(共46张PPT)
第一课时
比的意义
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
能借助生活具体情境理解比的意义，会读、写比，认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，并能正确求出比值。进一步沟通比和除法、分数的联系。
01
02
经历从具体情境中抽象出比的意义的过程，提高抽象概括能力。
03
经历探索比与分数、除法之间关系的过程，通过观察和思考，理解数学知识之间的内在联系，体会变中有不变的思想。
新知导入
1÷7
3÷4
7÷13
5÷9
1
7
3
4
5
9
7
13
1.连一连。（用分数表示除法算式的结果）
新知导入
2.分数与除法的联系和区别是什么？
分数
除法
联 系 区 别
分子
分数线
分母
被除数
除号
除数
是一种数
是一种运算
新知导入
2003年10月15日，我国第一艘载人飞船神舟五号顺利升空。在太空中，执行此次任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了联合国旗帜和中华人民共和国国旗。
新知导入
杨利伟是中国“太空第一人”。
“神舟”五号是我国第一艘载人航天飞船。
新知导入
中国成功地将自己的第一批宇航员送入太空，成为继美国和俄罗斯之后第三个能够独立开展载人航天任务的国家，我国的航天技术在世界上已处于领先地位。
学习任务一
认识比
探究新知
杨利伟展示的两面旗的长都是15 cm，宽都是10 cm。
10cm
15cm
10cm
15cm
怎样用算式表示它们长和宽的倍数关系？
探究新知
怎样用算式表示它们长和宽的倍数关系？
也可以用“10÷15”表示宽是长的几分之几。
可以用“15÷10”表示长是宽的多少倍。
探究新知
关于长与宽之间的倍数关系，除了用除法表示外，还可以用一种新的数学方法——“比”来表示。
15÷10表示长是宽的多少倍
长和宽的比是15比10
10÷15表示宽是长的几分之几
宽和长的比是10比15
探究新知
长和宽的比是15比10
宽和长的比是10比15
像这种两个量都表示长度，相比的两个量是同类量，叫做同类量的比。
探究新知
神舟五号进入运行轨道后，在距地约350km的高空做圆周运动，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。
思考：
怎样用算式表示飞船进入运行轨道后平均每分钟运行多少千米？
探究新知
神舟五号进入运行轨道后，在距地约350km的高空做圆周运动，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。
速度可以用“路程÷时间”表示。
我们用“42252÷90”表示平均每分钟运行多少千米。
探究新知
神舟五号进入运行轨道后，在距地约350km的高空做圆周运动，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。
我们也可以用比来表示路程和时间的关系：路程和时间的比是42252比 90。
这个比不仅可以表示速度，还可以表示路程与时间的比。
探究新知
像这种比中的两个量，一个表示路程，一个表示时间，是不同类量，叫做不同类量的比。不同类量的比可以表示一个新的量。
路程和时间的比是42252比90
学习任务二
理解比的意义，知道比各部分的名称
探究新知
观察、比较下面的比，它们有什么相同点？
长和宽的比是15比10
宽和长的比是10比15
路程和时间的比是42252比90
三个比都表示相除的关系。
两个数相除又叫做两个数的比。
探究新知
两个数相除又叫做两个数的比。
15比10记作15：10
10比15记作10：15
42252比90记作42252：90
“：”是比号。
探究新知
你知道吗？
在十七世纪，数学家莱布尼兹认为，两个量的比，包含有除的意思，但又不能占用÷，于是他把除号中的小横线去掉，于是“： ”就成了比号。
探究新知
关于“比”，你还想知道哪些知识？
自学提示：
自学教材47页，并用笔勾出认为关键的词语或句子，并思考：
（1）比各部分的名称是什么？
（2）怎样求一个比的比值？
探究新知
在两个数的比中，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫作比值。
15 : 10
＝15 ÷10
……
前
项
……
比
号
3
2
＝
……
后
项
……
比
值
比和比值一样吗？有什么区别？
探究新知
比表示一种关系，而比值是一个数，通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。
探究新知
想一想，15：10和10：15一样吗？
10：15表示宽是长的几分之几
15：10表示长是宽的多少倍？
探究新知
比的前项、后项所表示的意义不同，不能随便调换前项和后项的顺序，如果调换了顺序，所表示的意义就不一样了
