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第二十二章《二次函数》单元核心知识归纳与题型突破
一、二次函数的图象和性质
1.二次函数的定义 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
知识点2：二次函数的图像和性质
2.解析式 （1）三种解析式： ①一般式：y=ax2+bx+c; ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
3.二次函数的图象和性质 图象
开口 向上 向下
对称轴 x＝
顶点坐标
增减性 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
最值 ，y最小＝. ，y最大＝.
3.系数a、b、c的作用 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下.
b 决定对称轴（）的位置 当a，b同号，＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， =0，对称轴为y轴； 当a，b异号，＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点3：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
二、二次函数的图象和性质
1.二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
2.二次函数与不等式 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
三、实际问题与二次函数
1、实物抛物线一般步骤
据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
据图象，结合所求解析式解决问题.
2、实际问题中求最值
分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
研究自变量的取值范围；
确定所得的函数；
④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
解决提出的实际问题.
3、结合几何图形
根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
题型一 列二次函数
例：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
2．（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
题型二 根据二次函数定义求参数
例：（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数．
(1)当m为何值时，这个函数是二次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是一次函数？
6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数的一次项系数为（ ）
A． B．1 C．3 D．6
7．（23-24八年级下·云南·期末）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ．
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
题型三 的图象和性质
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
10．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
11．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线的开口向上，则a的取值范围是 ．
13．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ．
题型四 的图象和性质
例：（2024·广西·三模）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
15．（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，二次函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
18．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
19．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
题型五 的图象和性质
例：（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 ；
②图象的对称轴为直线 ；
③图象与轴的交点坐标为 ；
④当 时，函数有最小值，最小值为 ．
21．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大.
22．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
24．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ．
25．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 的图象和性质
例：（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求t的值；
(2)若对于，都有，求t的取值范围．
27．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的是
30．（2024·四川内江·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
31．（23-24八年级下·浙江金华·期末）点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
32．（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线经过点和点．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值．
题型七 二次函数图象与系数符号之间的关系
例：（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
34．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
35．（23-24八年级下·四川广安·期末）二次函数的图像如图所示，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
36．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若为任意实数，则
37．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型八 二次函数图象对称性的应用
例：（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)抛物线上两点，，且，．
①当时，直接写出，的大小关系；
②若对于，都有，直接写出的取值范围．
39．（23-24八年级下·云南·期末）已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
40．（23-24八年级下·北京海淀·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）．
41．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线（a，k为常数）的与的部分对应值如表所示；
下列四个结论：
①
②若，则该抛物线与轴没有交点；
③若，则；
④若，则，
其中正确的结论是 （填写序号）．
42．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图是小李同学设计的一个动画示意图，光点从点发出，其经过的路径为抛物线： 的一部分，并落在水平台子上的点处，其达到的最大高度为，光点在点处被反弹后继续向前沿抛物线：的一部分运行，已知台子的长，，点 是的中点．
(1)求抛物线的对称轴及函数表达式；
(2)若光点被弹起后，落在台子上的之间不含端点，求 所有的整数值．
43．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为．
(1)若，，求t的值；
(2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由．
题型九 用待定系数法求二次函数解析式
例：（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
45．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式．
46．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
抛物线的解析式为；
点A的坐标是，
点B的坐标为．
47．（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标．
48．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
题型十 二次函数图象的平移
例：（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），
（1） ；
（2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ．
50．（24-25九年级上·全国·假期作业）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A． B．
C． D．
51．（23-24八年级下·福建福州·期末）对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．抛物线可由向右平移1个单位得到
52．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ．
53．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ．
54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ．
55．（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
56．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
题型十 二次函数、方程与不等式
例：（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：
（1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
58．（2024·山东济宁·模拟预测）已知一次函数（）和二次函数（）的部分自变量和对应的函数值如下表：
… …
… …
… …
则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
59．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．
60．（2024年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学试题）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5
C．当时，
D．直线与二次函数图象有两个交点
61．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
62．（2024·广西南宁·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
63．（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x …… 0 1 3 ……
y …… 2 7 ……
则方程的解是 ．
64．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
65．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．
题型十一 二次函数应用—实物建模问题
例：（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式．
(3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
67．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
68．（2024·湖北武汉·二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高．
(1)求图1中右边抛物线的解析式；
(2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围；
(3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由．
69．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗）
题型十二 二次函数应用—图形面积问题
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米）
71．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
72．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
73．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米．
素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长．
任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________．
题型十三 二次函数应用—营销问题
例：（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表：
销售价格x（元/千克） 2 4 10
市场需求量q/（百千克） 12 10 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克
(1)求q与x的函数关系式；
(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；
(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克．
①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本）
75．（2024·四川达州·模拟预测）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、烧火龙等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲、乙两种汤圆共180袋，甲种汤圆每袋的进价比乙种汤圆每袋进价多2元．如果甲种汤圆以每袋24元的价格出售，每天可售出40袋，通过调查发现，甲种汤圆每袋的售价每降低0.5元，每天可多售出10袋．
(1)求甲种汤圆每袋的进价是多少元；
(2)当甲种汤圆销售单价多少元时，甲种汤圆每天销售利润最大，并求出最大利润．
76．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值：
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．则工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
77．（2024·山东临沂·二模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用）
年销售量（万件） 20 40
总销售额（万元） 560 1040
(1)求与以及与之间的函数解析式；
(2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？
(3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围．
78．（2024·浙江·模拟预测）情境：为了考前减压，某校九（1）班、九（2）班学生在老师带领下去游乐园游玩，游乐园原价每人200元的票价有团体优惠活动：按团体人数购票，如果团体人数超过10人，每超过1人，票价就减少2元，（例如：闭体人数20人，票价降价：元，就按每人180元付款），但最低票价为每人100元．又知九（1）班、九（2）班师生人数分别为56人、58人．
问题：
(1)若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到多少人？
(2)求购票费用（元与团体人数的函数关系式．
疑惑：九（1）的小明发现：如果单独购票，九（2）班师生人数比九（1）班师生人数多，但购票费用反而少，这不合理合理的应该是购票费用（元随团体人数的增大而增大．
分析：为了解决上面的疑惑，聪明的小明画出问题（2）中的函数图象，发现在图象中的某一段曲线上是随的增大而减少的，原来如此
解决：
(3)延续小明的分析，通过提高最低票价，可以使购票费用（元随团体人数的增大而增大，那么把最低票价至少提高到多少才能符合要求？
题型十四 二次函数应用—其它应用问题
例：（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过.
