2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年贵州省贵阳市部分学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某同学测得连续天的最低气温单位：分别为，，，，，，，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.设等比数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
6.在正方体中，为的中点，为的中点，则下列直线与不垂直的是( )
A. B. C. D.
7.已知点在抛物线：上，过点作圆：的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为( )
A. B. C. D.
8.若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数满足，则( )
A. 为纯虚数
B.
C. 的实部不存在
D. 复数在复平面内对应的点在第二象限
10.已知函数的定义域为，对所有的，，都有，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 在上可能单调递增 D. 在上可能单调递减
11.已知椭圆：的离心率为，焦点为，，则( )
A. 的短轴长为
B. 上存在点，使得
C. 上存在点，使得
D. 与曲线重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量若，，三点共线，则 ______．
13.设是等差数列的前项和，且为常数，则 ______．
14.甲、乙、丙等名学生准备利用暑假时间从，，三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
已知，求面积的最大值．
16.本小题分
某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为元已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
求甲获得资格证书所花费用不超过元的概率；
记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别为棱，的中点，．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
若动直线与双曲线恰有个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
19.本小题分
若定义在区间上的函数满足对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”．
若是上的“好函数”，求的取值范围．
证明：是上的“好函数”．
设，证明：．
参考答案
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15.解：因为，所以由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即因为，所以，
所以，即，又，所以；
由余弦定理可知，即，
因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，
则的面积为，即面积的最大值为．
16.解：甲三个项目全部通过，所花费用为，概率，
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为元，
概率，
所以甲获得资格证书所花费用不超过元的概率为；
由知，不需要培训就获得资格证书的概率为，
的可能取，，，，显然，
则，，
，，
所以的分布列为：
期望．
17.解：证明：取为的中点，连接，，
因为为棱的中点，所以，且，
又为棱的中点，所以，
因为且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
取为的中点，为的中点，连接，，
因为为正三棱柱，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
可得，
又是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：双曲线中，设一个焦点，一条渐近线方程为．
焦点到渐近线的距离为．
实轴长是虚轴长的倍，所以，
双曲线的标准方程为；
证明：当直线的斜率不存在时，直线与双曲线恰有个公共点，
则的方程为，，．
当直线的斜率存在时，设直线：，且．
由得，
，可得．
由得．
设与的交点为，则，同理，
，
．
原点到直线的距离，．
，，故的面积为定值，且定值为．
19.解：由题可知任意，，且，，
即，解得，
因为，所以，即的取值范围为．
证明：设，，
则，
令，且，，，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”．
证明：由可知，当时，，
令，，，则，即，
故，
化简可得．
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