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第21章 二次根式 单元核心考点练习
考点一 二次根式的定义（共4题）
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22八年级下·吉林白山·期中）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
考点二 二次根式有意义的条件（共4题）
1．（23-24八年级下·广西崇左·期末）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．3
2．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若式子，在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）函数中自变量x的取值范围是 ．
考点三 二次根式的性质（共4题）
1．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算的结果是 ．
2．（23-24九年级下·江苏南京·期末）若，则 ．
3．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．
4．（23-24七年级下·河北张家口·期末）化简并求值：，其中．小马同学的解题步骤如下：
解：原式………………………………第一步
……………………………………………第二步
…………………………………………………第三步
把代入得，原式……………………第四步
小马的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程．
考点四 最简二次根式（共4题）
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·辽宁·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ．
考点五 二次根式的乘除法与化简（共4题）
1．（23-24九年级上·内江·期中）化简的结果是( )
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： ．
3．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）化简的结果是 ．
4．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：．
考点六 同类二次根式（共4题）
1．（23-24八年级下·山东济南·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
4．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ．
考点七 二次根式的加减法（共4题）
1．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·福建福州·期末）计算： ．
4．（23-24八年级下·青海西宁·期末）计算：．
考点八 二次根式的混合运算（共4题）
1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）计算：
(1)； (2)．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，，则代数式的值是 ．
3．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：，求：
(1) (2)
4．（23-24八年级下·辽宁·期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第21章 二次根式 单元核心考点练习
考点一 二次根式的定义（共4题）
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项符合题意；
B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．是二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（21-22八年级下·吉林白山·期中）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义，逐一判定选项，即可．
【详解】解：是二次根式；
中，，故不是二次根式；
是二次根式；
是二次根式；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是明确二次根式的定义，二次根号内的式子要大于等于．
3．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式．
根据二次根式的定义，形如的式子，判断即可．
【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意；
B．的被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数时，该代数式无意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、，无意义，故不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中根指数为4，故不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、符合二次根式的定义，故是二次根式，故此选项符合题意；
D、中根指数为3，故不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，一般形如的代数式叫做二次根式，熟练掌握此定义是解题的关键．
考点二 二次根式有意义的条件（共4题）
1．（23-24八年级下·广西崇左·期末）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意，被开方数为非负数即可．
【详解】解：有意义
故的值可以是3，
故选：D．
2．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若式子，在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键．由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
4．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）函数中自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，负整指数幂的底数不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
考点三 二次根式的性质（共4题）
1．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；
根据二次根式的性质即可解答．
【详解】
故答案为：2024．
2．（23-24九年级下·江苏南京·期末）若，则 ．
【答案】0
【分析】该题主要考查了完全平方公式、绝对值的非负性，二次根式的性质等知识点，解题的关键是得出．
根据题意得出，再代入求解即可；
【详解】解：∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：0．
3．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，推出，再由二次根式的性质化简即可得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴
，
故答案为：．
4．（23-24七年级下·河北张家口·期末）化简并求值：，其中．小马同学的解题步骤如下：
解：原式………………………………第一步
……………………………………………第二步
…………………………………………………第三步
把代入得，原式……………………第四步
小马的计算从第几步开始出错，错误的原因什么？请给出正确的解答过程．
【答案】第一步出错，错误原因是算术平方根必须是非负数，正确解答过程见解析
【分析】本题考查了二次根式的性质，代数式化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质可得出从第一步开始出现错误，再根据这个化简求值．即可．
【详解】解：第一步出错，错误原因是算术平方根必须是非负数
正解：原式
把代入得，原式．
考点四 最简二次根式（共4题）
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式，判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数；②被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
答案：B．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：A、，原式化简错误，不符合题意；
B、，原式化简错误，不符合题意；
C、，原式化简正确，符合题意；
D、，原式化简错误，不符合题意；
故选：C
3．（23-24八年级下·辽宁·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么这个根式叫做最简二次根式．
【详解】解：A、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：A
4．（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】当时，，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键．
考点五 二次根式的乘除法与化简（共4题）
1．（23-24九年级上·内江·期中）化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断a的正负，再化简二次根式．
【详解】∵32a5≥0，∴a≥0，∴=．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．运用二次根式乘法法则进行计算、求解．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握化简方法是解题的关键．分子、分母都乘以，即可去掉分母中的根号，从而得出最后结果．
【详解】解：，
故答案为：．
4．（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ．
【详解】解：
考点六 同类二次根式（共4题）
1．（23-24八年级下·山东济南·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化简，再找到被开方数与相同的选项即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C．，3不是二次根式，故该选项不符合题意；
D．，与是同类二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式；利用二次根式的性质化简，再判断即可．
【详解】解：，，则化简后能与合并；
故选：D．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键．
利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式，
,
．
故答案为：1．
4．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键．
先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，解得：，
∵有意义，
∴，即，解得：．
故答案为：．
考点七 二次根式的加减法（共4题）
1．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的加减法．根据二次根式的加减法运算法则计算即可．
【详解】解：、，故选项不符合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项符合题意；
故选：．
3．（23-24七年级下·福建福州·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键．
合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
4．（23-24八年级下·青海西宁·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
考点八 二次根式的混合运算（共4题）
1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，考查了二次根式的除法法则，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式．正确化简二次根式是解题的关键．
（1）先算括号内的减法，再算除法；
（2）先利用平方差公式及完全平方公式将原式展开，然后去括号再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
3．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：，求：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查了分式的化简，二次根式的混合运算；
（1）先计算的值，然后根据整式的乘法化简，代入代数式，即可求解；
（2）将分式化简，再代入即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，，
∴
（2）解：∵
∴，，
∴
4．（23-24八年级下·辽宁·期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查二次根式混合运算和分式化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则和分式的基本性质．
（1）先算乘除，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）把所求式子变形后，将已知代入即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
当时，．