(1)若 辆时，求对应v的值.
(2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值.
80．（24-25九年级上·全国·假期作业）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间满足函数，值越大，表示接受能力越强．
(1)在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
81．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
82．（2024·湖北武汉·模拟预测）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键，某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速会降低，该型号汽车刹车时速度为刹车后速度为行驶的距离为与刹车后汽车的行驶时间之间的关系如表所示：其中s与t满足的关系式为(p，q为常数)．
t … 1 1.5 2 2.5
v … 16 15 14 13
s 17 24.75 32 38.75
(1) ，v与t的函数关系式为 ，s与t的函数关系式为 ．
(2)假设汽车在行驶的过程中安全车距为．现有一人驾驶这种型号的汽车以的速度行驶在公路上，突然发现前方处沿同一方向有一辆车以的速度匀速行驶，此人随即开始刹车，请问能否确保安全？
(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是（）一位普通司机驾驶该型号汽车以的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机紧急刹车，能够在到达窄路时将车速降低到以下吗？请通过计算说明．
83．（2024·广西南宁·二模）【项目式学习】项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P
③落点Q在底面下方竖直距离．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α；
③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，俯角与其比例系数k成正比例关系，并且当时，．若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
84．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践
南宁轨道交通5号线（），是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路，于2017年9月7日全线开工建设，于2021年12月16日开通运营一期工程（国凯大道站至金桥客运站），南宁轨道交通5号线是广西首条采用全自动无人驾驶模式运行的地铁线路．数学小组成员了解到5号线地铁列车准备进入某站时在距离停车线256米处开始减速．他们想了解列车从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离（米）与时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题．
【建立模型】
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24
（米） 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系：为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
④猜想模型
（1）请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的______函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式（不要求写出自变量取值范围）；
【问题解决】
（3）地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？
【拓展应用】已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如上图：站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离（米）与时间（秒）的函数关系变为．
（4）请结合以上信息，求出该地铁站的长度．
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第二十二章《二次函数》单元核心知识归纳与题型突破
一、二次函数的图象和性质
1.二次函数的定义 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
知识点2：二次函数的图像和性质
2.解析式 （1）三种解析式： ①一般式：y=ax2+bx+c; ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
3.二次函数的图象和性质 图象
开口 向上 向下
对称轴 x＝
顶点坐标
增减性 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
最值 ，y最小＝. ，y最大＝.
3.系数a、b、c的作用 a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下.
b 决定对称轴（）的位置 当a，b同号，＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， =0，对称轴为y轴； 当a，b异号，＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点3：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
二、二次函数的图象和性质
1.二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
2.二次函数与不等式 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
三、实际问题与二次函数
1、实物抛物线一般步骤
据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
据图象，结合所求解析式解决问题.
2、实际问题中求最值
分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
研究自变量的取值范围；
确定所得的函数；
④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
解决提出的实际问题.
3、结合几何图形
根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
题型一 列二次函数
例：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
【答案】(1)
(2)不能
【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用；
（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即关于的关系式是；
（2）解：依题意，
即
∵，
原方程无实数解，
∴两个鸡场面积和不能等于（）
2．（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．
【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，
今年一季度新产品的研发资金，
故选：C．
3．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答．
【详解】根据题意有：，
故选：D．
4．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得
展开得：
整理得：
根据题意，得
解得：．
∴y与x之间的函数关系式为，
故答案为：
题型二 根据二次函数定义求参数
例：（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数．
(1)当m为何值时，这个函数是二次函数？
(2)当m为何值时，这个函数是一次函数？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的概念，掌握一次函数和二次函数的结构特征是解题关键．
（1）根据二次函数的二次项系数不为0列方程求解即可；
（2）根据一次函数的自变量系数不为0，次数为1，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当函数为二次函数时，
则，
即．
（2）解：当函数为一次函数时，
则，
解得：．
6．（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数的一次项系数为（ ）
A． B．1 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 根据二次函数的相关概念即可得.
【详解】解：函数的一次项系数是6；
故选：D.
