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25.2 用列举法求概率 分层作业
基础训练
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，写出所有可能的情况是解题关键．设小明、小红、小刚3位同学分别为A、B、C，根据写出所有可能的排列情况，再找出小明、小刚两人恰好相邻的情况，利用概率公式求解即可．
【详解】解：设小明、小红、小刚3位同学分别为A、B、C，
则可能的情况有：、、、、、，共6种，
其中小明、小刚两人恰好相邻的情况有：、、、，共4种，
小明、小刚两人恰好相邻的概率是，
故选：C
2．（22-23九年级上·河南新乡·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，树状图如下，
由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故选：A．
3．（23-24九年级上·河南商丘·期末）甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”：乙口袋中装有3个相同的小球，它们上面分别写有“重庆”“湖北”和“辽宁”：丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”从三个口袋中各随机取出1个小球，则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是（ ）
（参考资料：长江流经青海、四川，云南、湖北、安徽、上海等省级行政区）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先求得取出的3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：设“北京”、“青海”、“重庆”、“湖北”、“辽宁”、“香港”、“上海”分别为A、B、C、D、E、H、I，
根据题意画树状图得：
恰好都是长江流经的省级行政区的情况有2种，
则取出的3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是．
故选：C．
4．（2023·安徽池州·三模）为激发青少年对科学的兴趣，某校组织了中学生应急科普教育活动，九（1）班的小安和另外2名学生以及九（2）班的小徽、小美共5名学生成绩名列前茅．若学校决定从九（1）班的这3名学生中抽取1人，从九（2）班的这2名学生中抽取1人共同去参观防灾减灾科普馆，则抽到的恰好是小安和小徽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率为所求情况数与总情况数之比，熟练掌握知识点以及概率计算公式是解题的关键．
根据题意列出表格，由表格找出所有的等可能结果数以及抽到小安和小徽的结果，再根据概率计算公式计算即可．
【详解】解：由题意可列表为
小安 学生A 学生B
小徽 小安/小徽 学生A/小徽 学生B/小徽
小美 小安/小美 学生A/小美 学生B/小美
所有的等可能结果有6种，其中抽到小安和小徽只有1种情况，
∴抽到小安和小徽的概率为：，
故选：C．
5．（20-21九年级上·山东烟台·期末）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，正确画出树状图成为解题的关键．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可解答．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，
∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=．
故答案为：．
6．（2023·河南南阳·二模）从边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形中任选两种不同的正多边形，能够进行平面镶嵌的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据列表法得出所有可能的结果，找到“两种正多边形的整数倍之和等于”的结果，根据概率公式，即可求解，
本题考查了列表法求概率，平面镶嵌，解题的关键是：找到能够进行平面镶嵌的结果．
【详解】解：分别用、、、、，表示正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，列表如下：
由列表可知，所以可能的结果共有20个，能够进行平面镶嵌的有：、、、、、，6个，
∴能够进行平面镶嵌的概率为：，
故选：B．
7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，且与甲没有接触，丙称为次密切接触者．经调查，发现的接触情况如图所示．若两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段．已知是确诊感染者，则从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，正确理解题意和利用概率公式是关键．
根据概率公式计算即可．
【详解】解：由题意可知B，D，F为密切接触者，C、E为次密切接触者，
∴从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为．
故选：C．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期末）小聪、小明和小亮做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：由小聪和小明做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小亮获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小聪和小明中的获胜者．此游戏中，获胜概率最大的是（ ）
A．小聪 B．小明 C．小亮 D．一样大
【答案】D
【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小亮获胜的结果数、小聪获胜的结果数、小明获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，
其中小亮获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小聪获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小明获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种，，
∴小亮获胜的概率为，小聪获胜的概率为，小明获胜的概率为．
∴小亮、小明、小聪获胜的概率一样大，
故选：D．
9．（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测
【答案】A
【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答．
【详解】列表如下：
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：；
指针指向的数的和为非正数的概率为：；
∵，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中，，表示电路的开关，，，表示小灯泡．当随机闭合开关，，中的两个时，有两个灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【详解】列表如下：
共有6种情况，必须闭合开关、有两个灯泡发光，
即能让灯泡发光的概率是 ，
故选B．
11．（2023·贵州黔西·模拟预测）如图，有三条绳子穿过一片木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意，画出树状图，由树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】解：设三条绳子分别用表示，画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中两人选到同一条绳子的结果有种，
∴两人选到同一条绳子的概率为．
故答案为：.
