2023-2024学年北京市丰台区高二下学期期末练习数学试题（含解析）

2023-2024学年北京市丰台区高二下学期期末练习数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是( )
A. 某商品的销售价格与销售量 B. 汽车匀速行驶时的路程与时间
C. 气温与冷饮的销售量 D. 人的年龄与视力
3.已知命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知复数，则它的共轭复数( )
A. B. C. D.
5.下列求导运算错误的是( )
A. B.
C. D.
6.已知复数，则“”是“复数对应的点在虚轴上”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，则( )
A. B.
C. D.
8.若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则( )
A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为
10.甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行数学建模比赛，决出了第名到第名的名次无并列情况甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第名．”从这三个回答分析，名同学可能的名次排列情况种数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中的常数项为 ．
12.已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则 ．
13.某校举办“品味蔬香，勤满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率出芽的种子数占总种子数的百分比为，出苗率出苗的种子数占总种子数的百分比为若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为 ．
14.能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
当时，若的图象与直线恰有三个公共点，则的取值范围是；
若在处取得极小值，则的取值范围是；
，曲线总存在两条互相垂直的切线；
若存在最小值，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
年春节期间，全国各大影院热映第二十条、飞驰人生、热辣滚烫、．逆转时空部优秀的影片．现有名同学，每人选择这部影片中的部观看．
如果这名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
如果这名同学中的甲、乙名同学分别选择观看影片第二十条、飞驰人生，那么共有多少种不同的选择方法？
如果这名同学中恰有名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
17.本小题分
在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表：
胜负情况甲球员上场情况 获胜 未获胜
上场 场 场
未上场 场 场
求甲球员上场时，该球队获胜的概率；
从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的极值．
19.本小题分
随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件以下简称软件的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各人，采用打分方式进行调查，情况如下图：

根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表：
分数
满意度 非常满意 满意 不满意
假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立．
分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；
从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，估计这人中恰有人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；
从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取人进行电话回访，记为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．结论不要求证明
20.本小题分
已知函数
若在区间上单调递减，求的取值范围；
当时，求证：．
21.本小题分
已知集合，且若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质．
条件：，，且，都至少含有两个元素；
条件：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有．
当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合；
若集合，具有性质，且，，求证：；
若存在集合，具有性质，求的最大值．
答案解析
1.
【解析】由题意，在数轴上表示出集合，如图所示，
则．
故选：．
2.
【解析】对于，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误；
对于，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误；
对于，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；
对于，人的年龄与视力呈负相关，故错误．
故选：．
3.
【解析】方法一：使用命题取否定的通法：
将命题的特称量词改为全称量词，论域不变，结论改为其否定的结论．
得到命题的否定是：，．
方法二：命题的含义是，存在一个上的实数满足．
那么要使该结论不成立，正是要让每个上的实数都不满足．
也就是对任意的上的实数，都有．
所以的否定是：，．
故选：．
4.
【解析】，，
故选：．
5.
【解析】，，正确；
，，错；
，， C正确；
，， D正确．
故选：．
6.
【解析】时，对应点在虚轴上，充分性成立，
当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立，
“”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件．
故选：．
7.
【解析】函数的定义域为，且，
所以为偶函数，
又，令，则，
所以在定义域上单调递增，
又，所以当时，
所以在上单调递增，因为，所以，
又，所以．
故选：
8.
【解析】，
所以，当且仅当时等号成立，
，所以，当且仅当时取等号，
故选：．
9.
【解析】解：不妨设函数的定义域为，
从图像成看出实线所表示的函数图像在上单调递增且一直在轴上方，
即对应的函数值大于零；
虚线所表示的函数图像在上有增有减，
但一直在轴及其上方，即对应的函数值大于或等于零；
所以可以判断实线所表示的函数图像为函数的图像，
虚线所表示的函数图像为其导函数的图像．
已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，即，且时，；时，
对于函数，因为，
所以，函数在上单调递增，
且；；
所以函数既没有最小值也没有最大值，故A、均不正确；
对于函数，因为时，，，
所以，函数在上单调递增；
因为时，，，所以，
函数在上单调递减；
又，所以时，函数有最大值故C正确；D错误．
选C
10.
【解析】由题意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，
有可能是第二、三、四名种情况；再排乙，也有种情况；余下人有种排法，
故共有种不同的情况，
假如丙是第名，则甲有可能是第三、四名种情况；
再排乙，也有种情况；余下人有种排法，
故共有种不同的情况，
由间接法得：满足题意的，名同学可能的名次排列情况种数为种，
故选：．
11.