7．（23-24八年级下·云南·期末）若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键．
根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，
解得：．
故答案为：
8．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【答案】敏敏
【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．
【详解】解：是二次函数，
，
解得，，
又，
即，
，
故敏敏正确．
题型三 的图象和性质
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
【答案】(1)或
(2)当时，该函数图像的开口向下
(3)当时，原函数有最小值
(4)见解析
【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值．
(2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；
(3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；；
(4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
【详解】（1）根据题意，得，
解得，
∴当或时，原函数为二次函数．
（2）∵图像开口向下，
∴，
∴，
∴，
∴当时，该函数图像的开口向下．
（3）∵函数有最小值，
∴，
则，
∴，
∴当时，原函数有最小值．
（4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．
10．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确；
C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确；
D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确；
故选B．
11．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
12．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线的开口向上，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，对于二次函数，当时，其开口向上，当时，其开口向下，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴，
故答案为：．
13．（2024·广东佛山·二模）如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键．
【详解】过点作轴交轴于点，
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
把代入，
∴，
∴，
故答案为：
题型四 的图象和性质
例：（2024·广西·三模）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．先求得函数的对称轴为轴，再判断，离对称轴距离，从而判断出的大小关系．
【详解】解：∵函数的对称轴为轴，
∴，在对称轴两侧，
∵抛物线开口向下，且，
∴．
故选：B．
15．（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，二次函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，牢记：，图象开口向下，图象与y轴的交点在 x轴的上方，是解题关键．
根据二次函数系数a可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案．
【详解】解：由二次函数可知二次函数的图象的对称轴为y轴，
，
∴图象开口向下，故A、B错误；
，图象的顶点在y轴的正半轴上，故C正确；
故选：C．
16．（2023·江西九江·二模）下列图象中，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：函数的对称轴为y轴，
A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；
B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意；
C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意；
D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意；
故选：D．
17．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式求出，再根据正方形的性质得出，进而可得点，将A点坐标代入抛物线解析式，即可求出的值．
【详解】解：如图，连接交y轴于点D，
对于，当时，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
解得，
故选D．
18．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．
【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴，解得．
故答案为：．
19．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围．
【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限，
抛物线开口向下，
，
解得：，
故答案：．
题型五 的图象和性质
例：（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空：
①图象的开口方向是 ；
②图象的对称轴为直线 ；
③图象与轴的交点坐标为 ；
④当 时，函数有最小值，最小值为 ．
【答案】①向上；②；③；④3，
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，有最小值，
令，则，
图象与轴的交点坐标为，
故答案为：①向上；②；③；④3，．
21．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3
C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大.
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得．
【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意；
B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意；
C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意；
D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意；
故选：D．
22．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：D．
23．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，代入已知的点，可得，进而可得，即有，问题随之得解．
【详解】∵当时，；当时，，
∴，
即，可得：，
整理得：，
∵二次函数图像开口向下，
∴，
∴，
故选：D．
24．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】解：，
顶点的坐标为，
令，则，
的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的表达式为，
故答案为：．
25．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．
【详解】解：二次函数，
，
函数图象开口向下，对称轴为，
时，函数值随自变量的增大而减小，
故选：A．
题型六 的图象和性质
例：（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求t的值；
(2)若对于，都有，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于有，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的对称轴为．
∴；
（2）解：∵当，
∴，，
∵，，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴，
即．
27．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
28．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线与轴有2个交点，
∴，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴和对应的函数值相等，
∴时，，即，所以③错误；
∵，
∴，所以④正确；
∵顶点坐标纵坐标为，
∴，
∴，所以⑤正确．
故选：D．
29．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的是
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④．解题关键是掌握二次函数的图像与性质．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，即，
∴，
∴，故结论①正确；
∵抛物线对称轴为直线，且当时，，
∴时，，
即，故结论②正确；
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离，
∴，故结论④不正确，
∴正确的是①②③．
故答案为：①②③．
30．（2024·四川内江·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与系数之间的关系，根据二次函数的对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可判断抛物线与y轴交点的位置即可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可得点的位置，即可判断③；根据抛物线的对称轴求出顶点坐标为，由此可得为抛物线的最大值，即可判断④；根据抛物线开口向下，且对称轴为，可得抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，
∴抛物线与y轴的交点在负半轴上，
∴，故②正确；
