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《4.3 比的应用》教学设计
课题 比的应用 单元 第四单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例2让学生解决按比分配的实际问题，这一类问题与“和倍问题”实质相同。教材创设了一个日常生活中比较常见的配制清洁剂稀释液的问题情境，便于学生理解。教材按问题解决的三个步骤编排，旨在使学生经历问题解决的完整过程，尤其是养成审题和反思的习惯。教材在问题情境图中和解答过程中都采用直观图帮助学生清楚地看到量与量之间的关系，理解稀释瓶上标明的比表示的含义。教材介绍了两种解法：一种是把比看成份数之比，先求出每份是多少，再求几份是多少，即把此问题转化为整数的“归一问题”来解决；另一种是根据直观图和比的意义，算出浓缩液和水分别占总体的几分之几，把问题转化为求一个数的几分之几是多少，用分数乘法来解决。“回顾与反思”阶段，重新借助比的意义，检查浓缩液与水的体积之比化简后是否与题目中所给信息相符。
学习目标 1.学习目标描述：理解按比例分配的意义，掌握按比例分配应用题的结构特征以及解题方法，能正确解答按比例分配应用题。2.学习内容分析：本课是人教版小学数学六年级上册第四单元第三课比的应用。比的应用是在学生学习了比与分数的关系和掌握简单分数乘除法应用题的基础上，把比的知识运用于解决实际问题的一个重要内容，掌握按比分配的解题方法，不仅能有效解决一个数量按比分配的问题，也为以后学习比例和比例尺奠定了基础。3.学科素养核心分析：经历应用知识的过程，培养学生应用知识解决实际问题的能力。让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣,体验数学知识的应用价值。
重点 理解按比分配的意义，学会运用不同的方法解决按比分配的问题。
难点 正确分析、灵活解决按比分配的实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.复习旧知（1）填一填。梨树和苹果树的棵数比是5：7。①梨树和苹果树的总份数是（ ）份，其中梨树占（ ）份，苹果树占（ ）份。②把梨树和苹果树的总棵数看作单位“1”，梨树占其中的（ ），苹果树占其中的（ ）。一个农场计划把100公顷地平均分成2份，分别播种小麦和玉米。小麦和玉米各播种多少公顷 播种面积的比是多少？2.导入新课师：这是一道平均分配的应用题。在日常生活中还有一种分配方法也很广泛，那就是把一个数量按照一定的比来进行分配，即按比例分配。这就是今天我们要学的内容：比的应用。板书课题：比的应用 学生自主完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识打基础。通过交流引入新课，使学生知道所研究的数学知识跟生活紧密联系，激发学生的学习积极性，从而为新课的开展奠定基础。
讲授新课 任务一：阅读与理解师：小明的妈妈在超市购买了一个某种清洁剂浓缩液的稀释瓶。课件出示：李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？师：读一读，找找已知条件。师：“500 mL”表示什么？师：那么“1：4”表示什么？师：那么什么是稀释液？什么是浓缩液？根据学生的回答，师揭示：浓缩液是指含有高浓度溶质的溶液，其实在浓缩液中加入适量的水后配制出的液体就是稀释液，也就是说浓缩液加水等于稀释液。师：那么此题要求的问题是什么？ 学生独自阅读，然后自由说说：已知按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液。学生：500 mL是配好后的稀释液的体积。学生：1：4表示浓缩液和水的体积之比。学生根据自己的理解自由说说。学生：要求的是浓缩液和水的体积分别是多少？ 本环节的设计给学生提供了独立思考、选取有用信息并阐述理由的机会，培养学生通过读题获取信息、分析筛选信息的能力。
