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第21章《二次根式》单元核心知识归纳与题型突破
一、二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
二、二次根式的性质与化简
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=·（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
三、二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：=·（a≥0，b≥0）.
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：=（a≥0，b>0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：；
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
题型一 二次根式有意义的条件
例题：（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·河南周口·期末）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（12-13八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
题型二 求二次根式的参数
例题：（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（19-20九年级上·广东中山·开学考试）若有意义，则能取的最小整数值是 ．
3．（22-23八年级下·广东惠州·阶段练习）已知m，n为实数，且，则 ．
题型三 最简二次根式/同类二次根式的判断
例题：（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（贵州省黔南布依族苗族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下列选项中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
题型四 已知最简二次根式/同类二次根式求参数
例题：（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若与最简二次根式是同类二次限式，则m的值为 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则m的值为
2．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
题型五 利用二次根式的性质化简
例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简：＝ ．
题型六 分母有理化
例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）计算： ．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到形如的式子，可以将其化简：
；以上化简方法叫做做分母有理化．
请参照以上方法化简：
3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）小芳解答问题“已知，求的的值”的过程如下：
∵ ∴，即，∴．
∴
请你根据小芳的解答过程，解决下列问题：
(1)，求：的值
(2)化简
题型七 二次根式的乘除运算
例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）计算 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）计算： .
2．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ．
3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ．
题型八 二次根式的加减运算
例题：（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算
巩固训练
1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）计算：．
3．（20-21八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
题型九 二次根式的混合运算
例题：（23-24八年级下·吉林白城·期末）计算：
巩固训练
1．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）计算：
(1)； (2)
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)； (2)．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)； (2)
题型十 比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（ ）
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
3．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小， （填写，或者）
(2)猜想，之间的大小关系，并证明．
题型十一 二次根式的应用
例题：（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级下·吉林四平·期末）长为，宽为的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ．
3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．
(1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积；
(2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长．中小学教育资源及组卷应用平台
第21章《二次根式》单元核心知识归纳与题型突破
一、二次根式的相关概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
二、二次根式的性质与化简
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=·（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
三、二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：=·（a≥0，b≥0）.
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：=（a≥0，b>0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：；
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
题型一 二次根式有意义的条件
例题：（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：B．
巩固训练
1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，列式，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵二次根式有意义
∴
∴
故选：A
2．（23-24八年级下·河南周口·期末）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
解得．
故选：A．
3．（12-13八年级下·云南红河·期末）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义的条件：分母不为0以及被开方数为非负数，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵式子有意义
∴
解得
故答案为：且
题型二 求二次根式的参数
例题：（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值．
【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的，
解得：，
∵是自然数，
∴，
∵是整数，
∴，，
∴自然数的值是或，
故答案为：或．
巩固训练
1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故选：D．
2．（19-20九年级上·广东中山·开学考试）若有意义，则能取的最小整数值是 ．
【答案】1
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴能取得最小整数为1．
故答案为：1
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“被开方数大于等于0”是二次根式有意义的条件是解题的关键．
3．（22-23八年级下·广东惠州·阶段练习）已知m，n为实数，且，则 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义得出的值，然后代入代数式求解即可．
【详解】解：由二次根式的定义得：，
解得，
将代入得：，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、二次根式，熟练掌握二次根式的概念是解题关键．
题型三 最简二次根式/同类二次根式的判断
例题：（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，熟悉掌握最简二次根式定义是解题的关键．根据二次根式化简的运算法则逐一运算判断即可．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B．是最简二次根式，故B符合题意；
C．，不是最简二次根式，故C不符合题意：
D．，不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
巩固训练
1．（贵州省黔南布依族苗族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列式子中，是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：．是最简二次根式，故该选项符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，把四个选项中的二次根式化为最简二次根式，若被开方数是3，则与是同类二次根式，据此求解即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下列选项中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同类二次根式的概念把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念即可得出答案．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D、和是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意；