对于，当时，，
∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，顶点在第二象限，开口向下，
∴点在第二象限，
∴，
由①得，，即，
∴，
即，故③正确；
对于，当时，，当（t为实数）时，，
∵抛物线对称轴为，
∴点为抛物线的顶点，
又∵抛物线开口向下，
∴为抛物线的最大值，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线开口向下，且对称轴为，
观察图象可得，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，
∴，故⑤错误；
故选：A．
31．（23-24八年级下·浙江金华·期末）点是二次函数图像上的四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质及不等式，根据二次函数的对称轴及开口方向、确定各点纵坐标值的大小关系是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系即可解答．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为：，且开口向下，
∴距离对称轴越近，函数值越大，
，
A.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B.若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C.若，所以不一定成立，故选项错，不符合题意；
D．若，则一定成立，故选项正确误，符合题意．
故选：D．
32．（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线经过点和点．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值．
【答案】(1)解析式为：；顶点坐标为
(2)
(3)或
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等．
（1）将点和点代入中求出的值，即可计算出本题答案；
（2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案；
（3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：将点和点代入中得，
，解得：，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴二次函数对称轴为：，
∵，
∴此时函数有最小值，
∵自变量x满足时，
当时，，
当时，，
∴自变量x满足时，y的取值范围为：；
（3）解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后，
∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为，
∵当自变量满足时，的最小值为5，
∴，即，
此时时，，即，解得：（舍去），
设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为，
∵当自变量满足时，的最小值为5，
∴，即，
此时时，，即，解得：（舍去），
综上所述：的值为：或．
题型七 二次函数图象与系数符号之间的关系
例：（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形的关系．
【详解】解：，
，
又时，，
，
，
选项C不正确；
抛物线开口向上，
；
又，
，
选项A不正确；
，
，
又，
，
选项D正确；
，
时，，
，
又，
，
选项B不正确．
故选：D．
34．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，然后得到二次函数和二次函数的图象关于y轴对称，进而求解即可．
【详解】∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和
∴，
∴对称轴为
∵二次函数
∴对称轴为
∴二次函数和二次函数的图象关于y轴对称
∴二次函数与x轴的交点坐标为和，且开口向下
∴二次函数的图象可能为
．
故选：D．
35．（23-24八年级下·四川广安·期末）二次函数的图像如图所示，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口向上知，由二次函数与轴交于负半轴可以推出，又抛物线与轴有两个交点，然后利用前面的结论即可确定的取值范围．
【详解】解：抛物线的开口向上，
，①
二次函数与轴交于负半轴，
，②
抛物线与轴有两个交点，则，
，③，
联立①②③解之得：．
的取值范围是．
故选：D．
36．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若为任意实数，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解．
【详解】解：抛物线开口向上，则，
抛物线的对称轴为直线，则
∴，
抛物线与轴交于负半轴，则
∴，故A选项错误；
∵当时，，
∴
∴，故B正确
∵抛物线的对称轴为直线，和时，
∴，故C错误；
∵，对称轴为直线
∴若为任意实数，则，即，故D错误，
故选：B．
37．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．能从函数图象中正确获取信息是解题的关键．观察图象易得，，所以，因此，由此可以判定①②④；当，由点在第二象限可以判定，可以判定③；当时，，由点在第一象限可以判定⑤．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①错误，②是正确，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴④是错误的；
当，而点在第二象限，
∴
∴③是正确的；
当时，，
而点在第一象限，
∴
∴⑤是正确的．
故选：B．
题型八 二次函数图象对称性的应用
例：（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)抛物线上两点，，且，．
①当时，直接写出，的大小关系；
②若对于，都有，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2)①；② 或
【分析】本题是二次函数的综合应用，考查了二次函数的性质与图象，二次函数与方程、不等式的关系掌握这些关系是解答关键．
（1）求出抛物线与y轴的交点坐标，此点与点关于抛物线对称轴对称，则可求得对称轴；
（2）①由可得的范围，则可得P、Q到对称轴的距离大小关系，结合即可判断；
②设点P关于直线的对称点为，由可得，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：在抛物线中，令，则，
即抛物线与y轴的交点，
故点与点关于抛物线对称轴对称，
而，则抛物线对称轴为直线；
（2）解：①当时，，，
；
，
即，
，
；
②设点P关于直线的对称点为，
则，即；
，
；
而，
则．
，
，
故当或时，，
解得：或．
39．（23-24八年级下·云南·期末）已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可，
【详解】解：∵当、时的函数值都是，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即，
故选．
40．（23-24八年级下·北京海淀·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“＞”连接）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用对称性得点C关于对称轴的对称点D的坐标，这样A、B、D三点均在抛物线对称轴的左侧，由二次函数的性质即可判断，，的大小关系．
【详解】解：抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，
故点C关于对称轴的对称点D的坐标为，
而，且，
所以当时，函数值随自变量的增大而减小，
故，
故答案为：．
41．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线（a，k为常数）的与的部分对应值如表所示；
下列四个结论：
①
②若，则该抛物线与轴没有交点；
③若，则；
④若，则，
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称性判断①；分得出顶点坐标所在象限，即可判断②；根据，对称轴为直线,可得抛物线开口向下，进而判断③；根据对称性得出关于的对称点为，由得出或时，，进而分分别讨论，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线
∴对称轴为直线,
∵和时的函数值相等，
∴，解得：，故①正确；
∵，抛物线顶点坐标为
当，抛物线开口向上，抛物线顶点在第一象限，
∴该抛物线与轴没有交点；
当，抛物线开口向下，抛物线顶点在第四象限，
∴该抛物线与轴没有交点；故②正确；
③若，又，即离对称轴较远的点的函数值较小，
∴抛物线开口向下，
又∵，即比离对称轴远，
∴，故③不正确
∵关于的对称点为
又∵
∴或时，
当时，和时，，则
当时，和时，，则
∴④正确
故答案为：①②④．
42．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图是小李同学设计的一个动画示意图，光点从点发出，其经过的路径为抛物线： 的一部分，并落在水平台子上的点处，其达到的最大高度为，光点在点处被反弹后继续向前沿抛物线：的一部分运行，已知台子的长，，点 是的中点．
(1)求抛物线的对称轴及函数表达式；
(2)若光点被弹起后，落在台子上的之间不含端点，求 所有的整数值．
【答案】(1)，
(2)，，
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴．
（1）根据题意得出对称轴为直线，进而求得顶点坐标，设解析式为将点 代入，待定系数法求解析式，即可求解．
（2）根据抛物线的对称性，求得的中点进而求得的范围，即可求解．
【详解】（1）解：点 ，点 是抛物线上的一对对称点，
对称轴为直线
抛物线 达到的最大高度为，
设解析式为
将点 代入，得 解得，
抛物线的函数表达式为
（2），，
又 ，
点，点，
当点 与点 是抛物线上的一对对称点时，，
当点 与点 是抛物线上的一对对称点时， ，
，
所有的整数值为，，
43．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为．
(1)若，，求t的值；
(2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键．
（1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案；
（2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴把点和点代入得：，