任务二：分析与解答师：你是怎么理解1:4的？课件出示：按1:4的比例配制500mL的稀释液，是把稀释液的体积平均分成（ ）份。其中，浓缩液的体积占（ ）份，水的体积占（ ）份。浓缩液占总体积的（ ），水占总体积的（ ）。师：怎样解决这个问题？把你的方法记录下来，然后与同伴交流你的想法。师：谁来说说你是怎样想的？每份是：500÷5=100（mL）浓缩液：100×1=100（mL）水有：100×4=400（mL）师：通过画图，你发现了什么？根据学生的回答，师小结：根据比的意义计算，看看一共分成几份，先平均分，求出每份的具体数量，再各取所需，乘各自分得的份数。师：还可以怎么做？展示：浓缩液有：500×=100（mL）水有：500×=400（mL）师：原来还可以根据比与分数的关系，先看看每种物体占总数的几分之几，再用分数乘法来解答。还可以怎么解答？展示：浓缩液+水=稀释液解：设每份有xmL，那么浓缩液有xmL，水有4xmL。 x+4x=500 x=1004x=4×100=400 学生独自思考，然后集体反馈。学生独自思考，并记录自己的方法，然后与同伴交流。学生：把总体积平均分成5份。学生自由说说。学生：按1:4的比例配制，浓缩液占总体积的，水占总体积的。学生：我先找出相等的数量关系，设每份有xmL，用方程解答。 让学生尝试用多种方法解决问题，拓展学生的思路，将学生已有的经验与这节课新的知识增长点有机的联系起来，使学生能够比较轻松地掌握新的解决问题的办法。
任务三：回顾与反思师：大家的解答对吗？用自己喜欢的方法尝试检验。师巡视指导，并提问：你们是怎样检验的？展示：浓缩液体积：水的体积 =100:400 =1:4浓缩液和水的体积之比的确是1：4，正确。师：用这种方法检验，需要注意什么？师：还可以怎么检验？展示：100+400=500（mL）把求得的浓缩液和水的体积相加的确等于稀释液的体积，正确。师：我们一起写出答语。师：解决按比例分配问题有三种方法：课件出示：方法一：①可以先找出总数量，再求出总份数。②总数量除以总份数得到每份的数量。③每份的量乘以各部分的份数得到各部分的量。方法二：先求出各部分量占总量的几分之几，再用总数量乘以各个部分量的分数，得到各部分的量。方法三：先设每份的量为 x ，再用每份的量乘分成的份数，表示各部分量，最后根据部分量＋部分量＝总量列方程解答。 学生独自检验。学生：看看浓缩液和水的体积之比是不是1:4。学生：要看清楚1：4到底是哪两个量的比。学生：把求得的浓缩液和水的体积相加，看是不是等于稀释液的体积。学生口答。 通过检验结果的合理性培养学生养成良好的检查习惯。
课堂练习 基础题：1.一批电脑按3∶4分配给甲、乙两个学校，甲学校分到60台，乙学校分到多少台？2.六年级（1）班和二年级（2）班共同承担了面积为100平方米的卫生区保洁任务，如果按3：2分配保洁区，每个班的保洁区是多少平方米？ 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.一个直角三角形的两个锐角的比是2：1，这个三角形两个锐角分别是多少度
拓展题 4.甲、乙两车同时从AB两地出发，相向而行，经过5小时相遇，相遇时乙车行了180千米，如果甲、乙两车的速度比是5∶6，那么AB两地相距多少千米
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 比的应用方法一：每份是：500÷5=100（mL）浓缩液：100×1=100（mL）水有：100×4=400（mL）方法二：浓缩液有：500×=100（mL）水有：500×=400（mL） 方法三：浓缩液+水=稀释液解：设每份有xmL，那么浓缩液有xmL，水有4xmL。 x+4x=500 x=1004x=4×100=400答：浓缩液有100mL，水有400mL。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.一批化肥共有280吨，按1∶2∶4分配给3个小组，每个小组各分得多少吨？2.一根铁丝长15厘米，按照长和宽的比是3∶2折成一个长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 选做题：1.一个长方体棱长的总和是72分米，长、宽、高的比是5：3：1，它的体积是多少立方分米？2.把140颗糖果按人数分配给幼儿园大、中、小班，大班有15人，中班25人，小班有30人。三个班各应分得多少颗糖果？
【综合实践类作业】找找生活中按比例分配的实例，与同伴说说。
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《比》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“结合具体情境理解整数除法与分数的关系。在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感。能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识。能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生已经掌握了整数除法的意义、分数乘法的意义，以及解简易方程的基础上学习比的意义，求比值,利用比的基本性质化简比，并能解决按比例分配简单的实际问题。本单元借助实例让学生感受比在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。本单元的教学分为三个层次，即一是比的意义，二是理解比的基本性质，三是比的应用。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，六年级的学生已经掌握了整数除法的意义、分数乘法的意义，以及解简易方程，并且对比也有了一定的认识，为学习本单元知识打下了基础。 由于学生没有系统的学习这部分知识，学生在学习本单元时，需要将已知的除法知识与比的知识相结合，进一步理解和运用比的概念。