学习任务三
比、分数与除法之间的关系
探究新知
想一想，比与分数、除法有什么关系？与同伴交流。
15 : 10
＝15 ÷10
3
2
＝
想一想：
比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可以是0吗？
探究新知
15 : 10
＝15 ÷10
3
2
＝
联 系 区 别
除法
分数
比
被除数
除数
÷（除号）
商
分子
分母
分数值
（分数线）
前项
后项
:（比号）
比值
一种运算
一种数
表示两个量之间的关系
不能为0。
探究新知
比的后项为什么不能为0？
因为比的后项相当于除数或分母，除数、分母都不能为0。
用字母表示比和除法、分数之间的内在联系：
a：b
=a÷b
a
b
＝
（b≠0）
探究新知
如15：10也可以写成 ，仍读作“15比10”。
15
10
比也可以写成分数形式。
探究新知
足球比赛中的比分3：0与我们今天学习的比一样吗？
足球赛中记录的“3∶0”的意义只表示某一队与另一队比赛各得的进球分数，是一种计分形式，是比较大小的，它们之间是相差关系，不是相除关系。
课堂练习
基础题：
1.填一填。
姓名 从家到学校的路程（m） 从家到学校的时间（分）
小明 400 8
小丽 360 9
（1）小明和小丽所用时间的比是（ ）。
（2）小明和小丽所行路程的比是（ ）。
（3）小明所行路程和时间的比是（ ）。
（4）小丽所行路程和时间的比是（ ）。
8：9
400：360
400：8
360：9
课堂练习
基础题：
2.找出正确的比值。
4：5=（ ）
5
4
4
5
课堂练习
基础题：
2.找出正确的比值。
2
10：5=（ ）
1
2
课堂练习
基础题：
2.找出正确的比值。
1.5
21：14=（ ）
2
3
课堂练习
提高题：
3.有甲、乙两个正方形，甲的边长是7cm，乙的边长是8cm．写出下面各题的比，并求出比值。
（1）甲正方形边长与乙正方形边长的比是_____：_____，比值是_____。
（2）甲正方形周长与乙正方形周长的比是_____：_____，比值是_____。
（3）甲正方形面积与乙正方形面积的比是_____：_____，比值是_____。
7cm
8cm
7
8
7
8
28
32
28
32
49
64
49
64
课堂练习
拓展题：
4.在一道减法算式里，减数是被减数的 ，差与减数的比是多少？
4
9
减数是被减数的
4
9
减数与被减数的比是4:9
减数占4份，被减数占9份
差：9－4=5
答：差与减数的比是5:4。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我认识了比，还会求比值。
我还知道了比和分数、除法的联系与区别。
板书设计
比的认识
两个数相除又叫做两个数的比。
15比10记作15：10
10比15记作10：15
42252比90记作42252：90
15 : 10
＝15 ÷10
……
前
项
……
比
号
3
2
＝
……
后
项
……
比
值
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1.果园里有桃树123棵，苹果树200棵。
（1）桃树棵数与苹果树棵数的比是（ ）。
（2）苹果树棵数与桃树棵数的比是（ ）。
（3）桃树棵数与总棵数的比是（ ）。
（4）苹果树与总棵数的比是（ ）。
123：200
200：123
123：323
200：323
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
2. 根据题中条件把能组成的比写下来，并求出每个比的比值。
一台拖拉机第一天工作8小时，耕地12公顷；第二天工作6小时，耕地9公顷。
12∶8
=1.5
9∶6
=1.5
8∶6=
4
3
12∶9=
4
3
【知识技能类作业】
选做题：
1.判断。
（1）小强的身高是1米，爸爸的身高是175厘米，小强说他和爸爸的身高比是1：175。 （ ）
（2）把10克盐溶解到100克水中，盐和盐水的比是1:10。（ ）
（3）两个长方形的周长比是1:1，它们的面积比也是1:1。（ ）
×
×
×
分层作业
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.填一填。
小敏和小亮买同样的练习本。小敏买了6本，共花了12元；小亮买了8本，共花了16元。小敏和小亮买的练习本数量之比是( )﹕( )，比值是( )；花的钱数之比是( )﹕( )，比值是( )。
6
8
3
4
12
16
3
4
作业布置
找一找生活中的比，说说比的意义。
【综合实践类作业】