解得：，
∵对称轴为，
∴．
（2）∵，
∴当时，y随x的增大而增大．
令，得，
∴抛物线与y轴交点坐标为．
∵，，，
∴，在对称轴的左侧，
设点关于对称轴的对称点坐标，
．
．
∴点关于对称轴的对称点坐标为．
∵，
．
．
点在对称轴左侧，点在对称轴右侧．
设点关于对称轴的对称点坐标，
．
．
∴点关于对称轴的对称点坐标为．
．
．
题型九 用待定系数法求二次函数解析式
例：（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为．
（2）设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为．
45．（2023·广东佛山·三模）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值是2．求二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意可知二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把代入解析式解出a的值即可求出答案．
【详解】解：∵当时，函数有最大值是2，
∴二次函数的顶点坐标为：，
设二次函数的解析式为：，
∵二次函数的图象经过点
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
46．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，．
(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)点A的坐标是，
(2)点B的坐标为
【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键．
（1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可；
（2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标．
【详解】（1）由，
得当时，，
所以点A的坐标是，
设顶点为的抛物线的解析式为，
点在抛物线上，，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）联立，
得：，，
点A的坐标是，
点B的坐标为．
47．（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵当时，，
∴，
∵点P是抛物线对称轴上一点，
∴，
∴．
∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度．
如图，连接交抛物线的对称轴于点P，
又∵为定值，
∴此时，的周长最小．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入得：，
∴点P的坐标为，
即当的周长最小时，点P的坐标为．
48．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案；
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线经过点，可得
．
解得：．
所以，抛物线的解析式为．
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知
当时，随的增大而减小．
当时，．
当时，．
所以，当时， 的取值范围为．
题型十 二次函数图象的平移
例：（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），
（1） ；
（2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ．
【答案】 4 8
【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，
∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和，
∴，，
当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处，
即对称轴为，
此时D点横坐标为5，
当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，
此时顶点向右平移了与线段等长的距离，
∵，平移前D点横坐标为5，
∴平移后D点横坐标为：，
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：4，8．
50．（24-25九年级上·全国·假期作业）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键．
根据“左加右减”的平移法则即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为．
故选：．
51．（23-24八年级下·福建福州·期末）对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．抛物线可由向右平移1个单位得到
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键．
根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而可判断A和B、C．再根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D．
【详解】∵二次函数的解析式为：，
∴，
∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意；
由解析式可知该二次函数对称轴为直线，故B错误，不符合题意；
由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意；
将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D正确，符合题意；
故选D．
52．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
即：直线经过，，
则，
由此可知抛物线沿直线方向平移个单位，
相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
此时平移后的解析式为；
或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位，
此时平移后的解析式为；
综上：或．
53．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ．
【答案】，
【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式，
首先将化为，然后根据函数平移的规律求解即可．
【详解】∵抛物线，
∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即．
∴，．
故答案为：，．
54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ．
【答案】2
【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可．
【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，
把点代入得到，，
得到，
∴，
故答案为：2
55．（24-25九年级上·全国·假期作业）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
(1)试确定a、h、k的值；
(2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【答案】(1)，，
(2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案；
（2）根据二次函数的图象性质，可得答案．
【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为，
所以原二次函数的解析式为，
所以，，；
（2）解：二次函数，即
∵，
∴图象开口向下，
二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
56．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
【答案】(1)5
(2)抛物线的表达式为或或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键．
（1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离．
（2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，
【详解】（1）解：将、代入中，
得
解得
抛物线L的表达式为．
顶点．
过点P作轴于点D，则，
，，，
，，
．
（2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，
由于，即要使的面积为12，只需，
点P'在y轴左侧，
抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为；
当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，
由于，要使的面积为12，只需，
抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为或．
综上，抛物线L'的表达式为或或．
题型十 二次函数、方程与不等式
例：（2024·广东深圳·模拟预测）探究问题1：
（1）若二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围．
（2）变式：若二次函数（m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
等价转化：若二次函数 （m为常数）的图象与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 ．
探究问题2：
（3）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；； ；（3）
【分析】本题考查二次函数与直线的交点问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与直线的交点问题是解题的关键．
（1）二次函数的图象与x轴有两个交点，则，即可求出m的取值范围；
（2）联立两个函数解析式可得，即，根据两个函数图象有两个交点得到，即可求出m的取值范围．由，可得，从而问题可等价转化为：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，；