二、单元目标拟定
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，使学生理解比的意义，会求比值，知道比与分数、除法的关系，感受数学知识在日常生活中的应用价值。
2.理解并掌握比的基本性质，会应用比的基本性质化简比。
3.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。
4.在理解比的意义、探索比与分数、除法之间的关系以及比的基本性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解比的意义，会求比值，知道比与分数、除法的关系。
2.理解并掌握比的基本性质，会化简比，并能解决按照一定的比进行分配的实际问题。
（二）教学难点
1.理解比的意义和比的基本性质，会求比值、化简比。
2.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》提出:“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.在学习比的认识时，教材在编排上借助我国第一艘载人飞船的有关内容作为载体引出同类量的比、不同类量的比，在理解了比的现实背景的基础上逐步抽象出比的概念，理解比的意义。
2.教材在编排上注意引导学生结合比的意义，利用比与分数、除法的关系自主探索比的基本性质。
3.在学习解决按比分配的实际问题时，教材引导学生利用比的意义，把新问题转化为已经学过的平均分问题和分数乘法问题，沟通了知识之间的联系，进而提高了学生学习数学的兴趣。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比 比的意义 1
比的基本性质 1
比的应用 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《比的意义》 目标： 能借助生活具体情境理解比的意义，会读、写比，认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，并能正确求出比值。根据思考问题，进一步沟通比和除法、分数的联系 任务一：认识比 → 任务二：理解比的意义，知道比各部分的名称。 → 任务三：比、分数与除法之间的关系 → 1.能根据具体的情景，借助除法的意义写出同类量的比和不同类量的比。 2.理解比的意义，会读、写比，知道比各部分的名称。 3.根据分数和除法的关系和比的分数形式，理解并掌握比、分数与除法之间的联系与区别。
4.2《比的基本性质》 目标： 理解比的基本性质，并在理解比的基本性质的基础上，尝试化简比，并掌握化简的方法。 任务一：理解比的基本性质 → 任务二：化简比 → 1.根据比和除法、分数的关系，能概括出比的基本性质。 2.能运用比的基本性质化简比，并掌握化简的方法。
4.3《比的应用》 目标： 理解按比例分配的意义，掌握按比例分配应用题的结构特征以及解题方法，能正确解答按比例分配应用题。 任务一：阅读与理解 → 任务二：分析与解答 → 任务三：回顾与反思 → 1.能根据例题情景，捕捉例题中的已知条件与问题。 2.能根据平均分问题和分数乘法问题掌握按一定比例分配应用题的解题方法。 3.能根据题意检验结果的合理性。
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第三课时
比的应用
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
理解按比例分配的意义，掌握按比例分配应用题的结构特征以及解题方法，能正确解答按比例分配应用题。
01
02
经历应用知识的过程，培养学生应用知识解决实际问题的能力。
03
让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣,体验数学知识的应用价值。
新知导入
1.填一填。
梨树和苹果树的棵数比是5：7。
