福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（PDF版含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省龙岩市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（PDF版含答案） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 690.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-24 14:04:15 | ||
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文档简介
龙岩市 2023-2024 学年高一下学期 7 月期末考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若圆锥的母线长为 2，其侧面积为 2 3π，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
5
2. 若复数 z ，则 z的虚部为（ ）2 i
A. i B. 1 C. 1 D. i
3. 某人有 3把钥匙，其中只有 1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则
第二次才能打开门的概率为（ ）
1 1 2
A. B. C. 12 D.6 3 3
4. 已知 m，n是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若m ， n// ，则m n
B. 若 // ，m ，则m / /
C. 若m n，m ， n// ，则
D. 若m//n， // ，则 m与 所成的角和 n与 所成的角相等
5. 为了迎接 2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男
生 30人，女生 20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取 10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答
对题目的平均数为 10，方差为 1；女生答对题目的平均数为 15，方差为 0.5，则这 10人答对题目的方差为
（ ）
A. 6.8 B. 6.9 C. 7 D. 7.2
π 2 2 2
6. 在 ABC中，内角 A，B c a b，C的对边分别为 a，b，c，C ，若 ABC的面积为 ，则 （ ）
4 8 ab
A. 3 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2
2
7. 已知球 O内切于圆台 EF，其轴截面如图所示，四边形 ABCD为等腰梯形，AB//CD，且CD 2AB 6，
则圆台 EF的体积为（ ）
A. 27 2π B. 51 2π C. 57 2π D. 63 2π
4 4 4 4
2 8. 2
2
已知点 Q是单位圆内接正十二边形 A1A2 A12 边上的任意一点，设 a QA QA QA ，则 a1 2 12
的值可以为（ ）
A. 22.5 B. 23.5 C. 24.5 D. 25.5
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续 5年的产量如下：
品种 第 1年 第 2年 第 3年 第 4年 第 5年
甲/kg 560 580 570 590 600
乙/kg 550 600 580 580 590
若 x1，x
2 2
2分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，s1 ，s2 分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选
项正确的是（ ）
A. x1 x2
B. s21 s
2
2
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 乙种水稻的产量有三年位于 x2 s2 , x2 s2 之间
10. 莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年 4月 15日～1783年 9月 18日），瑞士数学家、自然科学家.
欧拉是 18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在
1765年首次提出定理： ABC的外心 O，重心 G，垂心 H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是
重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若 AB 5， AC 3，则下列结论正确的是（ ）
A. OH OA OB OC B. 3BG BO 2BH
C. AO BC 8 D. AG BC 4
11. 如图，在菱形 ABCD中，M，N分别为棱 AB，CD的动点（不含端点），将菱形 ABCD沿对角线 BD折
起，使点 A不在平面 BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）
A. 若BC BD AC，则存在点 M，N，使得 MN与 BC垂直
B. 对任意点 M，存在点 N，使得MN与 AD， BC共面
C. 对任意点 M，存在点 N，使得 MN与 AD，BC所成的角相等
D. 若存在某个位置，使得直线 AB与直线 CD垂直，则 BCD一定为锐角
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 2若虚数 i是方程 x px q 0 p,q R 的一个根，则 p q ______.
13. 设样本空间 1,2,3,4 含有等可能的样本点，若事件 A，B，C是 的子集，且 A，B，C两两独立，
P A P B P C 1
其中 A 1,2 ， B 1,3 ，C a,b ， ，则 P AB C ______.P ABC 2
14. 空间四边形 ABCD的四个顶点都在同一球面上，若 AC BC，AD BD，AB CD，AB 2CD，
V1
空间四边形 ABCD的体积为V1，它的外接球体积为V2，则V 的最大值为______.2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 a,b ,c是同一平面内的三个向量，其中 a 1, 1 .
（1）若b 2, y ，且 a 2a b ，求 b ；
a ,c 3 （2）若 的夹角为 ， c 2 a c a a ，求 在 上的投影向量的坐标.
4
16. 为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到 200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率
分布直方图如图所示.
（1）求图中 x的值，并根据频率分布直方图，估计这 200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的
数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）记尺寸在 98,100 内的产品为优等品，每件可获利 5元；尺寸在 92,94 内的产品为不合格品，每件
亏损 2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利 3元.若此工厂某月生产 5000件产品，当该月利润未能达
到 15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对
该工厂设备实施升级改造.