（3）所求问题等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点时m的取值范围，结合函数与的图象即可解答．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
∴．
∴；
（2）变式：由方程组得，
即，
∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，
∴．
∴．
由，可得
∴等价转化：若二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，此时．
故答案为：；；．
（3）由题意，令，
∴．
∴二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点．
由题意，（）．
作图如下．
∵二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，
结合图象，可得，
∴．
58．（2024·山东济宁·模拟预测）已知一次函数（）和二次函数（）的部分自变量和对应的函数值如下表：
… …
… …
… …
则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，通过表格先求出，，然后利用图象即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】由表格可知，过点，，
∴，解得，
∴，
同理过点，，，
∴，解得：，
∴，
画图，
当时，，即，
∴关于的不等式的解集为，
故选：．
59．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：二次函数图象的对称轴为直线，
∵图象与轴的一个交点为，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于的一元二次方程的两实数根是
故选B．
60．（2024年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学试题）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5
C．当时，
D．直线与二次函数图象有两个交点
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，
∴二次函数解析式为，即，故A错误；
∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点，
∴图象与轴交于另一点，
∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误；
将代入，得
∴
当时，；当时，，
∵图象开口向上，顶点坐标为，
∴函数有最小值，
∴当时，，故C错误；
令，整理得，
∴，
∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确；
故选：D．
61．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
62．（2024·广西南宁·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据函数图象经过即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口向上，
，则①正确；
抛物线与x轴没有交点，
，则②错误；
∵函数图象经过，
∴，
∴，即，故③正确；
不等式变形为：，
令，如图，
由图象得：直线与抛物线的图象交于点和，
不等式的解集为，故④正确，
则正确的个数有3个，
故选C．
63．（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x …… 0 1 3 ……
y …… 2 7 ……
则方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解．
【详解】解：由表格可知抛物线经过，
抛物线解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴，整理得：
因式分解可得：
解得：．
故答案为∶ ．
64．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范围．
由得：，故抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可．
【详解】解：由得：，
∴抛物线在直线的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，
∵两图像交于，两点，
∴，
故答案为：．
65．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
（1）用待定系数法求解即可．
（2）根据二次函数图象可得出结论．
（3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）将和点代入二次函数得：，
解得：，
∴二次函数解析式为：．
（2）∵当时，的图象在的下方，
∴不等式的解集为：．
（3）当时，，
解得，
∴，
∴．
∴．
题型十一 二次函数应用—实物建模问题
例：（2024·河南·模拟预测）掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ．
(2)求满足条件的抛物线的解析式．
(3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)王阳在此次投掷中得到满分
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可．
【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度，
∴抛物线的对称轴为直线
∴当时，实心球在空中的高度最大，
∴实心球在空中的最大高度是，
故答案为: ；
（2）设抛物线的解析式为，把, 代入得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下：
令则
解得 (不合题意，舍去).
∴王阳在此次投掷中得到满分.
67．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
【答案】(1)；
(2)的长为．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，
设缆索所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的长为．
68．（2024·湖北武汉·二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高．
(1)求图1中右边抛物线的解析式；
(2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围；
(3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析
【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式．
（1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可；
（2）将代入即可求得线段的取值范围；
（3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外．
【详解】（1）解： ，
，
，
∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高．
∴顶点坐标为，
设右侧抛物线的解析式为：，
把代入得到，，
解得，
∴图1中右边抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得（不合题意，舍去）
∴线段的取值范围为；
（3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下：
当时，，
∴点A的坐标为，
把代入
，
，
当右侧喷出的抛物线最大高度为时，
设抛物线的解析式为：，
又上述抛物线过点，则
则，
，
当时，，
，
，（舍去），
水柱会落在圆形水池之外．
69．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗）
【答案】(1)
(2)方案一更省钢材，见解析
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
（1）由题意可得，将其代入表达式结合抛物线对称轴联立方程组即可
（2）分别将点p在顶点上时和横坐标为5时，代入解析式，求出纵坐标，根据轴，轴，即可得出答案．
【详解】（1）由题知，
将代入，得，
抛物线的顶点B的横坐标为2．
，即，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）方案一：抛物线的顶点B的横坐标为2．
，
将点P设在抛物线的顶点B处，
轴，轴，
，
（米）．
方案二：点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，
即当时，，
，
轴，轴，
，
（米）．
．
综上可知，方案一更省钢材．
题型十二 二次函数应用—图形面积问题
例：（24-25九年级上·全国·假期作业）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米）
【答案】(1)（米）
(2)①；②26.1
【分析】（1）根据面积公式计算即可；
（2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
【详解】（1）
（米）；
（2）①∵，
∴，
∴．
②由①知，，
又∵2米米，
∴，
∴．
由①知，．
∵，
∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，
故当时，S有最大值．
（米）．
71．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
(1)求与与的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】(1)；
(2)能，
(3)的最大值为800，此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；
（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【详解】（1）解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积
；
（2）解：令，则，
整理得：，
此时，，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
（3）解：
∵
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800
