第二十八章 锐角三角函数
直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直角三角形进行专门的研究很有必要．本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这些关系解决一些测量等方面的问题．
本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境——“汽车爬坡”引出如何描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、坡角等概念．教材中通过学生熟悉的一副三角板引出．对于这一部分，由于学生已经学习了在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到这些特殊角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值．第二节主要是应用直角三角形知识解决一些简单的实际问题．
带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态度．让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数．让学生掌握30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度．
本章教学约需5课时，具体分配如下：
28．1 锐角三角函数3课时
28．2 解直角三角形及其应用2课时
28．1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
知识与技能
了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比．
过程与方法
通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
情感、态度与价值观
1．通过学习培养学生的合作意识．
2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．
重点
锐角三角函数的概念．
难点
锐角三角函数概念的理解．
一、问题引入
问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．
你想知道小明是怎样算出的吗？
师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．
二、新课教授
问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
＝＝，
可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管．
思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
学生按与上面相似的过程，自主解决．
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得
AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，
AB＝BC，
＝＝＝.
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？
分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则
＝.
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
正弦的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA＝＝.
例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；
当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝.
注意：
1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．
2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.
3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
sinB＝＝.
思考3：一般地，当∠A取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？
教师用类比的方法引导学生思考、讨论．
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值．
余弦的概念：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
cosA＝＝.
思考4：当∠A取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？
学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念．
正切的概念：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A的对边和邻边．我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
tanA＝＝.
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
三、举例应用，巩固新知
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB＝＝＝5.
因此sinA＝＝，
sinB＝＝.
如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝＝＝12.
因此sinA＝＝，
sinB＝＝.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
解：由勾股定理得
AC＝＝＝8，
因此 sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝.
四、练习新知
为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正切值是( )
A. B．4 C. D.
答案 C
五、课堂小结
锐角三角函数概念及表示方法：
sinA＝，cosA＝，
tanA＝.
本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行．学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与．
第2课时 30°，45°，60°角的三角函数值
知识与技能
熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
过程与方法
1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．
情感、态度与价值观
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．
重点
30°，45°，60°角的三角函数值．
难点
与特殊角的三角函数值有关的计算．
一、复习巩固
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)a，b，c三者之间的关系是________；
(2)sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________；
sinB＝________，cosB＝________，tanB＝________．
(3)若∠A＝30°，则＝________．
二、共同探究，获取新知
(1)探索30°，45°，60°角的三角函数值．
师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°，60°，45°，45°.
师：sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
生：sin30°＝.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为a，所以sin30°＝＝.
师：cos30°等于多少？tan30°呢？
生：cos30°＝＝.tan30°＝＝＝.
师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°，60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？
生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，利用上图，很容易求得sin60°＝＝，cos60°＝＝，tan60°＝＝.
师生共同分析：我们一起来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a.由此可求得
sin45°＝＝＝，cos45°＝＝＝，
tan45°＝＝1.
教师多媒体课件出示：
三角函数
角度α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
师：这个表格中的30°，45°，60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小．
第一列，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．
第二列，余弦值随角度的增大而减小．
师：第三列呢？
生：第三列是30°，45°，60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°＝1比较特殊．随着角度的增大，正切值也在增大．
(2)进一步探究锐角的三角函数值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sinA＝，cosA＝，
sinB＝，cosB＝，
∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠B＝90°－∠A，
即sinA＝cosB＝cos(90°－∠A)，
cosA＝sinB＝sin(90°－∠A)．
任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值．
三、例题讲解，巩固新知
例1 计算：
(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.
解：(1)sin30°＋cos45°＝＋＝；
(2)sin260°＋cos260°－tan45°
＝()2＋()2－1
＝＋－1
＝0.
例2 (1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，求∠A的度数；
(2)如图(2)，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO＝OB，求α的度数．
解：(1)在图(1)中，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°.
(2)在图(2)中，
∵tanα＝＝＝，
∴α＝60°.