17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置 0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正
面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷 n次硬币后，质点位
于位置 X n n 1,2,3,4 .
（1）请直接写出P X1 1 和 P X 2 1 的数值；
（2）求P X 3 3 ；
（3）用 a表示质点向右移动一个单位，用 b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷 4次硬币的样本空间
，并证明： P X 4 0 P X 4 2 .
18. 在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且3acosB bcos A a c .
（1）求 B；
（2）设 ABC外接圆的半径为 1，圆心为M ，Q为圆M 上异于点 B的一个动点.
（i）若 AQ AB 1，求证：四边形 ABCQ为等腰梯形；
（ii）若b2 ac，求QA QB的取值范围.
19. 如图，在几何体CD ABEF中，四边形 ABEF为正方形，CD//EF， AF DF .记二面角
D AF E的大小为 ，二面角C BE F的大小为 .
（1）证明： AF CE ；
1
（2）若DF AB 2，且 60 .
2
（i）求直线 BD与平面 CBE所成角的正弦值；
（ii）作出二面角D BC E的平面角 ，说明理由并求 tan 的值.
参考答案
1. B.
2. C
3. B.
4. C
5. A．
6. C
7. D.
8. B
9. ABD
10. AC．
11. BCD
12. 1
13. 12
14. 3
8π
15. （1） 2 10
（2） 2,2
16. （1） x 0.12，平均数为 99.64，上四分位数为 102.14，
（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析
1
17. （1） P X1 1 ，P X 1 0，2 2
1
（2）
4
（3）证明：掷 4次硬币的样本空间 为：
a,a,a,a , a,a,a,b , a,a,b,a , a,b,a,a , b,a,a,a , a,a,b,b , a,b,a,b , a,b,b,a ,
b,b,a,a , b,a,a,b , b,a,b,a a,b,b,b , b,a,b,b , b,b,a,b , b,b,b,a , b,b,b,b
X 4 2包含的样本点有 a,a,a,b , a,a,b,a , a,b,a,a , b,a,a,a ,
所以 P(X 2)
1
4 ；4
X 4 0包含的样本点有 a,a,b,b , a,b,a,b , a,b,b,a , b,b,a,a , b,a,a,b , b,a,b,a
所以 P(X 0)
3
4 ；8
故 P X 4 0 P X 4 2 ，
π
18. （1）
3
（2）（i）证明；由正弦定理 sinC c 1 C π 5π π ，则 C π或 ，又 B ，故C ，
2R 2 6 6 3 6
则 A π B C π ，故 BC为 ABC外接圆直径，M 为 BC中点，
2
π
又MA MB AB 1，故 ABM 为等边三角形，故 AMB ，
3
又 AQ AB MQ 1 MAQ π，则 ，故 AQ / /BC，
3
又 AQ MC AM 1，则四边形 AMCQ为菱形，则CQ 1，
故 AB CQ，故四边形 ABCQ为等腰梯形；
1 3
（ii） ,
2 2
19. （1）证明 在以A， B，C，D，E， F 为顶点的五面体中，
AF DF ， AF FE ，DF FE D,DF ,FE 平面 EFDC，
AF 平面 EFDC．又CE 平面 EFDC，故 AF CE
2 21（ ）（i）
14
（ii）由于BE 平面DCEF ，BE 平面 BCE，故平面DCEF 平面 BCE
过D作DQ CE，过Q作QH CB，连接QD ,
则 DHQ为二面角D BC E的平面角 ，
理由：DQ CE，DQ 平面DCEF ，平面DCEF 平面 BCE CE，
故DQ 平面 BCE， BC 平面 BCE，故DQ BC ,
又QH CB，DQ HQ Q,DQ,HQ 平面DQH ,
故CB 平面DQH ,DH 平面DQH ,故CB DH ,
故 DHQ为二面角D BC E的平面角 ，
由于CD 2, QCD 60 ，所以CQ 1,DQ 3 , BC CE 2 BE 2 22 42 2 5 ,
QHC BEC QH BE QH 4 2又 ，故 QH ,
QC BC 1 2 5 5
tan DHQ DQ 3 15
QH 2
2
5
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若圆锥的母线长为 2，其侧面积为 2 3π，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
5
2. 若复数 z ，则 z的虚部为（ ）2 i
A. i B. 1 C. 1 D. i
3. 某人有 3把钥匙，其中只有 1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则
第二次才能打开门的概率为（ ）
1 1 2
A. B. C. 12 D.6 3 3
4. 已知 m，n是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若m ， n// ，则m n
B. 若 // ，m ，则m / /
C. 若m n，m ， n// ，则
D. 若m//n， // ，则 m与 所成的角和 n与 所成的角相等
5. 为了迎接 2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男