72．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
(3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
（1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可．
【详解】（1）根据题意得，，；
（2），
当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
（3）由题意得，，
将代入得：，
解得：，
，
不符合要求，舍去，
矩形场地的最大总面积不能达到．
73．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米．
素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长．
任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________．
【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：；任务3：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是
【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可；
任务2：由图3，设，则，由题意可得花圃面积，求解即可；
任务3：设花圃面积为y，由（2）得，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：任务1：如图2，
由题意可知，则，
矩形面积为，
()，
答：花圃的面积为208；
任务2：由图3，延长交于点，
设，
，
由题意可得花圃面积，
即，
解得：或（舍去，不符合题意），
；
任务3：设花圃面积为y，
由（2）得，即，
，
当时，有最大值为273，
答：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是．
【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键．
题型十三 二次函数应用—营销问题
例：（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表：
销售价格x（元/千克） 2 4 10
市场需求量q/（百千克） 12 10 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克
(1)求q与x的函数关系式；
(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；
(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克．
①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本）
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）由题意可得，进而得出x的取值范围；
（3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可．
【详解】（1）解：设（k，b为常数且），当时，，当时，，代入解析式得：，
解得： ，
∴q与x的函数关系式为：．
（2）解：当产量小于或等于市场需求量时，有，
，
解得：，
又，
∴；
（3）解：①当产量大于市场需求量时，可得，由题意得：厂家获得的利润是：
；
②∵当时，y随x的增加而增加．
又∵产量大于市场需求量时，有，
∴当 时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加．
75．（2024·四川达州·模拟预测）元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、烧火龙等习俗，某超市节前购进了甲、乙两种口味的汤圆．已知购进甲种汤圆的金额是1200元，购进乙种汤圆的金额是800元，购进的甲、乙两种汤圆共180袋，甲种汤圆每袋的进价比乙种汤圆每袋进价多2元．如果甲种汤圆以每袋24元的价格出售，每天可售出40袋，通过调查发现，甲种汤圆每袋的售价每降低0.5元，每天可多售出10袋．
(1)求甲种汤圆每袋的进价是多少元；
(2)当甲种汤圆销售单价多少元时，甲种汤圆每天销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)12元
(2)甲种汤圆销售单价19元/袋时，甲种汤圆每天销售利润最大，最大利润为980元．
【分析】本题考查了分式方程、二次函数的应用等知识点，读懂题意、列出分式方程和函数解析式是解题的关键．
（1）设甲种汤圆的单价是x元，乙种汤圆的单价为元，根据“购进的甲、乙两种汤圆共180袋”列分式方程，解方程并检验即可解答；
（2）设甲种汤圆销售单价为m元/袋，甲种汤圆的利润为y元，再根据题意列出m与y的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设甲种汤圆的单价是x元，乙种汤圆的单价为元，
则，整理得：，解得：（不合题意，舍去）．
经检验：是原方程的解．
答：甲种汤圆每袋的进价是12元；
（2）解：设甲种汤圆销售单价为m元/袋，甲种汤圆的利润为y元．
则．
∵，
∴当时，利润最大，最大利润元．
答：甲种汤圆销售单价19元/袋时，甲种汤圆每天销售利润最大，最大利润为980元．
76．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值：
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．则工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
（1）用待定系数法求出m,n的值即可；
（2）当，当时，根据利润（售价价成本）设备的数量，可得出w关于x的二次函数，由函数的性质求出最值．
【详解】（1）解：把时，；时，代入，
得：，
解得：，，
故答案为：；
（2）解：设第x个生产周期创造的利润为w万元，由（1）知，
当时，，
，
，，
∴当时，w取得最大值，最大值为400，
当时，，
，
，
∴当时，w取得最大值，最大值为405，
∴综上，当时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元．
77．（2024·山东临沂·二模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用）
年销售量（万件） 20 40
总销售额（万元） 560 1040
(1)求与以及与之间的函数解析式；
(2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？
(3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围．
【答案】(1)，
(2)要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件
(3)年销售量大于50万元，小于100万元
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据毛利润，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得到，求出，，然后根据年毛利润不低于1000万元求解即可．
【详解】（1）由题意，设．
经过点，
．
解得：．
．
设每件产品的预售额为元．
该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，
．
．
．
；
（2）由题意，，
，
当时，利润最大．
要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件．
（3）由题意，令，
．
．
．
，．
年毛利润不低于1000万元，且相应抛物线开口向下，
该产品年销售量的变化范围为：．
78．（2024·浙江·模拟预测）情境：为了考前减压，某校九（1）班、九（2）班学生在老师带领下去游乐园游玩，游乐园原价每人200元的票价有团体优惠活动：按团体人数购票，如果团体人数超过10人，每超过1人，票价就减少2元，（例如：闭体人数20人，票价降价：元，就按每人180元付款），但最低票价为每人100元．又知九（1）班、九（2）班师生人数分别为56人、58人．
问题：
(1)若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到多少人？
(2)求购票费用（元与团体人数的函数关系式．
疑惑：九（1）的小明发现：如果单独购票，九（2）班师生人数比九（1）班师生人数多，但购票费用反而少，这不合理合理的应该是购票费用（元随团体人数的增大而增大．
分析：为了解决上面的疑惑，聪明的小明画出问题（2）中的函数图象，发现在图象中的某一段曲线上是随的增大而减少的，原来如此
解决：
(3)延续小明的分析，通过提高最低票价，可以使购票费用（元随团体人数的增大而增大，那么把最低票价至少提高到多少才能符合要求？
【答案】(1)若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到60人
(2)购票费用（元）与团体人数的函数关系式为
(3)把最低票价至少提高到110元才能符合要求
【分析】（1）设团体人数有人，根据题意列出不等式，解不等式可得结论；
（2）根据题意，分类讨论当时，当时，分别得到函数解析式即可；
（3）求出当时函数的顶点坐标，对称轴，开口方向，再分析当时，随的增大而减小，从而得解．
【详解】（1）解：设团体人数有人，根据题意得：
，
解得，
答：若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到60人；
（2）解：由（1）可知，当时，，
当时，，
购票费用（元）与团体人数的函数关系式为；
（3）解：延续小明的分析，
当时，，
，
抛物线开口向下，点的坐标，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小，
若团体人数为55时，则票价为（元），
通过提高最低票价，可以使购票费用（元）随团体人数的增大而增大，那么把最低票价至少提高到110元才能符合要求．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，二次函数的性质，二次函数的应用等，根据题意分类讨论列出函数解析式是关键．
题型十四 二次函数应用—其它应用问题
例：（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示.
当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过.
(1)若 辆时，求对应v的值.
(2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值.