四、随堂练习
1．计算4sin60°－3tan30°的值为( )
A. B．2 C．3 D．0
答案 A
2．计算sin245°＋cos245°的值为( )
A．2 B．1 C．0 D．3
答案 B
五、课堂小结
1．探索30°，45°，60°角的三角函数值．
sin30°＝ ，sin45°＝，sin60°＝；
cos30°＝ ，cos45°＝，cos60°＝；
tan30°＝ ，tan45°＝1，tan60°＝.
2．能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
3．能根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．
本节课的教学中，课堂环节设置齐全，能很好地贯彻执行教育理念，对理解教育的教育模式把控较好；课堂中学生分组很好，能给学生构建一个宽松、和谐的学习环境和氛围；课件制作很好，能很好地配合指导自学书的使用，提高了课堂的效率；学生积极参与，学习积极性较高；课堂习题的设置有梯度，题目能面向全体学生．
第3课时 一般锐角的三角函数值
知识与技能
1．会使用计算器求锐角的三角函数值．
2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角．
过程与方法
在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法．
情感、态度与价值观
经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．
重点
利用计算器求锐角三角函数的值．
难点
计算器的按键顺序．
一、复习回顾
教师多媒体课件出示：
1.
三角函数
角度α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
2.已知2sin(90°－α)－＝0，求锐角α的度数．
二、讲解新知
师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如让你求sin18°的值．
生：作一个有一个锐角为18°的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值．
学生作图、测量、计算．
生：约等于0.309 016 994.
师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法，只是误差较大．经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用．今天，三角函数表又被带有、和功能键的计算器所取代．
教师拿出计算器．
师：我们学习这种计算器的使用方法．请同学们拿出自己的计算器．
学生拿出自己的计算器．
师：先按键，再按有关三角函数的键．
教师板书：
1．求已知锐角的三角函数值．
例1 求sin40°的值．(精确到0.000 1)
师：比如我们求sin40°的值，依次按、、、、这几个键．
师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？
生：0.642 8.
例2 求cos54°38′的值．(精确到0.000 1)
师：我们依次按、、、、、、、这几个键．
学生操作后回答．
2．由锐角三角函数值求锐角．
例3 已知sinA＝0.508 6，求锐角A.
师：你有没有注意到计算器上有个键？
生：注意到了．
师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用．我们依次按、、、、、、、.
师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键和度分秒键.
学生操作后回答结果．
三、巩固提高
1．sinα＝0.231 6，cosβ＝0.231 6，则锐角α与锐角β之间的关系是( )
A．α＝β B．α＋β＝180°
C．α＋β＝90° D．α－β＝90°
答案 C
2．使用计算器计算：sin52°18′≈________．(精确到0.001)
答案 0.791
3．已知cosβ＝0.741 6，利用计算器求出β的值约为________．(精确到1°)
答案 42°
四、课堂小结
1．用计算器求一个锐角的三角函数值．
2．学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小．
如何让学生体会用计算器的好处，我设计一个正弦值难于直接得到的sin18°的值让学生计算．在没有提示的情况下，学生有的用笔算，通过作图测量用正弦的定义计算，我肯定了学生的这种探索式作法，同时提出了使用计算器的简便性，在较短的时间内能正确计算，也显示了其较强的计算能力．
28．2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
知识与技能
在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
过程与方法
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观
在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．
重点
直角三角形的解法．
难点
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
一、复习回顾
师：你还记得勾股定理的内容吗？
学生叙述勾股定理的内容．
师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
生：两锐角互余．
师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？
生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半．
二、共同探究，获取新知
1．概念．
师：由sinA＝，你能得到哪些公式？
生甲：a＝c·sinA.
生乙：c＝.
师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？
教师板书：
在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形．
2．练习．
教师多媒体课件出示：
(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．
(1) (2)
师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？
生1：根据cos60°＝，得到AB＝，然后把AC边的长和60°角的余弦值代入，求出AB边的长，再用勾股定理求出BC边的长，∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．
生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，再由sin60°＝得到BC＝AB·sin60°，从而得到BC边的长．
师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形．
学生思考，计算．
三、例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
解：∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
AB＝2AC＝2.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.
∵tanB＝，
∴a＝＝≈28.6.