生 30人，女生 20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取 10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答
对题目的平均数为 10，方差为 1；女生答对题目的平均数为 15，方差为 0.5，则这 10人答对题目的方差为
（ ）
A. 6.8 B. 6.9 C. 7 D. 7.2
π 2 2 2
6. 在 ABC中，内角 A，B c a b，C的对边分别为 a，b，c，C ，若 ABC的面积为 ，则 （ ）
4 8 ab
A. 3 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2
2
7. 已知球 O内切于圆台 EF，其轴截面如图所示，四边形 ABCD为等腰梯形，AB//CD，且CD 2AB 6，
则圆台 EF的体积为（ ）
A. 27 2π B. 51 2π C. 57 2π D. 63 2π
4 4 4 4
2 8. 2
2
已知点 Q是单位圆内接正十二边形 A1A2 A12 边上的任意一点，设 a QA QA QA ，则 a1 2 12
的值可以为（ ）
A. 22.5 B. 23.5 C. 24.5 D. 25.5
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续 5年的产量如下：
品种 第 1年 第 2年 第 3年 第 4年 第 5年
甲/kg 560 580 570 590 600
乙/kg 550 600 580 580 590
若 x1，x
2 2
2分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，s1 ，s2 分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选
项正确的是（ ）
A. x1 x2
B. s21 s
2
2
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 乙种水稻的产量有三年位于 x2 s2 , x2 s2 之间
10. 莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年 4月 15日～1783年 9月 18日），瑞士数学家、自然科学家.
欧拉是 18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在
1765年首次提出定理： ABC的外心 O，重心 G，垂心 H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是
重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若 AB 5， AC 3，则下列结论正确的是（ ）
A. OH OA OB OC B. 3BG BO 2BH
C. AO BC 8 D. AG BC 4
11. 如图，在菱形 ABCD中，M，N分别为棱 AB，CD的动点（不含端点），将菱形 ABCD沿对角线 BD折
起，使点 A不在平面 BCD内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）
A. 若BC BD AC，则存在点 M，N，使得 MN与 BC垂直
B. 对任意点 M，存在点 N，使得MN与 AD， BC共面
C. 对任意点 M，存在点 N，使得 MN与 AD，BC所成的角相等
D. 若存在某个位置，使得直线 AB与直线 CD垂直，则 BCD一定为锐角
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 2若虚数 i是方程 x px q 0 p,q R 的一个根，则 p q ______.
13. 设样本空间 1,2,3,4 含有等可能的样本点，若事件 A，B，C是 的子集，且 A，B，C两两独立，
P A P B P C 1
其中 A 1,2 ， B 1,3 ，C a,b ， ，则 P AB C ______.P ABC 2
14. 空间四边形 ABCD的四个顶点都在同一球面上，若 AC BC，AD BD，AB CD，AB 2CD，
V1
空间四边形 ABCD的体积为V1，它的外接球体积为V2，则V 的最大值为______.2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 a,b ,c是同一平面内的三个向量，其中 a 1, 1 .
（1）若b 2, y ，且 a 2a b ，求 b ；
a ,c 3 （2）若 的夹角为 ， c 2 a c a a ，求 在 上的投影向量的坐标.
4
16. 为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到 200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率
分布直方图如图所示.
（1）求图中 x的值，并根据频率分布直方图，估计这 200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的
数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）记尺寸在 98,100 内的产品为优等品，每件可获利 5元；尺寸在 92,94 内的产品为不合格品，每件
亏损 2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利 3元.若此工厂某月生产 5000件产品，当该月利润未能达
到 15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对
该工厂设备实施升级改造.
