中小学教育资源及组卷应用平台
第21章 二次根式 单元测试
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
4．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若有意义，则（ ）
A． B．且 C．且 D．且
7．如果，则的平方根是（ ）
A．-7 B．1 C．7 D．±1
8．若，则代数式的值为（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
9．设点 ，且，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．化简： ．
12．等式成立的条件是
13．已知，，则代数式的值为 ．
14．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ．
15．如图所示，已知是腰长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边，画第三个等腰直角三角形，……依此类推，则第2025个等腰直角三角形的斜边长是 ．
16．若，则的值为 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算
(1)； (2)．
18．计算：
(1) (2)
19．对于题目先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式．
在两人的解法中谁的解答是错误的，为什么？
20．若，为实数，且．求的值．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．先化简，再求值．已知，求的值．
22．如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
(1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)若，，，求剩余部分的面积．
23．阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的：
∵，∴，∴，∴．
∴．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．观察下列各式及其验证过程．
；．
验证：；
．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
_______，______；
(2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：
25．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答：
(1)请写出的整数部分和小数部分各是多少？
(2)如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数．中小学教育资源及组卷应用平台
第21章 二次根式 单元测试
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
【详解】根据二次根式的定义可得：是二次根式
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的相关运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：C
3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解：，
与最简二次根式能合并，
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．
4．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
5．若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．若有意义，则（ ）
A． B．且 C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式分母不为零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：且，
故选：B．
7．如果，则的平方根是（ ）
A．-7 B．1 C．7 D．±1
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故，则，
故的平方根是：±1．
故选：D．
【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．
8．若，则代数式的值为（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．设点 ，且，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，进而可求；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、二次根式的非负性，一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键．
10．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
【详解】解： ，，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键；根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】
故答案为：．
12．等式成立的条件是
【答案】.
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得出关于b的不等式组，解不等式组即可得出答案.
【详解】解：根据题意，得：，解得：.
故答案为.
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的被开方数非负是解此题的关键.
13．已知，，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ．
【答案】1
【详解】∵的整数部分为1,小数部分为 1，
∴x=1,y= 1，
∴x y= ( 1)=1.
故答案为1.
15．如图所示，已知是腰长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边，画第三个等腰直角三角形，……依此类推，则第2025个等腰直角三角形的斜边长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形的变化规律，依据勾股定理求出斜边长，发现规律是解题的关键．
根据勾股定理依次求出斜边、、的长，得出规律即可．
【详解】解：∵是腰长为的等腰直角三角形，
∴，
在第二个等腰中，由勾股定理得：，
在第三个等腰中，由勾股定理得：
，
……
依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长为，
第2025个等腰直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
16．若，则的值为 ．
【答案】2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶
（1）先利用二次根式的除法、乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式．
．
（2）解：原式
．
18．计算：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的运算法则并正确计算是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．对于题目先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式；
乙的解答为：原式．
在两人的解法中谁的解答是错误的，为什么？
【答案】甲的解答是错误的，理由详见解析.
【分析】根据二次根式的性质解答即可.
【详解】甲的解答是错误的．
理由：∵时，，
∴原式，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解答此题的关键.
20．若，为实数，且．求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴即，
∴，
∴，，
∴
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．先化简，再求值．已知，求的值．
【答案】；
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
，
∴原式．
22．如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．
(1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)若，，，求剩余部分的面积．
【答案】(1)纸片剩余部分的面积是；(2)．
【分析】（）剩余部分面积等于长方形面积减去四个小正方形面积即可得到结果；
（）把，，的值代入计算即可求解，
此题考查了整式的化简求值，平方差公式和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：纸片剩余部分的面积是；
（2）解：当，，时，
．
23．阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的：
∵，∴，∴，∴．
∴．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可；
（2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可．
本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
【详解】（1）解： ；
（2）解：，
则，
∴
则，
∴
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．观察下列各式及其验证过程．
；．
验证：；
．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
_______，______；
(2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：
【答案】(1)，；(2)，证明见解析；(3)
【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键；
（1）根据题中给的例子即可得出答案；
（2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案；
（3）根据（2）中规律计算化简即可；
【详解】（1），
，
故答案为：，；
（2），
验证： ，
故答案为：；
（3）
．
22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答：
(1)请写出的整数部分和小数部分各是多少？
(2)如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数．
【答案】(1)整数部分是3，小数部分是；(2)；(3)
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键．
（1）根据无理数的估算解答即可；
（2）根据无理数的估算求出a、b，计算即可；
（3）根据无理数的估算求出x、y，根据相反数的概念解答即可．
【详解】（1），
，
的整数部分是3，小数部分是；
（2），
的小数部分为：
，
的整数部分是；
．
（3），其中x是整数，且，
为的整数部分，y为的小数部分，
，
，
，，
，
的相反数是．