故选：D．
题型四 已知最简二次根式/同类二次根式求参数
例题：（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若与最简二次根式是同类二次限式，则m的值为 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义：被开方相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题关键．
直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得．
故答案为：4．
巩固训练
1．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则m的值为
【答案】1
【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可．
【详解】解：∵，最简二次根式能与合并，
∴，
解得，
故答案为：1．
2．（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：当时，，是最简二次根式，
故答案为：2（答案不唯一）．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查同类二次根式以及最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式的概念，本题属于基础题型．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
【详解】解：由题意可知：，
，
故答案为：4．
题型五 利用二次根式的性质化简
例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．根据二次根式的性质对各个选项中的式子进行计算，然后判断即可．
【详解】解：A．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
巩固训练
1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，平方根，算术平方根，根据二次根式的性质进行化简，根据平方根、算术平方根的定义判断即可．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简：＝ ．
【答案】
【分析】本题考查了根据数轴化简求值，由数轴可知，，，则，根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
题型六 分母有理化
例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的除法运算，掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】解：，
故选A．
巩固训练
1．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的除法运算．分母有理化是解题的关键．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到形如的式子，可以将其化简：
；以上化简方法叫做做分母有理化．
请参照以上方法化简：
【答案】
【分析】本题主要考查了分母有理化，仿照题意利用平方差公式进行求解即可．
【详解】解：
．
3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）小芳解答问题“已知，求的的值”的过程如下：
∵ ∴，即，∴．
∴
请你根据小芳的解答过程，解决下列问题：
(1)，求：的值
(2)化简
【答案】(1)；(2)
【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意；
（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）根据分母有理化可进行求解．
【详解】（1）解：∵ ；
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：
．
题型七 二次根式的乘除运算
例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的除法，掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的除法法则，即可求解；
【详解】解：，
故答案为：．
巩固训练
1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）计算： .
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解本题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
2．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．
【详解】解：
故答案为：
3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末） ．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的除法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先将两数化简成最简二次根式，然后根据二次根式的除法计算即可．
【详解】解：原式 ，
，
，
，
，
故答案为：．
题型八 二次根式的加减运算
例题：（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算
【答案】；
【分析】先化简各二次根式，再合并即可；
【详解】解：
；
巩固训练
1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并；逐项判断相加或相减的两项是否是同类二次根式即可．
【详解】解：A、，，故该选项不正确，不符合题意
B、2和不是同类二次根式，，故该选项不正确，不符合题意
C、，故该选项正确，符合题意；
D、和不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算、二次根式的性质及化简，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算．
根据二次根式的化简和加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：
．
3．（20-21八年级下·辽宁鞍山·期中）计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，能够将每一个二次根式化简为最简二次根式是解题的关键．
题型九 二次根式的混合运算
例题：（23-24八年级下·吉林白城·期末）计算：
【答案】5
【分析】本题主要考查二次根式的计算，数量掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】原式
巩固训练
1．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）计算：
(1)； (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘法，再计算加法即可；
（2）先用完全平方公式与平方差公式计算，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）先利用二次根式的乘除法法则运算，再进行相减即可；
（2）先根据完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）计算：
(1)； (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型十 比较二次根式的大小
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
巩固训练
1．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（ ）
A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴的结果在和之间．
故选：D．
2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】=
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键．
把分母有理化即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小， （填写，或者）
(2)猜想，之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)；(2)，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键：
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用平方法进行比较即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；故答案为：；
（2）解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
题型十一 二次根式的应用
例题：（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长，
重叠部分也是正方形，
三个小正方形的面积分别为48，32，8，
三个小正方形的边长分别为、、，
由题图知：大正方形的边长为：，
．
故选：A．
巩固训练
1．（23-24八年级下·吉林四平·期末）长为，宽为的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式乘法的应用，熟练掌握二次根式的乘法的运算法则，根据矩形面积等于长乘以宽，列出式子，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：矩形的面积是，
故选：B．
2．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论．
【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴矩形木板的长为：，宽为，
剩余木板的面积为：；
故答案为：18．
3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）我国南宋时期数学家秦九韶，古希腊的几何学家海伦都给出了三角形面积计算公式，这两个公式实质相同，我们称之为“海伦—秦九韶公式”．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．根据上述知识，解决下列问题．
(1)如图，中，，，，请利用上述公式求的面积；
(2)在（1）的条件下，作于点D，求，的长．
【答案】(1)；(2)，
【分析】本题考查三角形的面积和勾股定理，掌握三角形的面积公式和勾股定理是解题的关键．
（1）根据公式先求出，再求出即可；
（2）根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：，
，
的面积是；
（2）解：，即，
，
．