∵sinB＝，
∴c＝＝≈34.9.
四、巩固练习
1．在△ABC中，∠C＝90°，下列各式中不正确的是( )
A．b＝a·tanB B．a＝b·cosA
C．c＝ D．c＝
答案 B
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，b＝5，则∠A＝________，S△ABC＝________．
答案 30°
五、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
学生回答．
师：你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，老师解答．
本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心．
28．2.2 应用举例
知识与技能
使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．
过程与方法
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．
情感、态度与价值观
使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．
重点
将实际问题转化为解直角三角形问题．
难点
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
一、新知讲授
1．讲解．
师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．
教师在黑板上作图．
师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．
注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；
(2)仰角和俯角都是锐角．
师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．
2．练习新知．
教师多媒体课件出示：
如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是________；从A看B的________角是________；从D看B的________角是________；从B看A的________角是________．
答案：从A看D的仰角是∠2，从B看D的俯角是∠FBD，从A看B的仰角是∠BAC，从D看B的仰角是∠3，从B看A的俯角是∠1.
二、例题讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．
如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数．
解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵cosα＝＝≈0.9491.
∴α≈18.36°，
∴的长为×6 400≈×6 400≈2 051(km)．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051 km.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果取整数)
解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.
∵tanα＝，tanβ＝，
∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，
CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120.
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277(m)．
因此，这栋楼高约为277 m.
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos(90°－65°)
＝80×cos25°
≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∵sinB＝，
∴PB＝＝≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
三、巩固提高
1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是( )
A．250 m B．250 m
C. m D．250 m
答案 A
2．王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，已知水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD的高度为( )
A．(24－)m B．(24－10) m
C．(24－5) m D．9 m
答案 B
四、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
学生回答．
师：你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答．
解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入．
第二十八章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝4，则下列结论正确的是( D )
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝
2．计算6tan45°－2cos60°的值是( D )
A．4 B．4 C．5 D．5
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是( B )
A. B. C. D.
4．已知α为锐角，tan(90°－α)＝，则α的度数为( A )
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．在△ABC中，∠B为锐角，AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，那么cosB的值为( C )
A. B. C. D.
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于( B )
A. B. C. D.
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是( A )
A. B. C. D.
,第7题图) ,第8题图) ,第9题图)
8．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE＝2，DE＝8，设∠ACE＝α，则tanα的值为( C )
A. B. C. D．2
9．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8 cm(如箭头所示)，则木桩上升了( A )
A．8tan20° cm B. cm C．8sin20° cm D．8cos20° cm
10．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( C )
A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里
,第10题图) ,第15题图) ,第17题图) ,第18题图)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝____．
12．化简：－|tan60°－sin30°|＝__－__．
13．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为__26__米．
14．菱形的两条对角线长分别为16和12，较长的对角线与菱形的一边的夹角为θ，则cosθ＝____.
15．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是____．
16．一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则其底角的余弦值为__或__．
17．如图，一块四边形土地，其中∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝30 m，CD＝50 m，则这块土地的面积是__2400__m2.