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《比》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“结合具体情境理解整数除法与分数的关系。在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感。能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识。能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生已经掌握了整数除法的意义、分数乘法的意义，以及解简易方程的基础上学习比的意义，求比值,利用比的基本性质化简比，并能解决按比例分配简单的实际问题。本单元借助实例让学生感受比在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。本单元的教学分为三个层次，即一是比的意义，二是理解比的基本性质，三是比的应用。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，六年级的学生已经掌握了整数除法的意义、分数乘法的意义，以及解简易方程，并且对比也有了一定的认识，为学习本单元知识打下了基础。 由于学生没有系统的学习这部分知识，学生在学习本单元时，需要将已知的除法知识与比的知识相结合，进一步理解和运用比的概念。
二、单元目标拟定
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，使学生理解比的意义，会求比值，知道比与分数、除法的关系，感受数学知识在日常生活中的应用价值。
2.理解并掌握比的基本性质，会应用比的基本性质化简比。
3.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。
4.在理解比的意义、探索比与分数、除法之间的关系以及比的基本性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解比的意义，会求比值，知道比与分数、除法的关系。
2.理解并掌握比的基本性质，会化简比，并能解决按照一定的比进行分配的实际问题。
（二）教学难点
1.理解比的意义和比的基本性质，会求比值、化简比。
2.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》提出:“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.在学习比的认识时，教材在编排上借助我国第一艘载人飞船的有关内容作为载体引出同类量的比、不同类量的比，在理解了比的现实背景的基础上逐步抽象出比的概念，理解比的意义。
2.教材在编排上注意引导学生结合比的意义，利用比与分数、除法的关系自主探索比的基本性质。
3.在学习解决按比分配的实际问题时，教材引导学生利用比的意义，把新问题转化为已经学过的平均分问题和分数乘法问题，沟通了知识之间的联系，进而提高了学生学习数学的兴趣。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比 比的意义 1
比的基本性质 1
比的应用 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《比的意义》 目标： 能借助生活具体情境理解比的意义，会读、写比，认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，并能正确求出比值。根据思考问题，进一步沟通比和除法、分数的联系 任务一：认识比 → 任务二：理解比的意义，知道比各部分的名称。 → 任务三：比、分数与除法之间的关系 → 1.能根据具体的情景，借助除法的意义写出同类量的比和不同类量的比。 2.理解比的意义，会读、写比，知道比各部分的名称。 3.根据分数和除法的关系和比的分数形式，理解并掌握比、分数与除法之间的联系与区别。
4.2《比的基本性质》 目标： 理解比的基本性质，并在理解比的基本性质的基础上，尝试化简比，并掌握化简的方法。 任务一：理解比的基本性质 → 任务二：化简比 → 1.根据比和除法、分数的关系，能概括出比的基本性质。 2.能运用比的基本性质化简比，并掌握化简的方法。
4.3《比的应用》 目标： 理解按比例分配的意义，掌握按比例分配应用题的结构特征以及解题方法，能正确解答按比例分配应用题。 任务一：阅读与理解 → 任务二：分析与解答 → 任务三：回顾与反思 → 1.能根据例题情景，捕捉例题中的已知条件与问题。 2.能根据平均分问题和分数乘法问题掌握按一定比例分配应用题的解题方法。 3.能根据题意检验结果的合理性。
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《4.1 比的意义》教学设计