12．（2023·重庆铜梁·模拟预测）有四张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，，，将这四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，不放回再抽一张，卡片上的数字记为，则与的积为正数的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查树状图法求概率，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，从中找出符合条件的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中与的积为正数的结果有种，
与的积为正数的概率是，
故答案为：．
13．（2023·河南南阳·一模）通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查树状图求概率，先画出树状图，找到符合条件的情况，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：树状图如下：
由图可得，一共12种等可能的情况，两瓶恰好都变蓝的情况有2种，
概率为：，
故答案为：．
14．（2024·江西·一模）“抚州是个有梦有戏的好地方”这是江西抚州文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西抚州四个景点（A．文昌里；B．三翁花园；C．名人雕塑园；D．仙盖山）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D．
(1)小强抽一次签，他恰好抽到A景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小强、小红抽到同一景点的概率．
【答案】(1)随机
(2)
【分析】本题考查了事件的分类以及画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据随机事件的定义：发生的概率在之间的事件为随机事件，进行作答即可．
（2）依题意，画树状图，得出一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种，再代入概率公式进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，小强抽一次签，他恰好抽到A景区是随机事件，
故答案为：随机．
（2）解：画树状图如下所示．
一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种，
小强、小红恰好抽到同一景点的概率为
15．（2023·江苏常州·模拟预测）近来流行微信群抢红包游戏，欢欢与乐乐是双胞胎，他们同在一个微信群中，这天，有人发了一次拼手气红包，红包个数为5个，且每人抢到的红包的金额均不相同，欢欢与乐乐都各抢到了一个红包．
(1)他们俩抢到的红包有一个是手气最佳的概率是多少？请用树状图说明．
(2)他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的概率是多少？请用树状图说明．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）先根据题意画出树状图，再根据概率公式计算；
（2）根据（1）中画出的树状图求解即可．
【详解】（1）解：把5个红包从大到小依次记为：1、2、3、4、5，画树状图如下：
由树状图可知，一共有20种等可能结果，其中他俩抢到的红包有一个是手气最佳的有8种结果，
所以他们俩抢到的红包有一个是手气最佳的概率是：；
（2）解：由（1）中树状图可知，他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的结果有2种，
所以他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的概率为：．
16．（2023·山东青岛·模拟预测）为庆祝中国共产党成立100周年，某地开展“永远跟党走”群众性主题宣传教育活动，现要选一名志慝服务人员，甲、乙两人都想参加，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则甲获胜，若两次数字之和为偶数，则乙获胜．
(1)请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果 ；
(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)，，，，，，，，
(2)这个游戏对甲、乙双方不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
（1）根据题意画出树状图即可得出答案；
（2）根据画出树状图，然后求出甲、乙获胜的概率，进行判断即可．
【详解】（1）解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，分别是，，，，，，，，．
（2）解：∵共有9种等可能的情况数，其中两次数字之和为奇数的有4种，两次数字之和为偶数的有5种，
∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，
∵，
∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
17．（2023·江苏无锡·模拟预测）小红同学参加了校七年级数学能力竞赛，试卷中有20道选择题，每个选择题都有A，B，C，D四个选项，其中只有一项符合题目要求．
(1)第15题把小红难住了，于是她随意涂了一个选项C，则她“蒙”对的概率是 ．
(2)第14题：“……，则下列结论正确的是”小红确定选项A明显与某个基本实事矛盾，但是她无法确定B，C，D三个选项的正误，只好从这三个选项中任选一个，则她“蒙”对的概率是 ．
(3)第13题：“……，则下列结论正确的是”小红确定C，D两个选项绝对错误，但是对A，B两个选项到底哪个正确无法确定．请用树状图法求小红把第13题和第14题都“蒙”对的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可；
（2）利用简单地概率计算公式求解即可；
（3）利用画树状图法计算概率．
本题考查了概率的计算，画树状图，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键．
【详解】（1）A，B，C，D四个选项，其中只有一项符合题目要求，她随意涂了一个选项C，则她“蒙”对的概率是，
故答案为：．
（2）A，B，C，D四个选项，其中只有一项符合题目要求，排除A，还有B，C，D三种等可能性，她“蒙”对的概率是，
故答案为：．
（3）根据题意，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小红把第13题和第14题都“蒙”对的结果数为1，
所以小红把第13题和第14题都“蒙”对的概率是．
18．（2023·山东青岛·二模）小明和小李用两个转盘做游戏，如图，两个可以自由转动的转盘甲，乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，在转盘甲每个扇形上分别标上数字1，2，3，4，在转盘乙每个扇形上分别标上数字，，．同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为大于1时，小明获胜；数字之和小于1时，小李获胜，其他情况视为平局．如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【分析】此题考查了游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．画树状图，共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和大于1的结果有3种，小于1的结果有6种，再由概率公式求出小明获胜的概率和小李获胜的概率，然后比较即可．
【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和大于1的结果有3种，小于1的结果有6种，
小明获胜的概率，小李获胜的概率，
，
这个游戏对双方不公平．
19．（2023·四川成都·模拟预测）国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“非常关注”航天科技的人数共多少人？
(4)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
【答案】(1)50，
(2)见解析
(3)人
(4)
【分析】本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识．