【答案】(1)
(2)6075
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将代入求出a，b，再将代入求解；
（2）根据列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值．
【详解】（1）解：若车流密度K达到最大值270时，则，
，
将代入，得：，
解得，
v关于K 的函数关系为，
将代入，得：
即辆时，对应v的值为；
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为，
，，
，
，
当时，Q取最大值，最大值为6075．
80．（24-25九年级上·全国·假期作业）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间满足函数，值越大，表示接受能力越强．
(1)在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
【答案】(1)时，学生的接受能力逐步增强；时，学生的接受能力逐步降低
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）根据题意可得该二次函数开口向下，则函数图像在对称轴的左边随的增大而增大，在对称轴的右边随的增大而减小，据此即可求解；
（2）求出时的值即可求解；
（3）根据函数的性质可得函数在顶点处有最大值．
【详解】（1）解：函数中，，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
即 时，学生的接受能力逐步增强；时，学生的接受能力逐步降低；
（2）当时，，
故第分钟时，学生的接受能力是；
（3）当时，值最大，是，
故第分钟时，学生的接受能力最强．
81．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．
(1)求v关于x的函数表达式；
(2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度）
(3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？
【答案】(1)
(2)， P的最大值为4418辆/时
(3)上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时．
【分析】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题知：当时，；当时，，进而求解；
（3）由题意得：，解得，而，当时，，当时，，即可求解．
【详解】（1）解：由图象知，当时，，
当时，设该段一次函数表达式是，
把两点坐标，，分别代入，
得，
解得，
关于的一次函数表达式是，
即；
（2）解：由题知：当时，．
当时，，
当时，车流量有最大值4418辆时．
，
当时，车流量有最大值4418辆时；
（3）解：由题意得：，解得，
而，
当时，，当时，，
即，
即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时．
82．（2024·湖北武汉·模拟预测）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键，某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速会降低，该型号汽车刹车时速度为刹车后速度为行驶的距离为与刹车后汽车的行驶时间之间的关系如表所示：其中s与t满足的关系式为(p，q为常数)．
t … 1 1.5 2 2.5
v … 16 15 14 13
s 17 24.75 32 38.75
(1) ，v与t的函数关系式为 ，s与t的函数关系式为 ．
(2)假设汽车在行驶的过程中安全车距为．现有一人驾驶这种型号的汽车以的速度行驶在公路上，突然发现前方处沿同一方向有一辆车以的速度匀速行驶，此人随即开始刹车，请问能否确保安全？
(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是（）一位普通司机驾驶该型号汽车以的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机紧急刹车，能够在到达窄路时将车速降低到以下吗？请通过计算说明．
【答案】(1)，，
(2)能确保安全
(3)能够在到达窄路时将车速降低到以下，计算过程见解析
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用；
（1）根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为，利用待定系数法即可求解，再求出时的函数值即可得到，再利用待定系数法求解s与t的函数关系式即可；
（2）求出两车速度相同时的距离，比较后即可得到答案；
（3）先求出接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围，再求出到达窄路前行驶的距离范围，比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为，
将代入得，
解得：
∴与的函数关系式为，
当，，
即；
将代入，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：，，
（2）当时，，解得，
当时，，
当时，，
即相距时，两车速度相同，
∵，
∴此人随即开始刹车，能确保安全；
（3）解：依题意，，
当时，，
从发现情况到刹车的反应时间（），
接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围是，即，
当时，，解得，
刹车后行驶的距离为（米），
到达窄路前行驶的距离范围是，即，
∵，
∴能在到达窄路时将车速降低到以下．
83．（2024·广西南宁·二模）【项目式学习】项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P
③落点Q在底面下方竖直距离．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α；
③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，俯角与其比例系数k成正比例关系，并且当时，．若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用，
（1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可；
（2）运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，设，则运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，把代入，求出a的值，进而求解即可；
（3）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式为，再求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可．
【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则点A的坐标为，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得
，解得，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
（2）运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，设，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，即
运动员到达最高处时与点A的水平距离为；
（3）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
∵运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
∴运动员滑出路径抛物线的函数表达式为
点Q在底面下方竖直距离，
把代入得，
，
解得，
点，
，，
，
，
设与k的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
，
，
射线的解析式可化为，
把，代入得，
，
解得，
俯角至少15度．
84．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践
南宁轨道交通5号线（），是南宁市第五条建成运营的轨道交通线路，于2017年9月7日全线开工建设，于2021年12月16日开通运营一期工程（国凯大道站至金桥客运站），南宁轨道交通5号线是广西首条采用全自动无人驾驶模式运行的地铁线路．数学小组成员了解到5号线地铁列车准备进入某站时在距离停车线256米处开始减速．他们想了解列车从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？为解决这一问题，数学小组建立函数模型来描述地铁列车车头离停车线的距离（米）与时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应问题．
【建立模型】
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24
（米） 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系：为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．
③描点连线
④猜想模型
（1）请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接；
（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的______函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式（不要求写出自变量取值范围）；
【问题解决】
（3）地铁从减速开始，经过多少秒在停车线处停下？
【拓展应用】已知5号地铁列车在该地铁站经历的过程如上图：站：车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒；停靠：列车停靠时长为40秒（即列车停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列车再次启动到列车车头刚好出站，用时5秒．数学小组经计算得知，在地铁列车出站过程中，列车车头离停车线的距离（米）与时间（秒）的函数关系变为．
（4）请结合以上信息，求出该地铁站的长度．
【答案】（1）见解析；（2）二次，；（3）秒；（4）米
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
（1）根据平面直角坐标系描点绘图即可；
（2）根据图象可判断为二次函数，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（3）把代入可得到的值；
（4）由题意可得：地铁从减速开始，经过32秒在停车线处停下，车头从进站那一刻起到停车线处停下，用时24秒，当时，可得进站口与停车线的距离为144（米），在地铁列
