山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高二下学期第二学段模块（期末）考试数学试题（含解析）

泰山国际学校2023-2024学年第二学期第二学段模块考试
高二数学试题
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，则斜边AB所在直线的斜率为( )
A.或2 B.或3 C.或4 D.或5
3．已知直线l与x轴的夹角为,则直线l的斜率为( )
A. B. C.或 D.或
4．已知，则( )
A. B. C. D.
5．已知函数，则“有极值”是( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知函数为奇函数,则实数a的值为( )
A. B.1 C.0 D.-1
7．某学校选派甲,乙,丙,丁,戊共5位优秀教师分别前往A,B,C,D四所农村小学支教,用实际行动支持农村教育,其中每所小学至少去一位教师,甲,乙,丙不去B小学但能去其他三所小学,丁,戊四个小学都能去,则不同的安排方案的种数是( )
A.72 B.78 C.68 D.80
8．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的,,甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在平面直角坐标系xOy中,P为曲线上任意一点,则( )
A.E与曲线有4个公共点 B.P点不可能在圆外
C.满足且的点P有5个 D.P到x轴的最大距离为
10．已知函数，则( )
A.的对称轴为，
B.的最小正周期为
C.的最大值为1，最小值为
D.在上单调递减，在上单调递增
11．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.的最小正周期为
B.当时,的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称
三、填空题
12．定义在R上的函数满足,且当时,,,对,,使得,则实数a的取值范围为_____________.
13．已知函数其中.若，在区间上单调递增，则的取值范围是___________.
四、双空题
14．设是定义在R上周期为2的函数,当时,则
（1）________,
（2）若,,则______,
五、解答题
15．已知函数的最小正周期为，且图象关于点对称，把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数.
(1)求函数和的解析式；
(2)若方程在上有解，求实数k的取值范围.
16．已知函数的最小正周期为,且图象关于点对称把函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度得到函数.
（1）求函数和的解析式;
（2）若方程在上有解,求实数k的取值范围.
17．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表
家电名称 空调 彩电 冰箱
工时
产值（千元） 4 3 2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
18．已知函数（，）且图象的相邻两条对称轴间的距离为，.
（1）求的解析式与单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.
19．已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.
（1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
（2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；
（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.
参考答案
1．答案：A
解析：由可得，，即，
又由可得，，即，
则.
故选:A.
2．答案：C
解析：因为等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为，所以AC所在直线的斜率为，即，设直线AC的倾斜角为，则.
因为斜边与直角边的倾斜角相差，所以斜边的倾斜角为或，
所以，，
所以斜边AB所在直线的斜率为或4.故选C.
3．答案：C
解析：①当直线l与x轴正方向的夹角为时,此时倾斜角为,斜率为;
②当直线l与x轴负方向的夹角为时,此时倾斜角为,斜率为.
综上,直线l的斜率为或.
4．答案：B
解析：因为
，所以.
故选B顷.
5．答案：B
解析：定义域为R，由得，
令，则，
当时，恒成立，所以在R上单调递增，又因为，
所以当时，有极值；
当时，令解得，所以在上小于0，在上大于0，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为当时，，
有极值则，
令，则，，
再令，则，解得，
所以在单调递增，在单调递减，又，
所以当时，，即，解得，
综上有极值，则或或，
所以有极值是的必要不充分条件，
故选：B.
6．答案：A
解析：
7．答案：B
解析：先把5人分到四个小学,排除B小学安排了甲,乙,丙的情况（分为B小学只去1人是甲,乙,丙中的一个,B小学去了2人,其中1人是甲,乙,丙中的一个,或2人都是甲,乙,丙中的一个）,因此方法数为：,
故选：B.
8．答案：A
解析：设分别表示产品由甲、乙车间生产;表示产品为优品,
由题可得：,
故.
故选：A.
9．答案：BD
解析：联立方程与,解得,或,,
所以E与曲线有2个公共点,A错误;
由,得,
当且仅当时,取等号,故B正确;
由B知,故满足且的点P仅有,与,共有3个,故C错误;
由得,设,,
则关于m的方程有非负实根,
设,,显然在上单调递增,
由,得,则,解得,即,
所以,且等号可取到,D正确.
10．答案：AD
解析：作出函数的图象如图中实线所示：
对于A，由图可知，函数的图象关于直线，，对称，
对任意的，
所以函数的对称轴为，A正确；
对于B，对任意的
结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误；
对于C，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，
要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
因为，
所以，因此的最大值为，最小值为，故C错误；
对于D，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D正确.
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：由图可知,,函数的最小正周期,故A正确;由,,知,因为,所以,所以,,即,,又,所以,所以,对于B,当时,,所以,所以的值域为,故B错误;对于C,将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,故C正确;对于D,将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,因为当时,,所以得到的函数图象关于点对称,故D正确.故选:ACD.
12．答案：
解析：当时,,
由于为对称轴为开口向下的二次函数,
,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递增,
可得在上单调递减,在上单调递增,,,,
在上的值域为,在上的值域为,
在上的值域为,
,,
故当,,
在上的值域为,
当时,为增函数,在上的值域为,
,解得,故a的范围是;
当时,为单调递减函数,在上的值域为,
,解得故a的范围是,
综上可知故a的范围是.
13．答案：
解析：由题意，所以在单调递增，
若在区间上单调递增，则在上单调递增，
所以，其中，解得，
从而等号不能同时成立，解得，
又，所以只能，或，，
即的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：①1②2
解析：因为是定义在R上周期为2的函数,
所以,
所以,
当时,,
所以时,由,,可得,,
所以当k为偶数时,,
所以,,
所以,
当k为奇数时,,,
所以,,
所以,
综上,,
故答案为：1,2.
15．答案：(1)，；
(2)
解析：（1）由，得，
由的图象关于点对称，则，，即，，
又由，则，
故，
由于的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到函数，
故.
（2）由（1）知，把，代入方程，得，
即方程在上有解，
令，，则，
上述方程转化为在上有解，
进一步转化为在上有解，
令，则在上单调递增，
故，也即是.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得
由的图象关于点对称,则,,即,
又由,则
故
由于的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平移个单位长度得到函数,故
（2）由（1）知,把,代入方程,得
即方程在上有解
令,则
上述方程转化为在上有解
进一步转化为在上有解
令,则在上单调递减
故
也即是
17．答案：每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为30台、270台、60台
解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有
总产值
而
即，，
18．答案：（1）；，；
（2）
解析：（1）由题意可得：，
图象的相邻两条对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又，，所以，故
令，，
所以函数的递减区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，
，则或，
画出的图象如图所示：
则，
方程在内所有根的和为
19．答案：（1）答案见解析；（2），且；（3）答案见解析
解析：（1）依题意，函数定义域是R，
，
即，成立，所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.
（2）因，是上的P级周期函数，则，即，
而当时，，当时，，，
当时，，则，
当时，，则，……
当时，，则，
并且有：当时，，当时，，当时，，……，
当时，，因是上的严格增函数，则有，解得，
所以当时，，且.
（3）假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，
即，恒有成立，则，恒有成立，
即，恒有成立，当时，，则，，
于是得，，要使恒成立，则有，
当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，
此时恒成立，则，，即，，
当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，
所以存在，符合题意，其中满足.