2023-2024学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
5.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知，为非零实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若点关于轴的对称点为，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
9.把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则后液体的温度可由公式求得把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为，，则的值约为参考数据
A. B. C. D.
10.已知集合或，，，，，对于集合中的任意元素和，记若集合，，，均满足，则中元素个数最多为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴正半轴为始边，其终边经过点，则 ______．
12.已知函数，则 ______．
13.我国南宋数学家秦九韶在数书九章中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，也称“中国剩余定理”现有问题：将正整数中，被除余且被除余的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第项为______．
14.已知函数若在上是增函数，则的一个取值为______；若在上不具有单调性，则的取值范围是______．
15.已知等差数列的前项和为，且数列的前项和为．
给出下列四个结论：
；
；
使成立的的最大值为；
当时，取得最小值．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最小正周期；
Ⅱ若在区间上的最大值为，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知等比数列为递增数列，其前项和为，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及前项和．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数，其最小正周期为．
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ已知在区间上单调递减，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值．
条件：为函数图象的一个对称中心；
条件：函数图象的一条对称轴为；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
设函数．
Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若在处取得极小值，求实数的取值范围；
Ⅲ若对任意的，恒成立，直接写出实数的范围．
21.本小题分
已知无穷数列，给出以下定义：
对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”．
Ⅰ已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由；
Ⅱ证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”；
Ⅲ已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，求数列的最小项的最大值．
答案和解析
1.
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义求．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.
【解析】解：因为：，，
所以为：，．
故选：．
根据全称命题的否定即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.
【解析】解：由于的定义域，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除；
由于是奇函数，在上不具有单调性，故排除；
由于是常函数，不具有单调性，排除；
由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意．
故选：．
由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4.
【解析】解：前项和，可得时，，
当时，，
上式对也成立，
则．
故选：．
由和的关系，求得，可得所求和．
本题考查数列的通项与求和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.
【解析】解：因为，当且仅当，即时取等号．
故选：．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
6.
【解析】解：当时，，所以由得不出，
若，则，若，则，即，
所以由得不出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义即可判断．
本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
7.
【解析】解：若点关于轴的对称点为，
则，，
所以，即．
故选：．
由已知结合和差角公式及同角基本关系即可求解．
本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
8.
【解析】解：依题意，等价于，
分别作出的图象与的图象，
如图可得不等式的解集是，
故选：．
分别作出的图象与的图象，观察图象即可得解．
本题考查了不等式的解法，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题．
9.
【解析】解：把，，代入中，得，
即，所以，解得，即；
把，，代入中，得，
即，所以，解得，即；
所以．
故选：．
把，，代入中，求得，把，，代入中，求得，作差求解即可．
本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10.
【解析】解：依题意，对于中元素和，
当和同时为时，，
当和至少有一个为时，，
要使得的一个子集中任两个不同元素、均满足，
设集合中的元素记为，
则的所有元素的位置至多有个，
若位置为，其它位置为的元素有个，
若全为的有个，
综上中元素最多有个．
故选：．
分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值．
本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，考查逻辑推理能力，属于难题．
11.
【解析】解：角以原点为顶点，以轴正半轴为始边，其终边经过点，则．
故答案为：．
根据任意角三角函数定义即可得．
本题考查任意角三角函数定义，属于基础题．
12.
【解析】解：，．
故答案为：．
利用对数运算性质即可求值．
本题考查对数的运算，考查计算函数值，属于基础题．
13.
【解析】解：依题意，设满足被除余且被除余，
则加上和的最小公倍数的整数倍后也能满足被除余且被除余．
设被除余且被除余的数由小到大排列而成的数列为，
由于被除余且被除余的最小正整数为，
则是首项为，公差为的等差数列，所以．
故答案为：．
被除余且被除余的数构成公差为的等差数列，由此即可得．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
14.不唯一
【解析】解：因为当时，，
易知函数在上单调递增；
当时，，
当时，
则函数在和上单调递增；在上单调递减；
当时，则函数在上单调递增；
当时，要使函数在上是增函数，
则必需有，
解得，
综上，当在上是增函数时，；
所以第一空的答案为中的任何一个数即可；
由以上分析可知，当时，
函数在上不具有单调性．
故答案为：不唯一；．
根据幂函数及二次函数的性质求出在上是增函数时的范围，即可得第一空答案，再用补集思想即可得第二空答案．
本题考查了幂函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
15.