课题 比的意义 单元 第四单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 教材精心选取了“神舟”五号这一现实素材作为载体，既富有教育意义，又能比较自然地引出比的两种情形。例1素材也是从中选取的，凸显情境的连续性和整体性。教材先给出两面长方形小旗的数据，引导学生讨论长与宽的关系。除了可以用减法表示它们之间的相差关系，还可以用除法表示它们的倍数关系。在此基础上直接指出：可以用比来表示它们之间的关系，由此引出同类量的比。接下来，教材介绍飞船的运行路程与时间，用除法表示出飞船进入轨道后的速度。在此基础上，直接指出还可以用比来表示路程和时间的关系，引出非同类量的比，使学生进一步认识比的意义以及比和除法的关系。教材在教学了可以用比来表示两个同类量或不同类量相除的关系的基础上，直接抽象出比的意义：两个数的比表示两个数相除。这一意义是后面求比值、推导比的基本性质的直接保证。接下来，给出比的写法、各部分名称以及比值的概念，并根据分数和除法的关系，给出比的分数形式的写法。在此基础上，根据思考问题，进一步沟通比和除法、分数的联系。
学习目标 1.学习目标描述：能借助生活具体情境理解比的意义，会读、写比，认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，并能正确求出比值。根据思考问题，进一步沟通比和除法、分数的联系。2.学习内容分析：本节课主要学习比的意义和比、分数、除法三者之间的联系与区别，为之后学习比的基本性质、化简比、求比值、比的应用和比例作准备。3.学科素养核心分析：经历从具体情境中抽象出比的意义的过程，提高抽象概括能力。经历探索比与分数、除法之间关系的过程，通过观察和思考，理解数学知识之间的内在联系，体会变中有不变的思想。
重点 结合实例，理解比的意义，会读、写比，认识比各部分的名称，掌握求比值的方法。
难点 理解比与分数、除法之间的关系，明确比与比值的区别。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.复习旧知（1）连一连。（用分数表示除法算式的结果）（2）分数与除法的联系和区别是什么？2.导入新课师：2003年10月15日，我国第一艘载人飞船神舟五号顺利升空。在太空中，执行此次任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了联合国旗帜和中华人民共和国国旗。课件出示：师：你们知道杨利伟吗？师：你们了解“神舟”五号吗？ 师：中国成功地将自己的第一批宇航员送入太空，成为继美国和俄罗斯之后第三个能够独立开展载人航天任务的国家，我国的航天技术在世界上已处于领先地位。 学生自主完成，然后集体订正。学生：杨利伟是中国“太空第一人”。……学生：“神舟”五号是我国第一艘载人航天飞船。…… 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识打基础。通过交流引入新课，使学生知道所研究的数学知识跟生活紧密联系，激发学生的学习积极性，从而为新课的开展奠定基础。
讲授新课 任务一：认识比1.同类量的比师：杨利伟展示的两面旗的长都是15 cm，宽都是10 cm。课件出示：师：怎样用算式表示它们长和宽的倍数关系？与同伴说说自己的想法。师：谁来说说？师：关于长与宽之间的倍数关系，除了用除法表示外，还可以用一种新的数学方法——“比”来表示。板书课题：比的意义师：刚才我们用15÷10表示长是宽的多少倍，可以说成长和宽的比是15比10。那么，10÷15表示宽是长的几分之几，怎样用比表示它们的关系呢？师：像这种两个量都表示长度，相比的两个量是同类量，叫做同类量的比。那么不同类的量可以相比吗？不同类量的比课件出示：神舟五号进入运行轨道后，在距地约350km的高空做圆周运动，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。师：怎样用算式表示飞船进入运行轨道后平均每分钟运行多少千米？师：其实，我们也可以用比来表示路程和时间的关系：路程和时间的比是42252比90，这个比不仅可以表示速度，还可以表示路程与时间的比。像这种比中的两个量，一个表示路程，一个表示时间，是不同类量，叫做不同类量的比。不同类量的比可以表示一个新的量。 学生独自思考，然后与同伴交流。学生1：可以用“15÷10”表示长是宽的多少倍。 学生2：也可以用“10÷15”表示宽是长的几分之几。 …… 学生：宽和长的比是10比15。 学生1：速度可以用“路程÷时间”表示。 学生2：我们用“42252÷90”表示平均每分钟运行多少千米。 借助教材给出的两面长方形小旗的数据，引导学生用除法表示长与宽的关系。在此基础上直接指出：可以用比来表示它们之间的关系，由此引出同类量的比。引导学生用除法表示出飞船进入轨道后的速度。在此基础上，引出非同类量的比，使学生进一步认识比。