【解析】展开式通项为：；
令，解得：，展开式中的常数项为．
故答案为：．
12.
【解析】由已知可得，，
．
故答案为：．
13.
【解析】由条件概率可得所求概率为．
故答案为：．
14.，，答案不唯一
【解析】解：，，又，．
当时，，但是．
举出、、都小于，且的例子即可．
该命题是假命题的一组数，，的值依次为，，答案不唯一．
故答案为，，答案不唯一．
15.
【解析】对于，当时，，由，解得，
则当时，的图象与直线只有两个公共点，而，错误；
对于，函数的定义域为，求导得，
当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；
当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；
当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；
当时，，函数在上单调递减，无极值点；
当时，，，，，在处取得极小值，符合题意，
因此在处取得极小值时，的取值范围是，正确；
对于，当时，，假定曲线存在两条互相垂直的切线，
设两条切线对应的切点分别为，切线斜率分别为，
于是与矛盾，错误；
对于，当时，，，即在上单调递减，
此时，而函数在的取值集合为，则在上无最小值，
当时，由，得或，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，
而当时，，则恒成立，因此在处取得最小值，
于是存在最小值时，的取值范围是，
所以所有正确结论的序号是．
故答案为：
16.因为名同学观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有种．
因为甲、乙名同学选择观看的影片已确定，
所以不同的选择方法共有种．
因为恰有名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法共有种．
【解析】直接全排列可得；
另外人观影部电影，用乘法原理计算可得；
先选人观看同一部电影，然后再安排另外人观看其余的部电影．
17.设事件“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”，
则．
表中该球队未获胜的场次共有场，其中甲球员上场的场次有场，未上场的场次有场，
则的可能取值为，，，．
，
，．
所以的分布列如下：
所以．
【解析】运用古典概型求解概率即可；
运用超几何分布求解概率，进而得出的分布列和数学期望．
18.由已知得，
所以．
因为，所以切点为，
故曲线在点处的切线方程为．
由知，，．
令，得，
令，得或，
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
所以有极小值为，极大值为．
【解析】求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，
由导数确定单调性即可解极值．
19.设事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为非常满意”，
事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为非常满意”，
则，；
设事件“这人中恰有人对所使用软件的满意度为非常满意”，
则；
样本中使用款软件不满意的概率为，使用款软件不满意的概率为，
且随机选取的人进行电话回访，
随机变量服从二项分布，，即方差为，
随机变量服从二项分布，，即方差为，
．
【解析】根据古典概型的概率公式即可求解；
根据独立事件的概率乘法公式即可求解；
根据方差的实际意义判断．
20.由已知得，
设，
因为在区间上单调递减，
所以时，恒成立．
因为时，，
所以在区间上单调递减，
所以的最大值为，即．
当时，符合题意．
所以．
当时，，，
则．
设，则，
所以在区间上单调递减．
因为，，
所以，使得，
即．
当变化时，，，的变化如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以的最大值为
．
因为，所以，，
所以，故．
【解析】由在上恒成立可得，再由导数确定的单调性与最值后可得参数范围；
利用导数求得的最大值，由这个最大值小球可得证，为此需要对的零点进行定性确定，然后利用的性质写明．
21.所有的集合为，，；
记“对任意不相等的，，都有”为条件，
记“对任意不相等的，，都有”为条件．
由条件得．
由，和条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，与矛盾，
所以，即
的最大值为证明如下：
一方面，当时，可构造集合，
具有性质；
另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，．
证明如下：
由知，，且当，时，，
此时不存在具有性质的集合，．
由条件得，不能同时属于集合．
下面讨论和一个属于集合，一个属于集合的情况：
当，时，由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即，．
因为，，，，
由条件得，，
即，．
由条件得，，即，．
由条件得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
当，时，由条件得，不能同时属于集合，
下面分三种情形：
情形一：若，，由条件得，即．
由条件得，，即，．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
情形二：若，，由条件得，，
即，．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
情形三：若，，由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，即．
由条件得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，
综上，的最大值为．
【解析】根据性质可得答案；
记“对任意不相等的，，都有”为条件，记“对任意不相等的，，都有”为条件，分析条件中的元素可得答案；
一方面求出时，可构造集合、使其具有性质；一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，可得答案．
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