①梨树和苹果树的总份数是（ ）份，其中梨树占（ ）份，苹果树占（ ）份。
②把梨树和苹果树的总棵数看作单位“1”，梨树占其中的（ ），苹果树占其中的（ ）。
12
5
7
5
12
7
12
新知导入
2.一个农场计划把100公顷地平均分成2份，分别播种小麦和玉米。小麦和玉米各播种多少公顷？播种面积的比是多少？
100÷2=50（公顷）
50公顷：50公顷
=1：1
答：小麦和玉米各播种50公顷，播种面积的比是1：1。
新知导入
你知道吗？
在日常生活中还有一种分配方法也很广泛，那就是把一个数量按照一定的比来进行分配，即按比例分配。
学习任务一
阅读与理解
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分
别是多少？
这是某种清洁剂浓缩液的稀释瓶，瓶子上标明的比表示浓缩液和水的体积之比。按照这些比，可以配制出不同浓度的稀释液。
已知按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液。
500 mL是配好后的稀释液的体积。
1：4表示浓缩液和水的体积之比。
探究新知
在浓缩液中加入适量的水后配制出的液体就是稀释液。
浓缩液是指含有高浓度溶质的溶液。
什么是稀释液？什么是浓缩液？
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
探究新知
浓缩液
稀释液
浓缩液
水
稀释液
+水=
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分
别是多少？
这是某种清洁剂浓缩液的稀释瓶，瓶子上标明的比表示浓缩液和水的体积之比。按照这些比，可以配制出不同浓度的稀释液。
要求的问题是什么？
要求的浓缩液和水的体积分别是多少？
学习任务二
分析与解答
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
按1:4的比例配制500mL的稀释液，是把稀释液的体积平均分成（ ）份。其中，浓缩液的体积占（ ）份，水的体积占（ ）份。浓缩液占总体积的（ ），水占总体积的（ ）。
500毫升稀释液
浓缩液1份
水4份
5
1
4
1
5
4
5
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
学习任务：
怎样解决这个问题？把你的方法记录下来，然后与同伴交流你的想法。
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
把总体积平均分成5份。
浓缩液
1：4
（500mL）
水
每份是：500÷5=100（mL）
浓缩液：100×1=100（mL）
水有：100×4=400（mL）
探究新知
通过画图，你发现了什么？
根据比的意义计算，看看一共分成几份，先平均分，求出每份的具体数量，再各取所需，乘各自分得的份数。
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
浓缩液
1：4
（500mL）
水
按1:4的比例配制，浓缩液占总体积的 ，水占总体积的 。
1
1+4
4
1+4
浓缩液有：
500× =
1
1+4
100（mL）
水有：
500× =
4
1+4
400（mL）
探究新知
根据比与分数的关系，先看看每种物体占总数的几分之几，再用分数乘法来解答。
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
先找出相等的数量关系，设每份有xmL，用方程解答。
浓缩液+水=稀释液
解：设每份有xmL，那么浓缩液有xmL，水有4xmL。
x+4x=500
x=100
4x=4×100=400
学习任务三
回顾与反思
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
学习任务：
大家的解答对吗？用自己喜欢的方法尝试检验。
你们是怎样检验的？
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
看看浓缩液和水的体积之比是不是1:4。
浓缩液体积：水的体积
=100:400
=1:4
浓缩液和水的体积之比的确是1：4，正确。
要看清楚1：4到底是哪两个量的比。
探究新知
李阿姨按1：4的比配制了一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少？
把求得的浓缩液和水的体积相加，看是不是等于稀释液的体积。
100+400=500（mL）
把求得的浓缩液和水的体积相加的确等于稀释液的体积，正确。
浓缩液+水=稀释液