【解析】解：对于：，，
且，
由等差数列性质可知，，公差，故正确；
对于：由等差数列性质和一次函数特征，，
且，，即，故正确；
对于：，，
成立的，故错误：
对于：设，可得，
由，，可得时，取得最小值，故正确．
故答案为：．
由，可得，结合等差数列的性质和求和公式、数列的裂项相消求和，对四个结论判断，可得正确结论．
本题考查等差数列的性质和求和公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16.解：Ⅰ因为
，
所以的最小正周期；
Ⅱ由，可得，
若在区间上的最大值为，
则在上的最大值为，
所以，解得，
则实数的取值范围为．
【解析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；
结合正弦函数的最值的取得条件可求．
本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的周期公式及最值的应用，属于中档题．
17.解：Ⅰ等比数列为递增数列，设公比为，其前项和为，，，
可得，，
解得，或，舍去，
则；
Ⅱ若数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
可得，
前项和．
【解析】Ⅰ由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求；
Ⅱ由等差数列的通项公式求得，进而得到；再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.解：Ⅰ因为，所以，
令，即，解得或，
且当时，，当时，，
所以的单调递增区间为和，递减区间为；
Ⅱ由Ⅰ有在和上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以在上的最大值为，
因为关于的不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，所以，
所以的取值范围为．
【解析】Ⅰ求导，直接利用导数求单调区间即可；
Ⅱ由Ⅰ的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围．
本题考查了运用导数判断函数的单调性，考查了函数思想，属于中档题．
19.解：Ⅰ，
若，则，解得．
Ⅱ由Ⅰ知，函数的最小值为，
若选条件：
因为在区间上单调递减，
所以，即，
又，且为函数图象的一个对称中心，
所以，即，与相矛盾，
故函数不存在．
若选条件：
因为在区间上单调递减，，且函数图象的一条对称轴为，
所以，即，
又，所以，
所以，
由，知，即，
所以，，即，，
又，所以，
综上，，．
若选条件：
因为，且，
所以，即，或，
又，所以，
所以，
由，知，即，
所以，，即，，
因为在区间上单调递减，
所以，即，
又，所以，
取，则，
综上，，．
【解析】Ⅰ化简可得，再根据正弦函数的周期性，即可得解；
Ⅱ若选条件：根据正弦函数的单调性、对称性和周期性，推出矛盾结果，可知不存在；若选条件：由函数的单调性与周期性可求得，再利用，求解即可；若选条件：由，求得，再结合及正弦函数的单调性与周期性，求出的值即可．
本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握两角和的正弦公式，诱导公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.解：Ⅰ若，，
则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ函数，，
则，
若，，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以在处取得极小值，
若，令，得或，
若，即，
当变化时，与的变化如下表：
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，
若，即，
当时，，，
所以，单调递增，
所以不是的极小值点，
综上所述，实数的取值范围是；
Ⅲ，．
【解析】Ⅰ利用导数的几何意义求解；
Ⅱ先求出，再对分情况讨论，结合的正负得到的单调性，进而判断的极值；
Ⅲ利用Ⅱ中结论直接求解．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
21.解：由于为等差数列，所以，为等比数列，，
任意的”，都有，
故A，
所以数列是为“数列”，
任意的”，都有．
故B，所以数列不是为“数列”．
证明：先证明必要性：因为为“数列”，
所以对任意的，都有，
即，
所以对任意的，，，当时，有，
所，
又，
所以，
又，，
故，即，
故．
再证明充分性：对于任意的，，，当时，有．
即，
对于任意的，，，则有，
即，所以为“数列”．
数列为“严格数列”，且对任意的，有，即．
设，则为单调递增数列，且．
所以，
因为，．
所以，
所以存在，时，，，
所以，当，，，数列为单调递减数列，
当，，，
因此存在最小值，且最小值为，
由于，所以，，，，且，，，，
所以，即，
，即，
所以．
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，的最大值为，
此时，，，，，，因为，
所以数列的最小项的最大值为．
【解析】根据等差等比的求和公式可得，，即可利用定义以及作差法求解．
利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取，即可求证充分性．
根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解．
本题考查数列新定义，属于偏难题．
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