（1）由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；用关注的人数所占百分比乘以即可得到“关注”对应扇形的圆心角的度数；
（2）求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校共有人数乘以该校 “非常关注”航天科技的人数所占的比例即可；
（4）画树状图或列表，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（人），
，
故答案为：50；；
（2）解：“非常关注”的人数为：（人），补全条形统计图如下：
（3）解：由题意可得：（人），
答：估计该校 “非常关注”航天科技的人数共288人；
（4）解：如表所示：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能结果，其中抽到A、B两位的结果有2种：，，
．
画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中抽到A、B两位的结果有2种：，，
．
能力提升
20．（2023·浙江杭州·一模）《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书，标志着中国古代数学的高峰．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》．某中学拟从《算经十书》专著中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选1部专著恰好是《周髀算经》的概率为 ；若点点同学从《九章算术》、《五经算术》、《缀术》中恰好选中《九章算术》《五经算术》的概率为 ．
【答案】 /0.2
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出表格或画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：分别用1，2，3，4，5，6，7，8，9，10表示这十部书，列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由表格可知，一共有90种等可能性的结果数，其中所选1部专著恰好是《周髀算经》的结果数有种，
∴所选1部专著恰好是《周髀算经》的概率为；
设分别用A、B、C表示《九章算术》、《五经算术》、《缀术》，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好选中《九章算术》《五经算术》的结果数有2种，
∴恰好选中《九章算术》《五经算术》的概率为；
故答案为：；．
21．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）现有张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张记为，则，能使关于，的二元一次方程组满足的概率为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查列表法与树状图法、解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式，由二元一次方程组可得，若满足，即画树状图得出所有等可能的结果数以及满足的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】
解：，
，得，
若满足，
则，即．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中满足的结果有，，共种，
，能使关于，的二元一次方程组满足的概率为．
故答案为：．
22．（2023·江苏南通·模拟预测）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球1个，蓝球1个，黄球若干个．已知从中任意摸出一个球是红球的概率是．
(1)求布袋中的黄球的个数；
(2)现规定：摸到红球得4分，摸到蓝球得3分，摸到黄球得2分，甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用树状图或列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于6分的概率．
【答案】(1)2个
(2)
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，概率公式，以及用树状图或列表法求概率等知识．
（1）设布袋中黄球的个数为x个，根据概率公式列出分式方程，求解即可．
（2）画出树状图，列出等可能的结果和一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于6分的结果，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：设布袋中黄球的个数为x个，
根据题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：布袋中黄球的个数为2个；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于6分的结果有6个，
∴一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于6分的概率为．
23．（2023·山东青岛·二模）小明和小丽在做一个“配紫色”游戏：一个不透明的袋子中装有1个白球，1个蓝球和2个红球，它们除颜色外都相同．从中摸出2个球，一个是红色，一个是蓝色，则可以配成紫色，小明从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀；搅匀后，再从中摸出1个球，小丽从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出一个，这个游戏公平吗，为什么？
【答案】不公平，理由见解析
【分析】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式分别计算出两人获胜的概率，比较是否相等即可得出答案．
【详解】
解：不公平，理由如下：
小明摸球情况列表如下：
白 蓝 红 红
白 （白，白） （蓝，白） （红，白） （红，白）
蓝 （白，蓝） （蓝，蓝） （红，蓝） （红，蓝）
红 （白，红） （蓝，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （蓝，红） （红，红） （红，红）
由表知，共有16种等可能结果，
所以小明获胜的概率为；
小丽摸球情况列表如下：
白 蓝 红 红
白 （蓝，白） （红，白） （红，白）
蓝 （白，蓝） （红，蓝） （红，蓝）
红 （白，红） （蓝，红） （红，红）
红 （白，红） （蓝，红） （红，红）
由表知，共有12种等可能结果，
所以小丽获胜的概率为，
∵，
∴此游戏不公平．中小学教育资源及组卷应用平台
25.2 用列举法求概率 分层作业
基础训练
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）小明、小红、小刚3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么小明、小刚两人恰好相邻的概率是（ ）．
A． B． C． D．
2．（22-23九年级上·河南新乡·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·河南商丘·期末）甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”：乙口袋中装有3个相同的小球，它们上面分别写有“重庆”“湖北”和“辽宁”：丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”从三个口袋中各随机取出1个小球，则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是（ ）