任务二：理解比的意义，知道比各部分的名称师：观察、比较上面的比，它们有什么相同点？师：那么你知道比表示什么意思吗？师：是的，两个数相除又叫做两个数的比。15比10，记作15：10，那么10比15呢？师：42252比90呢？师揭示：“：”是比号。在十七世纪，数学家莱布尼兹认为，两个量的比，包含有除的意思，但又不能占用÷，于是他把除号中的小横线去掉，于是“： ”就成了比号。师：关于“比”，你还想知道哪些知识？课件出示——自学提示：自学教材47页，并用笔勾出认为关键的词语或句子，并思考：（1）比各部分的名称是什么？（2）怎样求一个比的比值？师：谁来说说？根据学生的回答，课件出示：在两个数的比中，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫作比值。师：那么比和比值一样吗？有什么区别？根据学生的回答，师小结：比表示一种关系，而比值是一个数，通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。师：想一想，15：10和10：15一样吗？师：它们有什么不同？师：是的，比的前项、后项所表示的意义不同，不能随便调换前项和后项的顺序，如果调换了顺序，所表示的意义就不一样了。 学生独自观察，然后回答：这三个比都表示相除的关系。学生：两个数的比表示两个数相除。学生：记作10:15。学生：记作42252：90。学生了解比号的来源。学生带着问题独自自学。学生自由说说。学生根据自己的理解自由说说。学生：不一样。学生1：15：10表示长是宽的多少倍，10:15表示宽是长的几分之几？ 采用自学的方式引导学生学习比，培养学生的自学能力，促进学生自主探究能力的发展。通过进一步交流，明确比的前项、后项所表示的意义不同，不能随便调换顺序。
任务三：比、分数与除法之间的关系师：想一想，比与分数、除法有什么关系？与同伴交流。课件出示——想一想：15:10=15÷10=比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可以是0吗？反馈：师：比的后项为什么不能为0？ 师：请尝试用字母表示比和除法、分数之间的内在联系。引导学生得出：a：b=a÷b=（b≠0）师强调：比也可以写成分数形式，如15：10也可以写成，仍读作“15比10”。师：足球比赛中的比分3:0与我们今天学习的比一样吗？引导学生理解：足球赛中记录的“3∶0”的意义只表示某一队与另一队比赛各得的进球分数，是一种计分形式，是比较大小的，它们之间是相差关系，不是相除关系。 学生独自思考，然后集体反馈。学生：因为比的后项相当于除数或分母，除数、分母都不能为0。 通过讨论交流，进一步认识比、分数与除法之间的联系与区别，感受知识之间的相互联系，同时帮助学生形成完整的知识体系。
课堂练习 基础题：1.填一填。（1）小明和小丽所用时间的比是（ ）。（2）小明和小丽所行路程的比是（ ）。（3）小明所行路程和时间的比是（ ）。（4）小丽所行路程和时间的比是（ ）。2.找出正确的比值。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.有甲、乙两个正方形，甲的边长是7cm，乙的边长是8cm．写出下面各题的比，并求出比值。 （1）甲正方形边长与乙正方形边长的比是_____：_____，比值是_____。（2）甲正方形周长与乙正方形周长的比是_____：_____，比值是_____。（3）甲正方形面积与乙正方形面积的比是_____：_____，比值是_____。
拓展题 4.在一道减法算式里，减数是被减数的，差与减数的比是多少？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 比的认识两个数相除又叫做两个数的比。15比10记作15：1010比15记作10：1542252比90记作42252：90 15 : 10 = 15 ÷ 10 = 前 比 后 比项 号 项 值 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.果园里有桃树123棵，苹果树200棵。（1）桃树棵数与苹果树棵数的比是（ ）。（2）苹果树棵数与桃树棵数的比是（ ）。（3）桃树棵数与总棵数的比是（ ）。（4）苹果树与总棵数的比是（ ）。2.根据题中条件把能组成的比写下来，并求出每个比的比值。 一台拖拉机第一天工作8小时，耕地12公顷；第二天工作6小时，耕地9公顷。选做题：1.判断。（1）小强的身高是1米，爸爸的身高是175厘米，小强说他和爸爸的身高比是1：175。 （ ） （2）把10克盐溶解到100克水中，盐和盐水的比是1:10。 （ ）（3）两个长方形的周长比是1:1，它们的面积比也是1:1。 （ ）2.填一填。小敏和小亮买同样的练习本。小敏买了6本，共花了12元；小亮买了8本，共花了16元。小敏和小亮买的练习本数量之比是( )﹕( )，比值是( )；花的钱数之比是( )﹕( )，比值是( )。
【综合实践类作业】找一找生活中的比，说说比的意义。
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