2023-2024学年湖南省永州市名校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省永州市名校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则复数( )
A. B. C. D.
3.设，均为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列，是其前项和，，则( )
A. B. C. D.
6.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班个同学分别从处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”如图，在刍童中，，，，，平面与平面之间的距离为，则此“刍童”的体积为( )
A. B. C. D.
8.若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为
C. 第项和第项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为
10.已知函数，则( )
A. B. 有两个极值点
C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个零点
11.如图，正方体的棱长为，点在截面内，且，则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 线段的长为
C. 点的轨迹长为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为奇函数，则的值为______．
13.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于年，目前已成为镇江市的地标建筑之一如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则云台阁的高度为______米
14.设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为______若内切圆圆心的横坐标为，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知，．
求的值；
若，且，求的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，．
证明：平面平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道年月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量盒
购物群数量个
求实数的值并用组中值每组的中点值估计这个购物群销售脐橙总量的平均数；
假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为中的平均数，若该脐橙基地参与销售的购物群约有个，销售的脐橙在单位：盒内的群为“级群”，销售数量小于盒的购物群为“级群”，销售数量不小于盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励元，每个“级群”奖励，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？群的个数按四舍五入取整数
附：若，则，，．
18.本小题分
已知椭圆及直线：．
若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
19.本小题分
设函数．
当，求在点处的切线方程；
证明：当时，．
答案解析
1..
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
2..
【解析】解：设，
则，
所以，解得，
所以．
故选：．
3..
【解析】解：，均为单位向量，且，
则．
故选：．
4..
【解析】解：因为且为锐角，
所以，
解得，
则．
故选：．
5..
【解析】解：设等比数列的公比为，
因为，可得，即，所以，
所以．
故选：．
6..
【解析】解：由题意每位同学都有种选择，则名同学共有种选择方案．
故选：．
7..
【解析】解：根据题意可得所求几何体的体积为：
．
故选：．
8..
【解析】解：圆：的圆心，半径，
双曲线：，则，，，
设左焦点为，则，即，
所以，
当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号．
故选：．
9..
【解析】解：因为展开式的通项公式为，
对，由，得舍去，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对，二项式系数和为，故B错误；
对，展开式共有项，所以第项和第项二项式系数最大，故C正确；
对，令，得所有项的系数和为，故D错误；
故选：．
10..
【解析】解：易知的定义域为，
可得，故选项A正确；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，在取得极大值，
此时，，
所以只有一个零点，故选项B正确，选项D错误；
因为，
所以关于对称，故选项C正确．
故选：．
11..
【解析】解：在正方体中，平面，平面平面，
且两平面间的距离为，又的面积，
三棱锥的体积，A正确；
设的中心为，则，，
，，B错误；
如图，由知，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，
由三段，，劣弧构成，其长度为圆周长的一半，C正确；
，
为在方向上的投影，
由图可知，当位于点或的位置时，最小，
此时取得最大值，如图所示，
建立空间直角坐标系，则，，，
，D正确．
故选：．
12..
【解析】解：为奇函数，
则，
此式在定义域内恒成立，
则，则舍或经检验符合题意．
故答案为：．
13..
【解析】解：设云台阁的高度，则中，，可得，
同理，在、中，算出，．
因为中，米，所以是边上的中线，可得，
两边平方得，即，可得，
即，整理得，
又因为，两边平方得，
所以，即，解得米．
故答案为：．
14..
【解析】解：设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，
则，由双曲线的定义可得，
所以，，由勾股定理得，
即有，即，
则．
设内切圆与轴相切于，点横坐标为，
则，则，
解得，
又由内切圆圆心的横坐标为，得，
故．
故答案为：，．
15..解：因为，由余弦定理可得：，
所以，而，
所以，
又因为，可得，可得角为锐角，
且，
，
所以，
所以．
由可得，，且，
因为，
所以
，
可得，，
所以．
【解析】由题意及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；
由题意可得，两边平方可得，的值，代入三角形的面积公式，可得的面积．
16..证明：因为底面，底面，所以．
因为底面是矩形，所以．
又，，平面，
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以．
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，
可得平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，
可得平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】由题意可得，，可证平面，进而可证结论；
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面与平面的夹角的余弦值．
17..解：由题意得，，
解得，
则这个购物群销售脐橙总量的平均数为：；
由题意，，，则，，
故
，
故“级群”约有个，
，
故“特级群”约有个，
则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备元．
【解析】利用频数之和等于样本总数易得值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；
由题意，结合的结果易得，的值，根据“级群”，“特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可．
18..解：联立方程组，消去得：，
因为直线与椭圆没有公共点，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为；
由题意，点到直线距离的最大值，
等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，
由中，，解得或，
此时直线：或直线：与椭圆相切，
当与之间的距离为时，可得，解得或舍去，
当与之间的距离为时，可得，解得或舍去，
综上，所求直线的方程为或．
【解析】联立方程组，根据题意，利用，即可求得实数的取值范围；
根据题意，把点到直线距离的最大值，转化为直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，由直线：或直线：与椭圆相切，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
19..解：当时，，
则，即，
所以在点处的切线方程为，即．
证明：因为，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，
所以为单调递增函数，又，且，
所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数；
所以，
由可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，
所以当时，．
【解析】由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
先证明在上存在唯一零点，设为，再由导数求出最小值结合基本不等式和对数的运算证明即可．
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