2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中，所有二项式的系数和为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若等比数列的前项和，则公比( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时( )
A. B. C. D.
5.将分别写有，，，的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数首位不为，则组成的不同四位数的个数为( )
A. B. C. D.
6.小明投篮次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得分，没投中得分，总得分为，则( )
A. B. C. D.
7.已知一批产品中，项指标合格的比例为，项指标合格的比例为，、两项指标都合格的比例为，从这批产品中随机抽取一个产品，若项指标合格，则该产品的项指标也合格的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.设函数若在上恒成立，则( )
A. B. C. D.
10.在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析给出下列三个结论：
当销量为件时，总收益最大；
若销量为件时，总收益为，则当销量增加件时，总收益仍为；
当销量从件增加到件时，总收益改变量的近似值为．
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中含项的系数为 ．
12.某学校组织趣味运动会，一共设置了个项目其中只包含个球类项目，每位教师只能从个项目中随机选择个参加，设李老师选择的个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ．
13.已知数列是公比为的等比数列，若，则 ．
14.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为
15.已知数列的前项和为，满足，当时， 给出下列四个结论：当时，；
当时，；
当时，，恒成立；
当时，从第三项起为递增数列．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知函数．
判断在上的单调性，并证明；
求在上的零点个数．
17.（12分）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了、的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表：
甲生产线抽样产品编号指标
乙生产线抽样产品编号指标
假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．
从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率；
从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望；
已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由．
18.（12分）已知
当时，求曲线在点处的切线方程；
已知有两个极值点，且满足，求的值；
在的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．
19.（13分）已知数列，，，满足，集合设中有个元素，从小到大排列依次为
若，请直接写出；
若，求；
若，求的最小值
20.（13分）设函数从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数存在．
求的最小正周期及单调递减区间；
若对于任意的，都有，求实数的取值范围．
条件：函数的图象经过点；
条件：在区间上单调递增；
条件：是的一条对称轴．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.（13分）设为正整数，集合对于集合中的任意元素和，定义，，以及．
若，，，，求；
若，均为中的元素，且，，求的最大值；
若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值．
参考答案
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12.，；
13.
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15.
16.在上单调递增，证明如下：
因为，
所以，
又因为，从而，
所以，
所以在上单调递增．
由知：，
因为，
令，得．
与在区间上的情况如下：
极小
因为，，
所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点．
17.记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”．
用频率估计概率，则．
所以该产品满足且的概率为．
由表格数据，用频率估计概率，
可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为；
“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为．
由题意，的所有可能取值为．
，
．
所以的分布列为
所以的数学期望为．
甲生产线上的产品质量更好，
因为甲生产线上值的平均值，
乙生产线上值的平均值，
所以甲生产线上值的平均值明显比乙小，
所以甲生产线上的产品质量更好．
其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则
甲生产品的值小于乙的概率为，
所以甲生产线上的产品质量更好．
18.当时，，
所以，
所以．
所以曲线在点处的切线方程为．
因为，
所以，
因为有两个极值点，
所以有两个大于的变号零点，
所以方程有两个不等正根，
所以，解得
又因为，
即有，
整理得，
代入，
可得，解得，
又因为，所以可得，
经检验，符合题意．
由可知且，从而，
因为在上恒成立，
令
则有在上恒成立，易得，
因为，所以，
令，对称轴，
当时，，
所以在单调递增，从而恒成立，
所以在也恒成立，
所以在单调递增，从而恒成立．
当时，，
所以有两个不等实根不妨设，
所以，且当时，，从而，
所以在上单调递减，
所以，与“在上恒成立”矛盾，
综上，的取值范围是．
19.由题意可知，
所以可知，
所以，
所以．
因为对任意，都有，
所以依次为
，
，
，
，
，
所以．
．
先证明：．
方法：考虑从这个数中任取个求和，这些和都不小于，
因为，所以，从而，
因为，所以，即．
方法：假设，则．
则，
因为满足的必要条件是因为若，则，不等式不成立，
所以小于的和式至多有以下情况：
；
；
；
共，不合题意．
其次，证明存在符合要求的数列．
构造：令．
显然满足，
且．
此时，，故．
20.因为，
若选：由函数的图象经过点，
则，，即，，
由在区间上单调递增，有，即，
又且，即，所以，此时不存在；
选条件：由在区间上单调递增，有，即，
又且，即，所以，
由是的一条对称轴，则，，
所以，，所以，
所以，则的最小正周期，
由，解得，
所以的单调递减区间为；
若选：由函数的图象经过点，
则，，即，，
由是的一条对称轴，则，，所以，，
此时不存在；
由可知，
因为，所以，
所以，，
因为对于任意的，都有，所以，
即的取值范围为．
21.设，则由，，知．
所以，得．
而，故，从而．
所以．
由已知有，，
这些条件的含义是，都恰有个分量等于，且任意两个不同向量没有同时为的分量．
由于，故一共只有个分量，这表明全体的所有分量中，至多有个．
而显然一共有个，故，得．
显然，，满足条件，此时．
这就说明的最大值是．
由，，知，．
而条件的含义是，在序列中，任意一对相邻的向量都恰有个分量不相等．
根据题目内容，已有．
若，则，，且恰有个分量不相等，恰有个分量不相等．
换言之，恰有个分量相等，恰有个分量相等．
而，故一定存在，使得的第个分量不相等，的第个分量也不相等．
这就表明的第个分量相等，但，，它们没有相等的分量，矛盾；
这就表明．
注意到，，，满足全部条件，此时．
所以的最小值是．
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