2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.“”是“函数为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.过坐标原点向圆：作两条切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
6.菱形中，，，点在线段上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地年月的的数据单位：百亿元建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：
时间 月 月 月 月 月 月
编号
百亿元
参考数据：则下列说法不正确的是( )
A. 经验回归直线经过点
B.
C. 根据该模型，该地年月的的预测值为百亿元
D. 相应于点的残差为
8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子春分时，北京的阳光与地面夹角为，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 的最小值为 D. 在上单调递增
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
11.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成如图所示，若这个二十四等边体的棱长都为，则下列结论正确的是( )
A. 平面 B. 异面直线和所成角为
C. 该二十四等边体的体积为 D. 该二十四等边体外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为______用数字作答
13.某中学名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于的有人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在次之间的人数约为______．
14.已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角；
若，，的角平分线交于点，求．
16.本小题分
人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为．
在某次测试中输入了个问题，聊天机器人模型的回答有个被采纳现从这个问题中抽取个以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
已知输入的问题出现语法错误的概率为．
求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率．
17.本小题分
如图，在正方体中，，，，分别是棱，，的中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面的夹角的余弦值；
若点为棱的中点，试探究点是否在平面上，请说明理由．
18.本小题分
已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：．
求证：数列为等差数列；
试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论函数在其定义域上的单调性；
若，其中，且，求实数的值．
参考答案
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15.解：，，
整理得，，，
，即，，，
由余弦定理可得，即，解得，
为的角平分线，则，
，
即，，解得．
16.解：易知的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
记“输入的问题没有语法错误”为事件，
记“输入的问题有语法错误”为事件，
记“的回答被采纳”为事件，
则，，，，
．
若的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为．
17.解：如图建系，
因为正方体中，，，，分别是棱，，的中点，
所以，，，
，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以，
设直线与平面所成角的正弦值为，
则；
因为平面，
易知是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则；
点是否在平面上，理由如下：
若点为棱的中点，则，
，
令点到平面的距离为，
则，
所以点在平面上．
18.解：证明：根据题意，设等差数列的公差为，
若，则，
则，
故，
故当时，则有；
根据题意，假设数列中存在三项、、构成等比数列且，且，且，、、互不相等，
则有，即，
变形可得：，
又由、、且，为无理数，
则必有，
变形可得，即，
与、、互不相等相矛盾，
故数列中不存在三项构成等比数列．
19.解：由题意，即切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
由，设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又，
所以对于任意的有，即，
因此在单调递增，在单调递增，
即，则，
所以时，，单调递减，
所以，即，即，时，，单调递增，
所以，即，即，所以是其定义域上的增函数．
由可知，时，，所以，故，
令，，，
由题意时，，时，，
若，则当时，，不满足条件，
所以，而，
令，则，
令，得，
在单调递减，在单调递增，
若，则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；若，
则当时，，单调递减，
此时，不满足题意；若，
则当时，，单调递增，此时，
且当时，，单调递增，此时，满足题意，
所以，解得，
综上所述，．
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