18．如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得的俯角β＝45°，已知BC＝60 m，则山高CD为__82_m__．(精确到1 m，≈1.732)
三、解答题(共66分)
19．(8分)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝，计算－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋()－1的值．
解：由sin(α＋15°)＝，得α＝45°，原式＝3
20．(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
解：在Rt△ACD中，tanA＝＝，∵CD＝6，∴AD＝4，∵AB＝12，∴BD＝8，在Rt△CDB中，CB＝10，∴sinB＝＝，cosB＝＝，∴sinB＋cosB＝
21．(9分)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶端的仰角为30°，看这栋楼的底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高？(≈1.732，结果保留小数点后一位)
解：过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，BH＝AH·tan30°＝120×＝40，在Rt△ACH中，CH＝AH·tan60°＝120，∴楼高BC＝BH＋CH＝160≈277.1(m)
22．(9分)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C处之间的距离．
解：延长OA交BC的延长线于点D，则△BOD为等边三角形，由题意知，∠CAD＝90°，AD＝AC·tan∠ACD＝(m)，CD＝＝3(m)，BD＝OD＝3＋＝4.5(m)，∴BC＝1.5(m)
23．(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证：CD∥BF；
(2)若⊙O的半径为5，cos∠BCD＝，求线段AD的长．
解：(1)∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BF⊥AB，∵CD⊥AB，∴CD∥BF (2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∵∠BAD＝∠BCD，∴cos∠BAD＝cos∠BCD＝＝，∴AD＝cos∠BAD·AB＝×10＝8
24．(10分)我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图，BC∥AD，斜坡AB＝40米，坡角∠BAD＝60°，为防夏季因暴雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？(结果保留根号)
解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，在Rt△ABG中，∠BAD＝60°，AB＝40，∴BG＝AB×sin60°＝20，AG＝AB×cos60°＝20，在Rt△AEF中，∠EAD＝45°，∴AF＝EF＝BG＝20，∴BE＝FG＝AF－AG＝20(－1)米
25．(12分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD；(如果运算结果有根号，请保留根号)
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：(1)作CE⊥AB，由题意得∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60°＝x，在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，∴AE＋BE＝x＋x＝100(＋1)，解得x＝100，∴AC＝2x＝200，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y＋y＝200，解得y＝100(－1)，∴AD＝2y＝200(－1)，则A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(－1)海里 (2)由(1)可知，DF＝AF＝×100(－1)≈127，∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险
课件13张PPT。28．1 锐角三角函数第1课时 正弦固定值 对边 斜边 sinA 斜边 C C 4．如图，点P在∠α的边OA上，且点P的坐标为(4，3)，则sinα＝____．
5．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝3，求sinA，sinB的值．A 6 A A D 课件14张PPT。28．1 锐角三角函数第2课时 余弦和正切余弦 cosA 正切 tanA 正弦 余弦 正切 知识点一：余弦C C D B D B B 17．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，求∠AED的余弦值．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC.
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)求∠ECF的正切值．课件13张PPT。28．1 锐角三角函数第3课时 特殊角的三角函数值在表中空格处填写特殊角的三角函数值：锐角α 三角函数 C B A 解：－1解：2C C 60° 60° B C B C 解：5课件14张PPT。28．1 锐角三角函数第4课时 用计算器求三角函数值角度 度数 A A B 2.47 5．用计算器求下列锐角的三角函数值．
(1)sin16°； (2)cos42°；
解：sin16°≈0.275 6
(3)tan85°； (4)sin72°38′25″.
解：tan85°≈11.43解：cos42°≈0.743 1解：sin72°38′25″≈0.954 5C D B 解：68.96°解：36.56° 解：18.6°10．下列各式一定成立的是( )
A．tan75°＞tan48°＞tan15°
B．tan75°＜tan48°＜tan15°
C．cos75°＞cos48°＞cos15°
D．sin75°＜sin48°＜sin15°
11．设sin48°＝a，cos62°＝b，tan48°＝c，下列关系式中正确的是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．c＜a＜bABC A 71.57° 15．如图，将45°的∠AOB摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)2.716．已知sinA＝0.328 6，tanB＝10.08，利用计算器求锐角A，B.(结果精确到0.01°)
解：∠A≈19.18°，∠B≈84.33°17．如图，在加工垫膜时，需计算斜角α，根据图示数据，求α.(精确到1′)18．(1)如图1，2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化的，试探究随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值大小和余弦值的大小；
(3)比较大小(填“＞”“＜”或“＝”，α为锐角)：
①若α＝45°，则sinα____cosα；
②若α＜45°，则sinα____cosα；
③若α＞45°，则sinα____cosα.＝＜＞(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.