（参考资料：长江流经青海、四川，云南、湖北、安徽、上海等省级行政区）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽池州·三模）为激发青少年对科学的兴趣，某校组织了中学生应急科普教育活动，九（1）班的小安和另外2名学生以及九（2）班的小徽、小美共5名学生成绩名列前茅．若学校决定从九（1）班的这3名学生中抽取1人，从九（2）班的这2名学生中抽取1人共同去参观防灾减灾科普馆，则抽到的恰好是小安和小徽的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21九年级上·山东烟台·期末）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南南阳·二模）从边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形中任选两种不同的正多边形，能够进行平面镶嵌的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，且与甲没有接触，丙称为次密切接触者．经调查，发现的接触情况如图所示．若两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段．已知是确诊感染者，则从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·河南郑州·期末）小聪、小明和小亮做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则如下：由小聪和小明做“石头、剪刀、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小亮获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小聪和小明中的获胜者．此游戏中，获胜概率最大的是（ ）
A．小聪 B．小明 C．小亮 D．一样大
9．（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测
10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在物理课上，某实验的电路图如图所示，其中，，表示电路的开关，，，表示小灯泡．当随机闭合开关，，中的两个时，有两个灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·贵州黔西·模拟预测）如图，有三条绳子穿过一片木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子．若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为 ．
12．（2023·重庆铜梁·模拟预测）有四张背面完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字，，，，将这四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为，不放回再抽一张，卡片上的数字记为，则与的积为正数的概率是 ．
13．（2023·河南南阳·一模）通常情况下紫色石蕊试液遇酸性变红色，遇碱性溶液变蓝色．老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是A．盐酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氢氧化钠溶液（呈碱性），b．氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．学生小徐同时任选两瓶溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为 ．
14．（2024·江西·一模）“抚州是个有梦有戏的好地方”这是江西抚州文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西抚州四个景点（A．文昌里；B．三翁花园；C．名人雕塑园；D．仙盖山）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D．
(1)小强抽一次签，他恰好抽到A景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小强、小红抽到同一景点的概率．
15．（2023·江苏常州·模拟预测）近来流行微信群抢红包游戏，欢欢与乐乐是双胞胎，他们同在一个微信群中，这天，有人发了一次拼手气红包，红包个数为5个，且每人抢到的红包的金额均不相同，欢欢与乐乐都各抢到了一个红包．
(1)他们俩抢到的红包有一个是手气最佳的概率是多少？请用树状图说明．
(2)他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的概率是多少？请用树状图说明．
16．（2023·山东青岛·模拟预测）为庆祝中国共产党成立100周年，某地开展“永远跟党走”群众性主题宣传教育活动，现要选一名志慝服务人员，甲、乙两人都想参加，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则甲获胜，若两次数字之和为偶数，则乙获胜．
(1)请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果 ；
(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
17．（2023·江苏无锡·模拟预测）小红同学参加了校七年级数学能力竞赛，试卷中有20道选择题，每个选择题都有A，B，C，D四个选项，其中只有一项符合题目要求．
(1)第15题把小红难住了，于是她随意涂了一个选项C，则她“蒙”对的概率是 ．
(2)第14题：“……，则下列结论正确的是”小红确定选项A明显与某个基本实事矛盾，但是她无法确定B，C，D三个选项的正误，只好从这三个选项中任选一个，则她“蒙”对的概率是 ．
(3)第13题：“……，则下列结论正确的是”小红确定C，D两个选项绝对错误，但是对A，B两个选项到底哪个正确无法确定．请用树状图法求小红把第13题和第14题都“蒙”对的概率．
18．（2023·山东青岛·二模）小明和小李用两个转盘做游戏，如图，两个可以自由转动的转盘甲，乙，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，在转盘甲每个扇形上分别标上数字1，2，3，4，在转盘乙每个扇形上分别标上数字，，．同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为大于1时，小明获胜；数字之和小于1时，小李获胜，其他情况视为平局．如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．
19．（2023·四川成都·模拟预测）国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
(1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“非常关注”航天科技的人数共多少人？
(4)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
能力提升
20．（2023·浙江杭州·一模）《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书，标志着中国古代数学的高峰．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》．某中学拟从《算经十书》专著中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选1部专著恰好是《周髀算经》的概率为 ；若点点同学从《九章算术》、《五经算术》、《缀术》中恰好选中《九章算术》《五经算术》的概率为 ．
21．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）现有张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张记为，则，能使关于，的二元一次方程组满足的概率为 ．
22．（2023·江苏南通·模拟预测）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球1个，蓝球1个，黄球若干个．已知从中任意摸出一个球是红球的概率是．
(1)求布袋中的黄球的个数；
(2)现规定：摸到红球得4分，摸到蓝球得3分，摸到黄球得2分，甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用树状图或列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于6分的概率．
23．（2023·山东青岛·二模）小明和小丽在做一个“配紫色”游戏：一个不透明的袋子中装有1个白球，1个蓝球和2个红球，它们除颜色外都相同．从中摸出2个球，一个是红色，一个是蓝色，则可以配成紫色，小明从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀；搅匀后，再从中摸出1个球，小丽从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出一个，这个游戏公平吗，为什么？