17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置 0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正
面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷 n次硬币后，质点位
于位置 X n n 1,2,3,4 .
（1）请直接写出P X1 1 和 P X 2 1 的数值；
（2）求P X 3 3 ；
（3）用 a表示质点向右移动一个单位，用 b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷 4次硬币的样本空间
，并证明： P X 4 0 P X 4 2 .
18. 在 ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且3acosB bcos A a c .
（1）求 B；
（2）设 ABC外接圆的半径为 1，圆心为M ，Q为圆M 上异于点 B的一个动点.
（i）若 AQ AB 1，求证：四边形 ABCQ为等腰梯形；
（ii）若b2 ac，求QA QB的取值范围.
19. 如图，在几何体CD ABEF中，四边形 ABEF为正方形，CD//EF， AF DF .记二面角
D AF E的大小为 ，二面角C BE F的大小为 .
（1）证明： AF CE ；
1
（2）若DF AB 2，且 60 .
2
（i）求直线 BD与平面 CBE所成角的正弦值；
（ii）作出二面角D BC E的平面角 ，说明理由并求 tan 的值.
参考答案
1. B.
2. C
3. B.
4. C
5. A．
6. C
7. D.
8. B
9. ABD
10. AC．
11. BCD
12. 1
13. 12
14. 3
8π
15. （1） 2 10
（2） 2,2
16. （1） x 0.12，平均数为 99.64，上四分位数为 102.14，
（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析
1
17. （1） P X1 1 ，P X 1 0，2 2
1
（2）
4
（3）证明：掷 4次硬币的样本空间 为：
a,a,a,a , a,a,a,b , a,a,b,a , a,b,a,a , b,a,a,a , a,a,b,b , a,b,a,b , a,b,b,a ,
b,b,a,a , b,a,a,b , b,a,b,a a,b,b,b , b,a,b,b , b,b,a,b , b,b,b,a , b,b,b,b
X 4 2包含的样本点有 a,a,a,b , a,a,b,a , a,b,a,a , b,a,a,a ,
所以 P(X 2)
1
4 ；4
X 4 0包含的样本点有 a,a,b,b , a,b,a,b , a,b,b,a , b,b,a,a , b,a,a,b , b,a,b,a
所以 P(X 0)
3
4 ；8
故 P X 4 0 P X 4 2 ，
π
18. （1）
3
（2）（i）证明；由正弦定理 sinC c 1 C π 5π π ，则 C π或 ，又 B ，故C ，
2R 2 6 6 3 6
则 A π B C π ，故 BC为 ABC外接圆直径，M 为 BC中点，
2
π
又MA MB AB 1，故 ABM 为等边三角形，故 AMB ，
3
又 AQ AB MQ 1 MAQ π，则 ，故 AQ / /BC，
3
又 AQ MC AM 1，则四边形 AMCQ为菱形，则CQ 1，
故 AB CQ，故四边形 ABCQ为等腰梯形；
1 3
（ii） ,
2 2
19. （1）证明 在以A， B，C，D，E， F 为顶点的五面体中，
AF DF ， AF FE ，DF FE D,DF ,FE 平面 EFDC，
AF 平面 EFDC．又CE 平面 EFDC，故 AF CE
2 21（ ）（i）
14
（ii）由于BE 平面DCEF ，BE 平面 BCE，故平面DCEF 平面 BCE
过D作DQ CE，过Q作QH CB，连接QD ,
则 DHQ为二面角D BC E的平面角 ，
理由：DQ CE，DQ 平面DCEF ，平面DCEF 平面 BCE CE，
故DQ 平面 BCE， BC 平面 BCE，故DQ BC ,
又QH CB，DQ HQ Q,DQ,HQ 平面DQH ,
故CB 平面DQH ,DH 平面DQH ,故CB DH ,
故 DHQ为二面角D BC E的平面角 ，
由于CD 2, QCD 60 ，所以CQ 1,DQ 3 , BC CE 2 BE 2 22 42 2 5 ,
QHC BEC QH BE QH 4 2又 ，故 QH ,
QC BC 1 2 5 5
tan DHQ DQ 3 15
QH 2
2
5
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