解：(1)随着锐角度数的增大，它的正弦值逐渐增大，它的余弦值逐渐减小 (2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos18°＞cos34°＞cos50°＞cos62°＞cos88° (4)sin10°＜cos70°＜sin50°＜cos30°课件12张PPT。28．2 解直角三角形28．2.1 解直角三角形a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90° 解直角三角形 两 边 B 30° 60° C C 15 30° A D 课件13张PPT。28．2 解直角三角形28．2.2 应用举例第1课时 解直角三角形的简单应用 将实际问题转化为数学模型，得到直角三角形的有关边长及角度，可求出其他的长(即实际问题中物体的长或高)．A B 5.8 C C 解：(1)在Rt△ABC中，BC＝AC·tan∠BAC＝30×tan75°≈112(米) (2)∵此车的速度为112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)≈60(千米/时)，∴此车没有超过限制速度C 9．(2015·衢州)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα＝2.5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )
A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cmB0.6 11．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出____个这样的停车位．1713．如图，从A地到B地的公路需要经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°.因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问：公路改直后比原来缩短了多少千米？解：(1)作CH⊥AB于点H，在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1，在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米) (2)BC＝CH÷sin37°≈4.2÷0.60＝7.0，∴AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)，∴改直后的路程缩短了2.3千米14．某学校的校门是伸缩门(如图1)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米，校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图3)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)解：校门关闭时，取其中一个菱形ABCD，根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0.3米，∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是0.3×20＝6(米)；校门打开时，如图，课件14张PPT。28．2 解直角三角形28．2.2 应用举例第2课时 解有关仰角、俯角的问题 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_______的是仰角，视线在水平线_______的是俯角．上方下方C A A D A 12．某城市在发展规划中，需要移走一棵古树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形为危险区，现在一名工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°，问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？14．如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC＝500 m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1600 m到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点，求他飞行的水平距离BC.(结果精确到1 m；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)课件12张PPT。28．2 解直角三角形28．2.2 应用举例第3课时 解与方位角和坡度有关的问题1．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫做方位角，如图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方位角分别表示为___________，_______________，_____________，_____________．北偏东30°南偏东45°南偏西80°北偏西60°铅直 水平 坡面 水平线 知识点一：方位角问题C A A 40千米/时 B 6．(2015·邵阳)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000米，则他实际上升了_________米．1000C A 10．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是____海里．2512．如图，A，B两城市相距100 km，现计划在这两座城市间建筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护区中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？13．如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上．如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？课件12张PPT。专题训练 锐角三角函数与函数的综合一、锐角三角函数与一次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．三、锐角三角函数与二次函数
5．已知二次函数y＝x2－kx＋k－1(k＞2)．
(1)求证：抛物线y＝x2－kx＋k－1(k＞2)与x轴必有两个交点；
(2)抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，若tan∠OAC＝3，求抛物线的解析式．课件12张PPT。专题训练 锐角三角函数与圆1．(2015·扬州)如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD中，正确的结论为( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③DC 3．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为________．260 5．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则∠FDE的正切值为____．11．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，P，A，B在经过圆心O的一条直线上．
(1)求证：∠PTA＝∠BTO；
(2)若PT＝4，PA＝2，求sinB的值．课件15张PPT。第二十八章 综合训练D C C A A B 5 12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，求sinB，cosB及tanB的值．14．(2015·台州)如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)解：由题意得OA＝OA′＝80 cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′·cos35°≈65.6，∴AB＝OA－OB＝80－65.6≈14(cm)，即降低了14 cm15．如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5 m，求拉线CE的长．(结果保留根号)16．如图，小岛P的周围20海里内有暗礁，某渔船沿北偏东60°的AM方向航行，在A处测得小岛P的方向为北偏东30°，且距A处40海里，该渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有可能触礁，则该渔船在A处应再向北偏东至少偏离多大角度才能脱险？课件12张PPT。综合训练 锐角三角函数B C B B 6．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于( )
A．OM的长 B．2OM的长
C．CD的长 D．2CD的长AC C 75° 6 课件13张PPT。综合训练 锐角三角函数的应用A A D 4．如图，在某段国道改造工程中，需沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000 m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝________m．(参考数据：sin50°≈0.766 0，cos50°≈0.642 8，tan50°≈1.192 0)642.85．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图，在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3 m，则旗杆AB的高度为____m.99．(2015·包头)为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°.
(1)求公益广告牌的高度AB；
(2)求加固钢缆AD和BD的长．10．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M的南偏东60°方向上，有一点A，以A为圆心、500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