答：浓缩液有100mL，水有400mL。
探究新知
解决按比例分配问题有三种方法：
方法一：
①可以先找出总数量，再求出总份数。
②总数量除以总份数得到每份的数量。
③每份的量乘以各部分的份数得到各部分的量。
探究新知
解决按比例分配问题有三种方法：
方法二：
先求出各部分量占总量的几分之几，再用总数量乘以各个部分量的分数，得到各部分的量。
探究新知
解决按比例分配问题有三种方法：
方法三：
先设每份的量为 x ，再用每份量乘分成的份数，表示各部分量，最后根据部分量＋部分量＝总量列方程解答。
课堂练习
基础题：
1. 一批电脑按3∶4分配给甲、乙两个学校，甲学校分到60台，乙学校分到多少台？
60÷3=20（台）
20×4=80（台）
答：乙学校分到80台。
课堂练习
基础题：
2.六年级（1）班和二年级（2）班共同承担了面积为100平方米的卫生区保洁任务，如果按3：2分配保洁区，每个班的保洁区是多少平方米？
六年级（1）班：
100× =
3
3+2
60（平方米）
六年级（2）班：
100× =
2
3+2
40（平方米）
答：六年级(1)班的保洁区是60平方米，二年级(2)班的保洁区是40平方米。
课堂练习
提高题：
3.一个直角三角形的两个锐角的比是2：1，这个三角形两个锐角分别是多少度
90× =
2
2+1
60（度）
90× =
1
2+1
30（度）
答：这个三角形两个锐角分别是60度和30度。
课堂练习
拓展题：
4.甲、乙两车同时从AB两地出发，相向而行，经过5小时相遇，相遇时乙车行了180千米，如果甲、乙两车的速度比是5∶6，那么AB两地相距多少千米
180÷5=36（千米/小时）
36÷6×5=30（千米/小时）
（36+30）×5=330（千米）
答：AB两地相距330千米。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了按比分配的意义。
我学会按比分配问题的解法。
板书设计
比的应用
方法一：每份是：500÷5=100（mL）
浓缩液：100×1=100（mL）
水有：100×4=400（mL）
方法二：浓缩液有：
水有：
500× =
1
1+4
100（mL）
500× =
4
1+4
400（mL）
板书设计
比的应用
方法三：浓缩液+水=稀释液
解：设每份有xmL，那么浓缩液有xmL，水有4xmL。
x+4x=500
x=100
4x=4×100=400
答：浓缩液有100mL，水有400mL。
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1.一批化肥共有280吨，按1∶2∶4分配给3个小组，每个小组各分得多少吨？
280× =
1
1+2+4
40（吨）
280× =
2
1+2+4
80（吨）
280× =
4
1+2+4
160（吨）
答：每个小组各分得40吨、80吨和160吨。
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
2. 一根铁丝长15厘米，按照长和宽的比是3∶2折成一个长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？
15÷2=7.5（厘米）
长：7.5× =
3
3+2
4.5（厘米）
宽：7.5× =
2
3+2
3（厘米）
面积：4.5×3=13.5（平方厘米）
答：这个长方形的面积是13.5平方厘米。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
1.一个长方体棱长的总和是72分米，长、宽、高的比是5：3：1，它的体积是多少立方分米？
72÷4=18（分米）
长：18× =
5
5+3+1
10（分米）
宽：18× =
3
5+3+1
6（分米）
高：18× =
1
5+3+1
2（分米）
体积：10×6×2=120（立方分米）
答：它的体积是120立方分米。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.把140颗糖果按人数分配给幼儿园大、中、小班，大班有15人，中班25人，小班有30人。三个班各应分得多少颗糖果？
三个班的人数比是3：5：6。
大班：140× =
3
3+5+6
30（颗）
中班：140× =
5
3+5+6
50（颗）
小班：140× =
6
3+5+6
60（颗）
答：大班分得30颗，中班分得50颗，小班分得60颗。
作业布置
【综合实践类作业】
找找生活中按比例分配的实例，与同伴说说。
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