求出数列的前项和，判断D选项.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高二下·泸县期中）展开式中的系数为 ．
【答案】15
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的通项为，
令，解得：
所以展开式中的项为：
因此展开式中的系数为15
故答案为：15
【分析】本题考查二项式展开式的通项.先求出的展开式的通项，再，求出k的值，反代回展开式的通项公式可求出答案.
14．（2024高二下·泸县期中）已知事件与相互独立，，，则 ．
【答案】0.88
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：已知事件与相互独立，，，
又因为，所以，
则
故答案为：0.88.
【分析】利用已知条件结合独立事件求概率公式，进而得出事件B的概率，再利用，从而得出P(A+B)的值。
15．（2024高二下·泸县期中）已知直线，动直线l被圆截得弦长的最小值为
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的方程可化为，
即圆心为，半径为5．
由于直线过定点，
所以过点且与垂直的弦的弦长最短，
且最短弦长为．
故答案为：
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先求出直线过定点，利用直线与圆的位置关系可推出：当过点且与垂直的弦的弦长最短，利用l两点间的距离公式求出，利用弦长公式可求出弦长的最小值.
16．（2024高二下·泸县期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：D．
【分析】本题考查函数的恒成立问题.根据条件问题可转化为：存在，使成立，通过参变分离可得：存在，使成立，构造函数，，求出导函数，判断函数的单调性，进而求出的最值，据此可求出实数a的取值范围.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024高二下·泸县期中）已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）求 在 上的最值．
【答案】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，即 ，解得 或 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
（2）由（1），令 ，即 ，解得 或 ．
因为 ，所以 舍去，即 ，
又因为 ， ， ，
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数再给定区间的最值。
18．（2024高二下·泸县期中）某仓库有甲、乙两箱产品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品．
（1）从甲箱中任取2件产品，求事件A＝“这2件产品中至少有1件次品”的概率；
（2）从甲、乙两箱中各取1件产品，求事件B＝“这2件产品中恰好有1件次品”的概率．
【答案】（1）解：从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点，
事件A数包含的样本点为；
所以从甲箱中任取2件产品，求这2件产品至少有1件次品的概率
为
（2）解：设事件＝“从甲箱中取1件产品是正品”，事件＝“从甲箱中取出1个产品是次品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是正品”，事件＝“从乙箱中取出1件产品是次品”，
所以事件，又事件与事件、事件与事件相互独立，事件与互斥，
所以
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】本题考查古典型概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.
(1)根据题意可求出从甲箱中取2件产品的样本空间包含的样本点个数，进而找出事件A的样本点个数，利用古典型概率的计算公式可求求出答案.
(2)根据题意分析可得事件共有两种情况：从甲箱中取1件产品是正品，从乙箱中取出1件产品是次品；从甲箱中取出1个产品是次品，从乙箱中取出1件产品是正品；再利用相互独立事件的概率公式可求出答案.
19．（2024高二下·泸县期中） 已知等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和．
【答案】（1）解：由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式．
（2）解：由（1）可得，
可得
，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，分组求和求数列的和.
（1）根据题意利用等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式可列出方程组，解方程组可求出，再利用等差数列的通项公式可求出答案.
（2）结合（1）可得：，再进行分组，利用分组求和可求出．
20．（2024高二下·泸县期中） 已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F．
（1）求证：；
（2）求直线DE与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
（2）解：
由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角为，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】本题考查利用空间向量证明直线与平面垂直，利用空间向量求直线与平面所成的角.(1)以A为原点，建立空间直角坐标系 ，写出对应点的坐标，求出，，利用空间向量的数量积进行计算可得：，，j进而可推出，再利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论.
(2)先求出，进而可求出平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出直线与平面所成角的正弦值.
21．（2024高二下·泸县期中） 已知椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．点，记直线PA，PB的斜率分别为，，当最大时，求直线l的方程．
【答案】（1）解：由已知得．又，
所以椭圆C的方程为．
（2）解：①当直线l的斜率为0时，则；
②当直线l的斜率不为0时，设，，直线l的方程为，
将代入，整理得．
则，．又，，
所以，
．
令，则
所以当且仅当，即时，取等号．
由①②得，直线l的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.
(1)根据题意可得，利用椭圆的关系式可求出a，据此可写出椭圆的方程.
(2)分两种情况：①当直线l的斜率为0时；②当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立椭圆方程，应用韦达定理可得：，，利用斜率公式进行计算化简可得：，采用换元法令，化简可得：，利用基本不等式可求出最值，求出t和m的值，进而求出直线l的方程.
22．（2024高二下·泸县期中）已知．
（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）当时，函数有两个零点，求b的取值范围．
【答案】（1）解：，又，所以
因为，
所以，
所以，故，
综上，．
（2）解：当时，，
当时，只有一个零点，故，
当时，，
①当时，，令，
当时，；当时，．
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
又，，
又，所以，
故，
所以时函数有两个零点．
②当时，今，解得，
若，所以，所以函数在R上单调递增，
不可能有两个零点．
若，即时，当时，，当时，，
当时，
所以函数在上单调递增，上单调递减，在上单调递增．
又，
，
故函数至多有一个零点，不符合题意．
若时，即，当时，，当时，
，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，故函数至多有一个零点，不符合题意．
综上，b的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，函数的零点，利用导函数研究函数的单调性.
（1）先将切点代入函数，可求出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程可求出a的值，求出导函数，根据导数的几何意义可列出方程，解方程可求出b的值；
（2）当时，，再分，和三种情况，求出导函数，判断导函数的正负，进而确定函数的单调性，求出函数的最值，结合最值可判断函数的零点个数，进而求出实数b的取值范围.
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